1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“且”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
3．若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．六氟化硫，化學(xué)式為，常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是兩個棱長均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體）.如圖所示，在正八面體中，是的重心，記，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知是直線的方向向量，直線經(jīng)過點，則點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓的方程為，為圓上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．焦點為的拋物線上有一點（不與原點重合），它在準(zhǔn)線上的投影為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．若圓為雙曲線的“伴隨圓”，過的左焦點與右支上一點，作直線交“伴隨圓”于，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．給出下列命題，其中真命題為（ ）
A．過點與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條
B．已知點，，則滿足到點距離為2，到點距離為3的直線有且僅有3條
C．過點與拋物線僅有1個公共點的直線有3條
D．過雙曲線的右焦點被截得線段長為5的直線有且僅有3條
10．已知正方體的棱長為2，動點滿足，，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)，，時，的最小值為
B．當(dāng)，，時，三棱錐的體積為3
C．當(dāng)，，時，經(jīng)過，，三點截正方體所得截面面積的取值范圍是
D．當(dāng)，且時，則的軌跡總長度為
11．過拋物線上一點作斜率分別為，的兩條直線，與分別交于兩點（異于點），則（ ）
A．過點與相切的直線方程為
B．若點，關(guān)于軸對稱，則為定值
C．若，則直線經(jīng)過定點
D．分別以，，為切點作拋物線的三條切線，，，若，兩點的橫坐標(biāo)相等，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．拋物線的焦點坐標(biāo)是 .
13．蓄有水的圓柱體茶杯，適當(dāng)傾斜能得到橢圓形水面，當(dāng)橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時，則水面橢圓的離心率為 .
14．如圖，在正方體中，，分別為棱和上的點，則與所成角的余弦值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.過定點的動直線與圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的最大值.
16．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率，左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，與軸交于點，且，.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，若的中點為，為坐標(biāo)原點，直線交直線于點，求的最小值.
17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長為6的正三角形，，分別是線段和上的點，.
(1)試確定點的位置，使得平面，并證明；
(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.
18．如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，在上，過點的兩條不重合的直線，與橢圓相交于，兩點，與橢圓相交于，和，四點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：；
(3)設(shè)直線，的傾斜角互補，求證.
19．設(shè)和是空間中的兩個不同點，則，，三點共線的充要條件是存在實數(shù)，使得，并且每個實數(shù)唯一對應(yīng)直線上的點.仿照上面定義，設(shè)，，是共線的三個不同點，定義點關(guān)于，的分比為.
(1)設(shè)，為空間中任意取定的一點，求證：；
(2)若，，，是共線的四個不同點，滿足，求的值；
(3)如圖，設(shè)，和分別是的邊，和上的點，若三條直線，和交于一點，求證.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】因為，
，
由題意，得，解得，即.
故選：C.
2．【正確答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標(biāo)椎方程，判斷可得出結(jié)論.
【詳解】解：充分性：當(dāng)，方程表示圓，充分性不成立；
必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，
因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B.
3．【正確答案】A
【詳解】因為是直線和的公共點，
所以，且，
所以兩點和都在同一條直線上，
故直線的方程是.
故選：A.
4．【正確答案】D
【詳解】易知，設(shè)中點為，
則，
所以，
故選：D.
5．【正確答案】B
【詳解】由題意直線的方向向量，，則，
，，所以點到直線的距離為
，
故選：B.
6．【正確答案】C
【詳解】由圓的方程知：圓心C0,1，半徑，
，
的幾何意義是圓上的點與點2,1連線的斜率，
設(shè)過點2,1的圓的切線方程為：，即，
圓心C0,1到切線的距離，解得：，
，.
故選：C.
7．【正確答案】B
【詳解】方法一：F1,0，故，，
過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，
如圖,由拋物線定義可知，
由∽得，，
又，故，
令，則，故，
所以，故，
即為的中點，由∽得，
又，得，則，
將代入中，，由圖可知，取正值，
則點，
由∽得，，
又，故，則，
將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，
即，由對稱性可知，
所以，
中，令，解得，故，
故⊥軸，
于是所求三角形的面積；
方法二：F1,0，故，，
過點作于A點，過點作于B點，設(shè)與軸交于點，
如圖,由拋物線定義可知，
由∽得，，
又，故，
令，則，故，
所以，故，
即為的中點，由∽得，
又，得，則，
將代入中，，由圖可知，取正值，
則點，
由∽得，，
又，故，則，
將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，
即，由對稱性可知，
所以，
中，令，解得，故，
則，
又，故.
故選：B.
8．【正確答案】C
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，
過作于，則，
因為，，所以，
因為，所以，即為線段的中點，
因為為的中點，所以，
所以，，
設(shè)，
則，，，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
所以，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以.
故選：C.
