1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.
2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系
(1)兩直線的交點(diǎn)
點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)兩直線的位置關(guān)系
3.距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)點(diǎn)到直線的距離公式
平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.對稱問題
(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對稱點(diǎn)為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考點(diǎn)1 兩條直線的平行與垂直
[名師點(diǎn)睛]
1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.
2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
[典例]
1.(2023·杭州模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq \f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2.(2023·長春模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
3.(2023·荊門模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
[舉一反三]
1.已知m，n∈R，則“直線x＋my－1＝0與nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
2.(2023·煙臺期末)若直線l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0與l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，則實(shí)數(shù)k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
3.經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________.
4.(多選)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是( )
A.若l1∥l2，則m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，則m＝3
C.若l1⊥l2，則m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，則m＝eq \f(1,2)
考點(diǎn)2 兩直線的交點(diǎn)與距離問題
[名師點(diǎn)睛]
(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.
(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.
[典例]
1.已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq \f(1,2)x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
2.(2023·湖州調(diào)研)已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________.
3.若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq \f(2\r(13),13)，則c的值是________.
[舉一反三]
1.兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為( )
A．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
2.已知直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，并且與點(diǎn)(2,3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為________________．
3.(多選)(2023·濟(jì)南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
考點(diǎn)3 對稱問題
[名師點(diǎn)睛]
(1)光的反射問題實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.
(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.
(3)求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：
①在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.
②設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.
[典例]
1.過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________________．
2.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為________.
3.直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是________________.
[舉一反三]
1.直線2x－4y－1＝0關(guān)于x＋y＝0對稱的直線方程為( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
3.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：
(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對稱直線l′的方程．
方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一組
無數(shù)組
無解
直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
一個(gè)
無數(shù)個(gè)
零個(gè)
直線l1與l2的位置關(guān)系
相交
重合
平行
第47講 兩直線的位置關(guān)系
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.
2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系
(1)兩直線的交點(diǎn)
點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)兩直線的位置關(guān)系
3.距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)點(diǎn)到直線的距離公式
平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.對稱問題
(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對稱點(diǎn)為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
考點(diǎn)1 兩條直線的平行與垂直
[名師點(diǎn)睛]
1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.
2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
[典例]
1.(2023·杭州模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq \f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當(dāng)l1∥l2時(shí)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－?a＋2?＝0，,2a－1≠0，))
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝eq \f(1,e)，解得a＝－1，
所以“ea＝eq \f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．
2.(2023·長春模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案 C
解析 ∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，
∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直線l的方程為x＋2y＋1＝0.
3.(2023·荊門模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案 D
解析 由題設(shè)，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
∴AB垂直平分線的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分線方程為y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，則△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上，
∴△ABC的歐拉線的方程為2x－4y＋1＝0.
[舉一反三]
1.已知m，n∈R，則“直線x＋my－1＝0與nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
答案 A
解析 直線x＋my－1＝0與直線nx＋y＋1＝0平行，則eq \f(1,n)＝eq \f(m,1)≠eq \f(－1,1)，
∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1時(shí)，mn＝1，但x－y－1＝0與－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.
2.(2023·煙臺期末)若直線l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0與l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，則實(shí)數(shù)k的值是( )
A.3或－3 B.3或4
C.－3或－1 D.－1或4
答案 A
解析 ∵直線l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
直線l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.
3.經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9))).
因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直線的斜率為k＝eq \f(4,3).
由點(diǎn)斜式得所求直線方程為
y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為
4x－3y＋m＝0.
由方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))
可解得交點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
法三 由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
4.(多選)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是( )
A.若l1∥l2，則m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，則m＝3
C.若l1⊥l2，則m＝－eq \f(1,2)
D.若l1⊥l2，則m＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 若l1∥l2則1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
當(dāng)m＝－1時(shí)，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1與l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正確；
若l1⊥l2，則1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq \f(1,2)，故C不正確，D正確.
考點(diǎn)2 兩直線的交點(diǎn)與距離問題
[名師點(diǎn)睛]
(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.
(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.
[典例]
1.已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq \f(1,2)x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，則兩直線平行)
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交點(diǎn)位于第一象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq \f(1,6)＜k＜eq \f(1,2).
2.(2023·湖州調(diào)研)已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________.
答案 [0，10]
解析 由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為
eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a的取值范圍是[0，10].
3.若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq \f(2\r(13),13)，則c的值是________.
答案 2或－6
解析 由題意得eq \f(3,6)＝eq \f(－2,a)≠eq \f(－1,c)，
∴a＝－4，c≠－2，
則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.
由兩平行線間的距離公式得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq \f(2\r(13),13)，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.
[舉一反三]
1.兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為( )
A．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 由題知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化為2x－y＋eq \f(4,3)＝0，∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3).
2.已知直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，并且與點(diǎn)(2,3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為________________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由題設(shè)有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此時(shí)直線方程為4x－y－2＝0.
若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿足題設(shè)條件．
故所求直線的方程為4x－y－2＝0或x＝1.
3.(多選)(2023·濟(jì)南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
答案 BD
解析 設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，
由題意知d1＝eq \f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36)).
因?yàn)閑q \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq \f(|m＋9|,\r(16＋36))，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq \f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
考點(diǎn)3 對稱問題
[名師點(diǎn)睛]
(1)光的反射問題實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.
(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.
(3)求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：
①在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.
②設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.
[典例]
1.過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
2.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為________.
答案 6x－y－6＝0
解析 設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.
又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，
所以所求直線的方程為eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
3.直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是________________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，
點(diǎn)P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2.))
∵點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
[舉一反三]
1.直線2x－4y－1＝0關(guān)于x＋y＝0對稱的直線方程為( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
答案 A
解析 設(shè)直線2x－4y－1＝0上一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x，y)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－y0,x－x0)＝1，,\f(x＋x0,2)＋\f(y＋y0,2)＝0，))
整理可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－y，,y0＝－x，))
∴－2y＋4x－1＝0，
即直線2x－4y－1＝0關(guān)于x＋y＝0對稱的直線方程為4x－2y－1＝0.
2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0.設(shè)P(t，0)(0

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