滬教版高中數(shù)學(xué)必修三講義第06講 柱體（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析版）

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知識(shí)點(diǎn)1.多面體
多面體的定義及其相關(guān)概念
【即學(xué)即練1】（1）一個(gè)多面體的面至少有
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】結(jié)合多面體的幾何結(jié)構(gòu)特征可得答案．
【解答】解：由多面體的幾何結(jié)構(gòu)特征可知，多面體底面至少為三條邊，即底面是三角形，
則對(duì)應(yīng)有三個(gè)側(cè)面，即為三棱錐，
所以一個(gè)多面體至少有4個(gè)面．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是多面體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
（2）給出下列空間幾何體：①球；②建筑用的方磚；③茶杯；④埃及的金字塔．其中屬于多面體的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
【分析】結(jié)合多面體與旋轉(zhuǎn)體的定義檢驗(yàn)各幾何體，即可判斷．
【解答】解：①球?yàn)樾D(zhuǎn)體；②建筑用的方磚，屬于多面體，③茶杯屬于旋轉(zhuǎn)體；④埃及的金字塔屬于多面體．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
知識(shí)點(diǎn)2.棱柱與圓柱
1.棱柱定義、相關(guān)概念、結(jié)構(gòu)特征與分類
2、圓柱定義、相關(guān)概念、結(jié)構(gòu)特征
【即學(xué)即練2】（1）下面的幾何體中是棱柱的有( )
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【答案】C；
【解析】棱柱有三個(gè)特征：(1)有兩個(gè)面相互平行；(2)其余各面是四邊形；(3)側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合，故選C;
（2）下列命題中正確的是( )
A．連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線
B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)圓柱體
C．直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面
D．以矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱
【答案】D；
【解析】由圓柱的概念可知D正確；
【說明】圓柱的性質(zhì)：（1）圓柱的上下底面為兩個(gè)相等的圓面；（2）圓柱的軸截面為矩形，一組對(duì)邊為底面的直徑，一組對(duì)邊為母線；（3）平行于底面的截面是與底面全等的圓面；
知識(shí)點(diǎn)3.祖暅原理
祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面都有相等的面積，那么這兩個(gè)幾何體的體積必相等；
【說明】1、祖暅原理；
（1）“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”；
（2）作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等；
【即學(xué)即練3】早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時(shí)，就創(chuàng)造性地提出了一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積、總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積、相等．根據(jù)“祖暅原理”，“ ”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)祖暅原理，判斷“”與“”之間的邏輯推理關(guān)系即可．
【解答】解：根據(jù)祖暅原理可知，當(dāng)時(shí)，一定有成立，
反之，當(dāng)成立時(shí)，不一定有成立，
比如兩個(gè)完全相同的三棱錐，正置和倒置時(shí)，，不一定相等，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
知識(shí)點(diǎn)4.柱體的體積
【即學(xué)即練4】（1）（2022·上海·高二專題練習(xí)）一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形，則該圓柱的體積是___________.
【答案】
【分析】分析可得圓柱上下底面圓的直徑，圓柱的高，由圓柱的體積公式，即得解
【詳解】由題意，圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形
故圓柱上下底面圓的直徑，圓柱的高
由圓柱的體積公式，
故圓柱的體積
（2）（2022秋·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谥校├庵牡酌媸沁呴L為的正方形，且，，則此棱柱的體積為______．
【答案】
【分析】設(shè)和交于點(diǎn)，在中，求出；在中，求出；在中，求出；過作底面，垂足在對(duì)角線上，在中，求出棱柱的高，利用棱柱的體積公式求解即可．
【詳解】設(shè)和交于點(diǎn)，
中，，，則
同理
中，，，則
中，，，則，即
，過作底面，垂足在對(duì)角線上，
在中，，，則
此棱柱的體積為
故答案為：
知識(shí)點(diǎn)5.柱體的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和；所以，棱柱、圓柱的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和；
【即學(xué)即練5】（2022·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，．
(1)求三棱柱的表面積S；
(2)求異面直線與AC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，可求三棱柱的表面積S；
（2）連接，確定就是異面直線與AC所成的角（或其補(bǔ)角），在中，利用余弦定理可求結(jié)論．
【詳解】（1）在△ABC中，因?yàn)椋?，，所?br>所以
（2）連接，因?yàn)?，所以就是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）
三棱柱為直三棱柱，側(cè)面均為矩形，，
，，又,
在中， 由余弦定理可得，
所以.