9．【正確答案】BCD
【詳解】對于A：設(shè)過點與坐標(biāo)軸相交的直線方程為：，則
，即，又 ，即
當(dāng)時可得：，解得：或
當(dāng)時可得：，即，此時，方程也有兩組解，故共有4組解，即過點與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有4條，A錯誤
對于B：因為，以為圓心，分別以2，3為半徑作圓，則圓與圓相外切，
它們的3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；
對于C：因為，當(dāng)時，，所以在拋物線的外部，
顯然過與拋物線相切的直線有兩條，
過與軸平行時，與拋物線也只有一個交點，故共有3條直線，所以C正確，
對于D：
設(shè)雙曲線的右焦點為，過的直線與雙曲線右支相交于，
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為則，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以當(dāng)直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為，
過雙曲線的右焦點作垂直實軸的直線，被雙曲線右支截得的弦（通徑）長為，
又雙曲線的實軸長，
所以結(jié)合對稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長為5的直線有2條，共有3條，所以D正確；
故選：BCD
10．【正確答案】AD
【詳解】對于A，因為，，，即，故點在上，
將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：
連接交于，此時，，三點共線，取到最小值即，
即，A正確；
對于B，由于，時，則為的中點，
以為空間直角坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建系，如圖

則，
所以，
所以，
是平面的一個法向量，，
則點到平面的距離為，
所以，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，點與點重合，
此時經(jīng)過三點截正方體所得截面是矩形，
其面積；
當(dāng)時，點與點重合，
經(jīng)過三點截正方體所得截面是三角形，
其面積，
當(dāng)時，設(shè)經(jīng)過三點截正方體所得截面是梯形，
梯形的面積隨的增大而減小，故截面面積的取值范圍是，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，可得四點共面，
所以點的軌跡在內(nèi)（包括邊界），
由選項B知，，是平面的一個法向量，
設(shè)點在平面的內(nèi)的投影為，
因為，所以為的中心，
所以點到平面的距離為，
若，則，
即點落在以為圓心，為半徑的圓上（如上右圖），
點到三邊的距離為，
此時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，
其軌跡長度為，即D正確；
故選：AD.
11．【正確答案】ABD
【詳解】因為點在拋物線上，所以，所以，
所以拋物線的方程為.
對于A，設(shè)過點的切線方程為，
聯(lián)立，得，
所以，所以，
所以切線方程為，故A正確；
對于B，由題意設(shè)，，則
，
又因為，
于是為定值，故B正確；
對于C，設(shè)，，由題意可知，直線斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，所以，，，
所以，，
所以，
所以，所以直線的方程為，
所以直線恒過定點，故C錯誤；
對于D，設(shè)，，以為切點的切線方程為，
則，
令，得，
所以切線方程為，
同理可得以為切點的切線方程為：，
以為切點的切線方程為，
聯(lián)立與的方程可得，
即點的橫坐標(biāo)為，由題意，
則切線的斜率，
又直線的斜率，即，
所以，故D正確.
故選：A B D.
12．【正確答案】
【詳解】由題意知化簡為，所以焦點坐標(biāo)為.
故
13．【正確答案】/0.5
【詳解】
設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫示意圖如圖所示：
則是橢圓的長半軸長，等于橢圓的短半軸長，則，
又，則.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】以為空間直角坐標(biāo)原點，分別以為，，軸建系如圖，
設(shè)，，設(shè)
，則，
①當(dāng)或時，；
②當(dāng)且時，令，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），令，函數(shù)在為增函數(shù)，故.故，所以.
綜上.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）中點坐標(biāo)為，，
故中垂線為，即，
與聯(lián)立，解得圓心點坐標(biāo)為，
圓的半徑，故圓
（2）法一：設(shè)中點坐標(biāo)為，，故點在為直徑的圓上，
設(shè)中點，，，則
，所以，
以為直徑的圓的方程：，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，故.
法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時，中點坐標(biāo)，
；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：代入整理得：
，
設(shè)，則，，
，
，
因為求的最大值，可令，代入上式可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
易求，故.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意結(jié)合雙曲線的對稱性可知，得，即軸，把
代入方程，可得，
又，
即，又，
解得，，
雙曲線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，
化簡得，
設(shè)，則，，結(jié)合直線的方程得，
即中點坐標(biāo)為.
于是，（傾斜角，或）
當(dāng)或時，，直線方程為：
，令得，此時，
于是，令，則，
由知，當(dāng)時，，故的最小值為.
17．【正確答案】(1)F為三等分點，且；證明見解析
(2)
【詳解】（1）取為三等分點，且，過作，
則，所以為平行四邊形，所以，
又，，
所以平面.
（2）由題意平面底面，平面底面，，
平面，所以，
所以直線與平面所成角的平面角為，
在中，由，得.
設(shè)中點為，設(shè)中點為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則， ，
設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z，
由，取，可得，
易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為 .
18．【正確答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）橢圓的離心率，令橢圓的半焦距為c，
則，橢圓，又點在上，
于是，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若斜率不存在或為0，由對稱性知：；
若斜率存在且不為0，設(shè)中點為，，
則，，兩式相減得，
，直線的斜率分別為，于是，
設(shè)中點為，直線的斜率為，同理，則，
而點與都在直線，則有點與重合，即，
所以.
（3）由（2）知，，同理，
依題意，直線斜率存在，設(shè)直線，
由消去得，
設(shè)，則，，
，
由直線的傾斜角互補，則的斜率為，同理，
因此，所以.
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）由題意得，故，
，故；
（2）設(shè)，則，因為是共線的三個不同點，故，
所以，，
，即，
，故，因為是共線的三個不同點，故
所以，，，故.
（3）設(shè)，
因為和三點共線，，參照（1）證明可得：
①，
又因為三點共線，所以存在，使得，代入①式可得：
②，
同理，利用，可以找到實數(shù)和，使得
③，
④，
聯(lián)立②③消去，聯(lián)立②④消去，可得：
，，
又因為，和中任意兩個向量互不共線，
故有，
由得，由得，
又，故，即，
所以.得證.

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