第02講直線與直線的位置關(guān)系（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+3種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01：公理４
【即學(xué)即練1】如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明因?yàn)樵诳臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形．
知識(shí)點(diǎn)02：等角定理
1．定理
2個(gè)推論
推論１如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ) ．
推論２如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等．
【即學(xué)即練2】 (1)如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且eq \f(OA,OA′)＝eq \f(OB,OB′)＝eq \f(OC,OC′)＝eq \f(2,3)，則eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.
答案 eq \f(4,9)
解析 ∵AA′∩BB′＝O，且eq \f(OA,OA′)＝eq \f(OB,OB′)＝eq \f(2,3)，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(OA,OA′)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9).
(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分別是棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.
證明如圖，連接EE1.
∵E1，E分別為A1D1，AD的中點(diǎn)，
∴A1E1綊AE，
∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，
∴A1A綊E1E，
又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B，
∴四邊形E1EBB1是平行四邊形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1與∠BEC的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，
且∠B1E1C1和∠BEC均為銳角，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
知識(shí)點(diǎn)03：異面直線
1.定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線（ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ）
2.空間的兩條直線就有三種不同的位置關(guān)系
3.判定定理
過(guò)平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線都是異面直線
【即學(xué)即練3】已知A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，求證：直線EF與BD是異面直線；
證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
知識(shí)點(diǎn)04：異面直線所成的角
1．已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
2．空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
注意點(diǎn)：
(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無(wú)關(guān)．
(2)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．
【即學(xué)即練4】如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：
(1)BE與CG所成的角；
(2)FO與BD所成的角．
解 (1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
(2)如圖，連接FH，
∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
知識(shí)點(diǎn)05：直線與直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a⊥b.
注意點(diǎn)：
兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．
【即學(xué)即練5】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AO⊥A1B.
證明 ∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，
∴A1D1綊BC，
∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，
∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，
如圖，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，
又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
題型01公理4、等角定理的應(yīng)用
【解題策略】
【例1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．
(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；
(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.
[思路探究] (1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形，可證其一組對(duì)邊平行且相等；(2)可結(jié)合(1)利用等角定理證明或利用三角形全等證明．
[解] (1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．
(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
【變式1】如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.
[證明] (1)在△ABD中，
∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD.
同理FG∥BD，則EH∥FG.
故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
【變式2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)，求證：△EFG∽△C1DA1.
證明如圖所示，連接B1C.
因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，
所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1為正方體，
所以CD綊AB，A1B1綊AB，
由基本事實(shí)4知CD綊A1B1，
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D綊B1C.
又B1C∥FG，由基本事實(shí)4知A1D∥FG.
同理可證A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1與∠FGE，∠A1DC1與∠GFE，∠DC1A1與∠FEG的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行且均為銳角，
所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
【變式3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BFD1E是平行四邊形．
證明如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接GC1，GE.
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四邊形BFC1G是平行四邊形．
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因?yàn)镋G∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形．
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四邊形BFD1E是平行四邊形．
【變式4】如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥FA，BE＝eq \f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．
(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
(1)證明由G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
可得GH∥AD，GH＝eq \f(1,2)AD.
又BC∥AD，BC＝eq \f(1,2)AD，
∴GH綊BC，
∴四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)解 C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
理由：由BE∥FA，BE＝eq \f(1,2)AF，G為FA的中點(diǎn)知，
BE綊FG，
∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF與CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
題型02 異面直線所成的角
【解題策略】
【例2】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D.
(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？
(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？
(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？
[解] (1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.
(3)直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直．
【變式1】（2022秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線、是正方體上兩條面對(duì)角線所在的直線，且、是異面直線，則直線、所成的角的大小為_____．
【答案】或
【分析】如圖所示：不防設(shè)為直線，與異面的面對(duì)角線有，根據(jù)平行性與正方體性質(zhì)即可求解．
【詳解】正方體共有12條面對(duì)角線，如圖所示：
不防設(shè)為直線，與異面的面對(duì)角線有
因?yàn)?br>而且與的夾角均為，與的夾角均為．
所以當(dāng)為其中一條直線時(shí)，直線、所成的角的大小為或．
故答案為：或．
【變式2】（2022秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，點(diǎn)是所在平面外一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為___________
【答案】
【分析】取中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)可得，則可知所求角為（或其補(bǔ)角），利用余弦定理可求得，由此可得結(jié)果.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，
設(shè)，
分別為中點(diǎn)，，，
異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），
，為等邊三角形，，
同理可得：，
，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
【變式3】如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
[解] (1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq \r(3)，B′C′＝2eq \r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq \r(3)，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°.
【變式4】如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．
解如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF.
在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE與CD所成的角．
在Rt△ABC中，BC＝eq \r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.
在Rt△EAB中，AB＝1，
AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2).
在Rt△AEF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，∴EF＝eq \f(\r(2),2).
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).
∴BE＝BF，即△EBF為等腰三角形，
在等腰三角形EBF中，cs∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)，
∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq \f(\r(10),10).
題型03 直線與直線垂直的證明
【解題策略】
【例3】如圖所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.