即異面直線與AC所成角的大小為．
【變式3】（2022秋·上海虹口·高二?？计谀┤鐖D，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若，，，求圓柱的側(cè)面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由圓柱的性質(zhì)可得底面，即可得出，再由直線與平面垂直的判定得出結(jié)論；
（2）由已知解直角三角形求出圓柱的底面半徑及母線長，即可求出答案.
【詳解】（1）證明：底面，且底面，
，
又，且，平面，
平面；
（2）在中，，，
，
又在中，，
．
圓柱的底面半徑為，母線長為4，
圓柱的側(cè)面積為．
題型01 棱柱的結(jié)構(gòu)特征
1．（2023秋?黃浦區(qū)期末）在如圖所示的正方體中，一條平行于的直線與該正方體的表面交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在側(cè)面上，有以下結(jié)論：①平面上不存在滿足條件的點(diǎn)；②平面上存在滿足條件的點(diǎn)，下列判斷正確的是
A．①，②均正確B．①正確，②錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤，②正確D．①，②均錯(cuò)誤
【分析】連接，在△中，作直線，分別交、于點(diǎn)、，由此判斷即可．
【解答】解：連接，在△中，作直線，分別交、于點(diǎn)、，
所以點(diǎn)，點(diǎn)，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，平面，
又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>所以平面上存在滿足條件的點(diǎn)，①錯(cuò)誤；
平面上存在滿足條件的點(diǎn)，②正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．
2．（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個(gè)數(shù)為
A．48B．36C．24D．12
【分析】每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)6個(gè)鱉臑，所以8個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)48個(gè)鱉臑．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，再除2，即可得解．
【解答】解：在正方體中，當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)，三棱錐、、、、、均為鱉臑．
所以8個(gè)頂點(diǎn)為個(gè)．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，
所以鱉臑的個(gè)數(shù)為個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中線面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為面和線段上動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為
A．B．C．D．
【分析】由題意得：周長取最小值時(shí)，在上，在平面上，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，求出，即可得到周長的最小值．
【解答】解：由題意得：周長取最小值時(shí)，在上，
在平面上，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
連結(jié)，當(dāng)與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為時(shí)，
則是周長的最小值，
，，，
．
周長的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對(duì)稱點(diǎn)的運(yùn)用，考查余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．
4．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）正方體的棱長為4，，分別為、的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為 18 ．
【分析】把截面補(bǔ)形為四邊形，由等腰梯形計(jì)算其面積即可．
【解答】解：如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形，
連接，由正方體可得，可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形，
由正方體的棱長為4，得，，
，則到的距離即等腰梯形的高為，
所求截面的面積為．
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體的截面面積，考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，對(duì)于直四棱柱，要使，則在四邊形中，滿足的條件可以是 ．（只需寫出一個(gè)正確的條件）
【分析】根據(jù)直四棱柱中平面，得出，再由，只需條件：即可．
【解答】解：應(yīng)添加條件為：；
理由是：直四棱柱中，平面，平面，
所以；
由條件，且，平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又因?yàn)?，且，，且?br>所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．
6．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分成 27 個(gè)部分．
【分析】正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分為3個(gè)層，每層有9部分，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分為3個(gè)層，每層有9部分，
正方體的6個(gè)面無限延展后把空間分成個(gè)部分．
故答案為：27．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題．
7．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在三棱柱中，，，，側(cè)棱的長為1，則該三棱柱的高等于 ．
【分析】過作平面、直線、的垂線，交點(diǎn)分別為，，，可得四邊形為矩形，結(jié)合條件可得，，進(jìn)而即得．
【解答】解：過作平面、直線、的垂線，交點(diǎn)分別為，，，連接、、，則即為三棱柱的高，
由平面，平面，可得，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可得，又，
所以四邊形為矩形，
在直角三角形和中，，，側(cè)棱的長為1，
則，，
所以，
所以，
即三棱柱的高等于．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，屬于中檔題．
8．（2023秋?長寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
【分析】連，沿將展開與△在同一個(gè)平面內(nèi)，不難看出的最小值是的連線．（在上取一點(diǎn)與構(gòu)成三角形，因?yàn)槿切蝺蛇吅痛笥诘谌叄┯捎嘞叶ɡ砑纯汕蠼猓?br>【解答】解：連，沿將展開與△在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，
連，則的長度就是所求的最小值．
通過計(jì)算可得，
在△中，，，，
，
又，，
，
，
又，，
在△中利用余弦定理可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．
9．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知空間一個(gè)平面與一個(gè)正方體的12條棱所成的角都等于，則 ．
