1．直線與橢圓的位置判斷
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ>0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ1 B.m>0
C.00)的左、右頂點(diǎn)，直線BP交E于點(diǎn)Q，△ABP是等腰直角三角形，且eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→)).
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)P的動直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.
[舉一反三]
已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(3),2)，短軸長為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABO的面積為eq \f(3,5)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．
第51講 直線與橢圓的位置關(guān)系
1．直線與橢圓的位置判斷
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ>0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ0，即－3eq \r(2)0)的左、右頂點(diǎn)，直線BP交E于點(diǎn)Q，△ABP是等腰直角三角形，且eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→)).
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)P的動直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0).
設(shè)Q(x0，y0)，則由eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(6,5)，,y0＝－\f(4,5)，))
代入橢圓方程得b2＝1，
所以橢圓E的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)依題意得，直線l的斜率存在，方程設(shè)為y＝kx－2.
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直線l與E有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程(*)有不等的兩實(shí)根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，
解得k2>eq \f(3,4).
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(16k,1＋4k2)，,x1x2＝\f(12,1＋4k2)，))
因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外，
所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·eq \f(12,1＋4k2)－2k·eq \f(16k,1＋4k2)＋4>0，
解得k2

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