[解] 法一：如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G.
則OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，
∴GO⊥A1C1.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.
∴DB1⊥EF.
法二：如圖所示，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，
則HEeq \f(1,2)DB1.于是∠HEF為所求
異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．
連接HF，設(shè)AA1＝1，
則EF＝eq \f(\r(2),2)，HE＝eq \f(\r(3),2)，
取A1D1的中點(diǎn)I，連接HI，IF，
則HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋I(xiàn)F2＝eq \f(5,4).
∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.
∴DB1⊥EF.
【變式1】空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3.
求證：AC⊥BD.
[證明] ∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，
∴GE∥BD，
同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，
滿足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即異面直線AC與BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
【變式2】如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.
證明如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，
∴EF∥AC′，
∴BE和EF所成角為∠BEF，
即為異面直線BE與AC′所成角，且EF＝eq \f(1,2)AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
AC′＝2eq \r(2)，∴EF＝eq \r(2).
在等邊三角形ABC中，BE＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
在Rt△BCF中，BF＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
【變式3】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.
證明如圖，取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.
∵E是BD1的中點(diǎn)，
∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC，
∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，
又G為CD1的中點(diǎn)，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，
∴CD1⊥EF.
一．選擇題（共6小題）
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示，是異面直線的圖形的序號(hào)為
A．①②B．③④C．①③D．②④
【分析】判定異面直線的方法：①根據(jù)它的判定定理：“經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．”②定義法：不在同一個(gè)平面內(nèi)的．兩條直線稱為異面直線；③反證法：既不平行又不相交的直線即為異面直線．
【解答】解：異面直線的判定定理：“經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．”
根據(jù)異面直線的判定定理可知：在圖②④中，直線、是異面直線；
在圖①中，由、均為棱的中點(diǎn)可知：；
在圖③中，、均為棱的中點(diǎn)，四邊形為梯形，則與相交．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力．
2．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）空間兩條互相平行的直線指的是（）
A．在空間沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
B．分別在兩個(gè)平面上的兩條直線
C．在兩個(gè)不同的平面上且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
D．在同一平面上且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
【分析】根據(jù)空間兩條互相平行的定義即可求解．
【解答】解：根據(jù)空間兩條互相平行的定義可知：
平行直線是在同一平面上且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間兩條互相平行的定義，屬基礎(chǔ)題．
3．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段端點(diǎn)、中點(diǎn)位置可判斷，根據(jù)異面直線的判定可判斷．
【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與直線相交，故錯(cuò)誤；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與直線相交，故錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c在同一平面上，，平面，
所以由異面直線判定定理知，直線與直線始異面，故正確；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與直線共面，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）直線與直線相交，直線也與直線相交，則直線與直線的位置關(guān)系是
A．相交B．平行C．異面D．以上都有可能
【分析】根據(jù)題意，由空間直線間的位置關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線與相交，與相交，
直線與直線可能相交、平行、異面，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線間的關(guān)系，涉及直線位置關(guān)系的定義，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）設(shè)平面平面，直線，直線，則直線，的位置關(guān)系為
A．平行B．相交C．異面D．平行或異面
【分析】由兩平行平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系得答案．
【解答】解：由平面平面，直線，直線，得直線，的位置關(guān)系為平行或異面．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
6．（2023秋?奉賢區(qū)期中）若兩異面直線，所成的角為，過(guò)空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線，所成角均是的直線，則所作直線共有條．
A．1B．2C．3D．4
【分析】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作，，則過(guò)的直線在平面上的射影為，的夾角的角平分線時(shí)，符合題意，根據(jù)角的大小得出與，所成角的范圍，從而得出答案．
【解答】解：在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作，，
設(shè)直線、確定平面，
當(dāng)直線滿足它的射影在、所成角的平分線上時(shí)，
與所成的角等于與所成的角
因?yàn)橹本€，所成的角為，得、所成銳角等于，
所以當(dāng)?shù)纳溆霸凇⑺射J角的平分線上時(shí)，
與、所成角的范圍是，．
這種情況下，過(guò)點(diǎn)有兩條直線與，所成的角都是，
當(dāng)?shù)纳溆霸?、所成鈍角的平分線上時(shí)，與、所成角的范圍是，．
這種情況下，過(guò)點(diǎn)有兩條直線與，所成的角都是，
綜上所述，過(guò)空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線有4條．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】題給出兩條直線所成角為，求過(guò)空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線的條數(shù)．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
二．填空題（共6小題）
7．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）在正方體的12條棱中，與棱所在直線異面且垂直的共有 4 條．
【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線的定義確定與棱所在直線異面且垂直的棱的條數(shù)．
【解答】解：如下圖，與棱所在直線異面的棱有，，，，
由于垂直于上下底面，且，在上底面，，在下底面，
所以與棱所在直線異面且垂直的有，，，，共4條．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）設(shè)空間兩個(gè)角∠A與∠B，若它們的兩邊分別平行，∠A＝30°，則∠B＝ 30°或150° ．
【分析】直接利用等角定理即可得解．
【解答】解：∵空間兩個(gè)角∠A與∠B的兩邊分別平行，
∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，
則∠B＝30°或150°．