【分析】通過線面角的定義可得，在△ 求解即可．
【解答】解：因?yàn)槔?，，與平面所成的角相等，
所以平面就是與正方體的12條棱所成的角均為的平面．
則，如下圖：
設(shè)棱長為2，，，，
，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的夾角，屬于中檔題．
10．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是 ， ．
【分析】取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面平面，從而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，作于，由，能求出線段長度的取值范圍．
【解答】解：取中點(diǎn)，連結(jié)，，
在棱長為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，
，，
，，
平面平面，
是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
在等腰△中，，，
作于，由等面積法解得：
，
，
線段長度的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
題型02 棱柱的側(cè)面積和表面積
11、已知某長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為( )
A．22 B．20 C．10 D．11
【答案】A；
【解析】所求長方體的表面積S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22；
12.已知正四棱柱底面邊長為，體積為32，則此四棱柱的表面積為 ．
【分析】求出正四棱柱的高，再計(jì)算此四棱柱的表面積．
【解答】解：設(shè)正四棱柱的高為，由底面邊長為，體積為，
則，即；
所以此四棱柱的表面積為：
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正四棱柱的體積與表面積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．
13、在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的對(duì)角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積
是
【答案】160＋40 eq \r(7) ；
【解析】 如圖所示，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，BD1＝9.
故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，
所以a2＝200，b2＝56.
因?yàn)榈酌媸橇庑危?br>所以AB2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BD,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(a2＋b2,4) ＝ eq \f(200＋56,4) ＝64，
即AB＝8.
所以該直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5＝160，表面積為160＋2× eq \f(1,2) × eq \r(200×56) ＝160＋40 eq \r(7) .
題型03 棱柱的體積
14、若長方體的長、寬、高分別為3 cm、4 cm、5 cm，則長方體的體積為( )
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3D．125 cm3
【答案】B；
【解析】長方體即為四棱柱，體積為底面積×高，3×4×5＝60 cm3；
15．已知正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱為，則該正六棱柱的體積為 18
【分析】由正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱為，求出正六棱柱的底面積，由此能求出該正六棱柱的體積．
【解答】解：正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱為，
正六棱柱的底面積，
該正六棱柱的體積．
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正六棱柱的體積的求法，考查正六棱柱的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
16．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，以為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為
A．B．C．D．
【分析】連接，，，并分別取它們的中點(diǎn)，，，連接，，，，，，，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明三棱柱為直三棱柱，由體積公式求解即可．
【解答】解：如圖，連接，，，并分別取它們的中點(diǎn)，，，連接，，，，，，，
則，，，且，，，
連接，可得，
因?yàn)槠矫?，又平面?br>則，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
同理可得，，
又，
則平面，
所以平面，平面，平面，
則三棱柱為直三棱柱，
由正方體的棱長為1，可得，，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中線線、線面位置關(guān)系的判斷，線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，棱柱的體積公式的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．
題型04 圓柱的結(jié)構(gòu)特征
17．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)圓柱底面圓半徑為1，高為2，上底面的直徑為，是底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的面積大小下列說法正確的是
A．的面積是定值B．的面積沒有最大值
C．的面積最大值是D．的面積最大值是2
【分析】上頂面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由于為定值，則的大小隨著的長短變化而變化，分別求解的最大值和最小值，即可得到答案．
【解答】解：如圖1，上底面圓心記為，下底面圓心記為，
連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，
則，
根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
此時(shí)取得最大值為，
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取最小值2，
此時(shí)取得最小值為．
綜上所述，的取值范圍為，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的最值問題，將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段的最值問題進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．
18．（2021秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知平面經(jīng)過圓柱的旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)、是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面上，則下列4個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是
①總存在直線，且與異面；
②總存在直線，且；
③總存在平面，且；
④總存在平面，且．
A．1B．2C．3D．4
【分析】分，兩點(diǎn)在平面的同側(cè)還是異側(cè)，進(jìn)行討論，即可求出結(jié)果．
