1．已知集合，，那么集合（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．
C．D．
3．為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（ ）
A．8小時B．9小時C．10小時D．11小時
4．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（ ）
A．B．C．D．
6．若函數(shù)，在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．平面直角坐標系xOy中，點在單位圓O上，設(shè)，若，且，則的值為
A．B．C．D．
8．函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．D．可是奇函數(shù)
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)則下列選項中正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．在上單調(diào)遞減
C．滿足
D．的圖象可以由的圖象向右平移個單位得到
10．下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)關(guān)于點對稱
B．函數(shù)的圖象過定點
C．方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解
D．若，則的最小值為
11．已知函數(shù)，且，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱B．在上單調(diào)遞減
C．D．
三、單選題（本大題共1小題）
12．已知正數(shù)，滿足，則下列說法不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
四、填空題（本大題共4小題）
13． .
14．已知函數(shù)，，則 ．
15．若，則 .
16．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則關(guān)于x的不等式的解集為 ．
五、解答題（本大題共6小題）
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．設(shè)函數(shù)．
(1)若對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若關(guān)于x的方程在有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
19．設(shè)函數(shù)．
(1)在給定的平面直角坐標系中，用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖（請先列表，再描點連線）；
(2)若，求的值．
20．為了預(yù)防甲型流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒．己知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．
據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)藥物釋放完畢后，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到教室？
21．函數(shù)（且）是定義在R上的奇函數(shù)．
(1)求a的值，并判斷的單調(diào)性，并證明；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
22．已知函數(shù)．
(1)解關(guān)于x的不等式；
(2)若關(guān)于x的方程有三個實根．
（i）求；
（ii）求的取值范圍．
答案
1．【正確答案】B
【分析】求出集合，利用并集運算即可.
【詳解】因為，
所以，
解得，
由，
所以.
故選：B.
2．【正確答案】C
【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.
【詳解】根據(jù)題意得：
故選：C.
3．【正確答案】C
【分析】根據(jù)前5個小時消除了的污染物，由，求得k，再設(shè)污染物減少所用的時間為t，由求解.
【詳解】因為在前5個小時消除了的污染物，所以，
解得，所以，
設(shè)污染物減少所用的時間為t，
所以，
所以，解得.
故選：C.
4．【正確答案】C
【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出結(jié)論.
【詳解】把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，可得到函數(shù)的圖象，
再把所得圖象向右平移個單位長度，可得到.
故選：C.
5．【正確答案】A
【分析】
根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.
【詳解】
根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因為，所以.
故選：A.
6．【正確答案】B
【分析】要求分段函數(shù)的兩段均遞增，且左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)函數(shù)值．
【詳解】由題意，得，
故選：B
7．【正確答案】C
【分析】利用兩角和差的余弦公式以及三角函數(shù)的定義進行求解即可．
【詳解】，
，
，，
則
，
故選C．
本題主要考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．
8．【正確答案】D
【分析】由題意可得關(guān)于和對稱，即可得到，即可判斷.
【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，
因為是奇函數(shù)，所以，
即關(guān)于和對稱，
所以，，
得，得，
令，，
，，滿足條件，
而，，滿足條件，
但是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故AB都錯；
且，故C錯；
因為，所以，
即，所以可是奇函數(shù).故D對
故選：D
9．【正確答案】AB
【分析】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象變換、周期、對稱性以及單調(diào)性一一判斷各選項，即可得答案.
【詳解】由周期公式得，故A對；
因為在單調(diào)遞減，
所以令，得，
取時，，而是的子集，故B對；
，
，故，故C錯；
由的圖象向右平移個單位得到，
故D錯
故選：AB
10．【正確答案】ACD
【分析】對于A選項：分離常數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)即可判斷；對于B選項：由對數(shù)型函數(shù)的定點知識即可判斷；對于C選項：結(jié)合零點存在定理即可判斷；對于D選項：利用基本不等式計算即可.
【詳解】對于A選項：，該函數(shù)可由反比例函數(shù)先向左平移1個單位，
再向上平移1個單位，故的圖象關(guān)于對稱，故選項A正確；
對于B選項：由，令，即，
則，故函數(shù)的圖象過定點，故選項B錯誤；
對于C選項：由，得，令，
易知在上單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷，
因為，，所以，
所以方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解，故選項C正確；
對于D選項：因為，所以，
所以，
當且僅當時，即，有最小值為.
故選項D正確；
故選：ACD.
11．【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)對稱性判斷A選項，令，所以，根據(jù)單調(diào)性即可判斷單調(diào)性即B選項，根據(jù)單調(diào)性即可判斷C和D選項.