故答案為：30°或150°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等角定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
9．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）正方體的所有棱所在直線中，與直線垂直且異面的直線共有 4 條．
【分析】根據(jù)正方體的圖形以及異面直線的定義，觀察即可得出答案．
【解答】解：由圖象可知，與直線垂直且異面的直線有：
、、、，共4條．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的概念，屬基礎(chǔ)題．
10．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將這個(gè)正方體復(fù)原后，在其所有棱以及三條面對(duì)角線、、中，與直線異面的直線共有 11 條．
【分析】根據(jù)題意，作出正方體的還原圖，由異面直線的定義分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，還原后的正方體如圖所示，
在其所有棱以及三條面對(duì)角線、、中，與直線異面的直線有、、、、、、、、、、，共11條；
故答案為：11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與直線間的位置關(guān)系，涉及正方體的展開圖，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）在長(zhǎng)方體中，直線與直線的位置關(guān)系是異面直線．
【分析】由異面直線判定定理得直線與直線是異面直線．
【解答】解：平面，平面，
直線，
由異面直線判定定理得直線與直線是異面直線．
故答案為：異面直線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線的位置關(guān)系的判斷，考查異面直線判定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
12．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是異面．
【分析】由異面直線的定義進(jìn)行判定即可．
【解答】解：由題意，如圖所示，直線平面，
平面，，
由異面直線的定義可知，
直線與直線是異面直線．
故答案為：異面．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線線關(guān)系的判定，考查異面直線的定義，屬基礎(chǔ)題．
三．解答題（共5小題）
13．（2022秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考期中）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1.
(1) 正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線？
(2)若分別是，的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小.
【答案】(1)棱；
(2)
【分析】（1）直接根據(jù)異面直線的定義得到答案.
（2）連結(jié)，，確定異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）由異面直線的定義可知，棱所在的直線與直線是異面直線
（2）連結(jié)，，，分別是，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角為（或其補(bǔ)角），
由于，于是，
所以異面直線與所成角大小為.
14．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知：平面平面，，，且c∥a，求證：b、c是異面直線．
【答案】證明見解析
【分析】證明b、c是異面直線，比較困難，考慮使用反證法，即若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交，證明b∥c或b與c相交都是不可能的，從而證明b、c是異面直線．
【詳解】證明：用反證法：
若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交
（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b這與a∩b＝A矛盾；
（2）若b，c相交于B，則Bβ，又a∩b＝A，
∴Aβ∴AB?β，即b?β這與b∩β＝A矛盾
∴b，c是異面直線．
15．（2022秋·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M是正方體的與上的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角．
【答案】
【分析】連與，即可得到就是求異面直線與所成的角，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.
【詳解】
連與，因?yàn)榫褪乔螽惷嬷本€與所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在三角形中，
，即異面直線與所成的角是．
16．（2022秋·上海嘉定·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在正方體中，分別是的中點(diǎn).求證：
(1)三線共點(diǎn)；
(2)直線和直線是異面直線.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由平面基本性質(zhì)知面．再由三角形中位線定理證明，，三線共點(diǎn)于．
（2）由反證法以及線面平行的判定以及性質(zhì)即可得矛盾求解.
（1）
分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，
，面，
面．
是的中點(diǎn)，，
是的中點(diǎn)，
連接，，
的交點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，即為E，
，，三線共點(diǎn)于．
（2）
假如直線和直線不是異面直線，則存在一個(gè)平面，使得，
由于在正方體中,,,
因此,
又因?yàn)槠矫?且平面,
故,在正方形中，顯然不平行，故矛盾，
因此假設(shè)不成立，即直線和直線是異面直線.
17．（2022秋·上海嘉定·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，和是異面直線，分別為線段上的點(diǎn)，且，求和所成角的大小.
【答案】
【分析】在平面中，過(guò)作，交于，連接，證明，然后利用余弦定理解三角形可得和所成角的大小．
【詳解】
在平面中，過(guò)作，交于，連接，
，，
又，，則，
即（或其補(bǔ)角）為和所成角，
在中，，，，
，所以，
由于空間中兩直線的夾角的范圍為
和所成角的大小為．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過(guò)基本事實(shí)4和等角定理，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．
2．借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
3.通過(guò)實(shí)物觀察、抽象出空間兩直線位置關(guān)系、異面直線概念及夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).
4.借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).
1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.
2.能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題．
3.借助長(zhǎng)方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系.
4.理解并掌握異面直線所成的角，會(huì)求任意兩條直線所成的角．
文字語(yǔ)言
平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c
作用
證明兩條直線平行
文字語(yǔ)言
如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
符號(hào)語(yǔ)言
OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語(yǔ)言
作用
判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
1．空間兩條直線平行的證明
一是定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；
二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；
三是利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．
2．求證角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
“等角定理”為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過(guò)空間任一點(diǎn)，作兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角(或直角)都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．
證明兩條異面直線垂直的步驟：
(1)恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．
(2)證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)．
(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過(guò)解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．
(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證．

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