【詳解】因為，所以，
因為，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A選項正確；
令，所以，
如圖，對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B選項正確；
因為，
所以，，
所以，故C選項正確，D選項錯誤.
故選：ABC.
12．【正確答案】B
【分析】先根據(jù)對數(shù)定義把指數(shù)化為對數(shù)，再根據(jù)對數(shù)運算結(jié)合基本不等式逐個運算判斷.
【詳解】設(shè)，則
∴
對A：，A正確；
對B：由題意可得：，同理可得：
∵
∴，則，B錯誤；
對C：∵
∴，C正確；
對D：
∴，D正確；
故選：B.
13．【正確答案】
【分析】利用二倍角余弦公式直接化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得答案.
【詳解】
故
本題考查二倍角余弦公式，是基礎(chǔ)題
14．【正確答案】
【分析】發(fā)現(xiàn)，計算可得結(jié)果.
【詳解】因為，
，且，則.
故答案為-2
本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.
15．【正確答案】
根據(jù)兩角和差的正弦、余弦公式化簡為，
利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.
【詳解】,
,
即
，
故
本題主要考查了兩角和差的正余弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，屬于中檔題.
16．【正確答案】
【分析】求出分段函數(shù)的解析式，對分類討論并構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可算出.
【詳解】結(jié)合題意：若，則，
所以，
因為是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
即，
因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，
所以，
當時，，而，此時不滿足；
當時，，而，此時不滿足；
當時，要使，只需，
即，令，
則在上單調(diào)遞增，且,
而，解得.
即的解集為.
故答案為.
17．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，借助平方差，平方和公式計算即可;
（2）由（1）問，將的分母展開代入即可.
【詳解】（1），解得：，
，解得：，
，，，．
（2）由（1）知，，,
.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，轉(zhuǎn)化為任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值和最小值，列出不等式組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有實數(shù)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值與最小值，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
令，可得，
因為對一切實數(shù)恒成立，即對任意的，恒成立，
又由函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，
當時，；當時，，
則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍.
（2）解：由，令，
要使得方程關(guān)于x的方程在有實數(shù)解，
即在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，
令，由，
可當在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當時，，當或時，，
則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)圖象見解析；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡求出，利用“五點”作圖法列表作圖即可；
（2）通過得到，并借助誘導(dǎo)公式化簡計算即可.
【詳解】（1）結(jié)合題意可得：
，
列表如下：
區(qū)間內(nèi)的圖象如圖所示：
（2）由（1）問可得：，
，即，
，
即.
20．【正確答案】(1);
(2).
【分析】（1）確定函數(shù)模型，利用待定系數(shù)法求解即可;
（2）要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，只需,計算即可.
【詳解】（1）結(jié)合圖象，當時，由藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比，故可設(shè)直線為，
因為在在上，所以，解得，
所以當時，此時的函數(shù)關(guān)系為；
當時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為，
由圖可知經(jīng)過，所以，解得，
所以當時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為.
所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為.
（2）藥物釋放完畢后，要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，
只需，解得.
所以從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過小時,學(xué)生才能回到教室.
21．【正確答案】(1)，單調(diào)遞增，證明見詳解；
(2)
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，再利用函數(shù)奇偶性的定義驗證即可，判斷出函數(shù)在R上為增函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，得，問題轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值得解.
【詳解】（1）由題意，得，解得，
當時，，則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，合題意，故.
函數(shù)為R上的增函數(shù).證明如下：
任取，且，則
，
，，即，，，
所以，即，
所以函數(shù)為R上的增函數(shù).
（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，，
存在，使得成立，即，
令，易知在上單調(diào)遞增，
所以.即，當且僅當時等號成立，
，所以實數(shù)的取值范圍為.
思路點睛：第二問，由在上單調(diào)遞增，得，將原問題轉(zhuǎn)化為，只需即可，換元令，在上單調(diào)遞增，求出最大值可得的取值范圍.
22．【正確答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合不等式的解法，即可求解；
（2）（i）由（1）得到，轉(zhuǎn)化為有三個實根，分別求得，；
（ii）由（i）得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
當時，令，
設(shè)，則，此時，
由，即，即，可得，解得，
所以的解集為；
當時，令，
由，可得，即，
可得，解得，此時不等式的解集為，
綜上可得，不等式的解集為.
（2）解：（i）由函數(shù)，可得定義域為，
由（1）得，當時，；當時，，
令，
又由關(guān)于x的方程，
即有三個實根，
當時，可得，解得，
因為，解得，
再由，可得，解得.
（ii）由（i）知，，其中
可得，則，
設(shè)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當時，；且，
所以的取值范圍為．1
0
0
1

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