【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)，同側(cè)時(shí)，平面和圓柱在底面上的交線與是異面的；
當(dāng)，異側(cè)時(shí)，平面和圓柱在側(cè)面上的交線與是異面的，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)，同側(cè)時(shí)，平面和圓柱在底面上的交線與是垂直的；
當(dāng)，異側(cè)時(shí)，直線，故②正確；
對(duì)于③，無論，同側(cè)，還是異側(cè)，若為過的圓柱軸截面，則，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)，異側(cè)時(shí)，直線與平面相交，不可能存在，故④錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，考查分類討論思想、空間立體感和推理論證能力，屬于中檔題．
19．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）有下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長；
②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長；
③側(cè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱；
④體對(duì)角線相等的平行六面體是長方體．
其中正確命題是 （填號(hào)）．
【分析】通過反例可確定①③錯(cuò)誤；由圓錐母線定義知②正確；利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得體對(duì)角線相等的平行六面體各個(gè)側(cè)面均為矩形，由此可知④正確．
【解答】解：對(duì)于①，若上下底面上的兩點(diǎn)連線與底面不垂直，則不是圓柱的母線，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由圓錐母線的定義可知②正確；
對(duì)于③，若一個(gè)直四棱柱與一個(gè)斜四棱柱底面大小相同，將其上下底面相接構(gòu)成一個(gè)組合體，如下圖所示，
此時(shí)滿足側(cè)面都是平行四邊形，但該多面體不是棱柱，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若平行六面體的體對(duì)角線相等，則對(duì)角面為矩形，如下圖所示，
此時(shí)四邊形與均為矩形，，，
又，，，，平面，平面；
又，平面，，，四邊形，，，均為矩形，
同理可得：平面，又平面，，四邊形，均為矩形，該平行六面體為長方體，④正確．
故答案為：②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的知識(shí)，需要數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題．
題型05 圓柱的側(cè)面積和表面積
20．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為
A．B．C．D．
【分析】由圓柱的軸截面是面積為8的正方形，可得圓柱的高和底面圓的直徑，根據(jù)圓柱的側(cè)面是以圓柱的高為寬，底面圓的周長為長的矩形，即可得解．
【解答】解：由題意知，圓柱的軸截面是面積為8的正方形，
圓柱的高為，圓柱底面圓的直徑為，
底面圓的周長為，
側(cè)面積．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱中的簡單計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A柱的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
21．（2023秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知圓柱的半徑為2，高為2，則圓柱的側(cè)面積為 ．
【分析】根據(jù)已知中圓柱的底面半徑和高，代入圓柱的側(cè)面積公式，可得答案．
【解答】解：圓柱的半徑為2，高為2，
圓柱的側(cè)面積，
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握?qǐng)A柱的幾何特征和側(cè)面積公式是解答的關(guān)鍵．
22．若經(jīng)過圓柱的軸的截面面積為2，則圓柱的側(cè)面積為 ．
【分析】根據(jù)軸截面積得出圓柱底面半徑與高的關(guān)系，代入側(cè)面積公式即可得出答案．
【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱的軸截面面積為，．
圓柱的側(cè)面積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
題型06 圓柱的體積
23．（2023?長寧區(qū)校級(jí)三模）若一個(gè)圓柱的側(cè)面積是，高為1，則這個(gè)圓柱的體積是 ．
【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求出底面圓的半徑，進(jìn)而可求解．
【解答】解：圓柱的側(cè)面積是，，
所以體積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓柱體積的求解，屬于基礎(chǔ)題．
24．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為 ．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱底面的半徑為，高為，分析可得關(guān)于、的方程組，解可得、的值，計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱底面的半徑為，高為，
則有，解得，
所以圓柱的體積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的體積計(jì)算，涉及圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
25．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，則該圓柱的體積為 或 ．
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，分，則以及，則，求出半徑，然后由圓柱的體積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，
若，則，解得，所以圓柱的體積為；
若，則，解得，所以圓柱的體積為．
綜上所述，該圓柱的體積為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，圓柱的體積公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
26．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知圓柱的軸截面是正方形，它的面積是，那么這個(gè)圓柱的體積是 ．（結(jié)果中保留
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題可得，，利用圓柱體積公式即可解得．
【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，
因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，它的面積是，
所以，，
所以這個(gè)圓柱的體積是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征與體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．
27．（2023?青浦區(qū)二模）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為，則球的表面積為 ．
【分析】設(shè)球的直徑為，根據(jù)題意求得的值，即可得到球的表面積．
【解答】解：設(shè)球的直徑為，則圓柱的底面直徑和高均為，
又圓柱的體積為，則，即，解得，
所以球的表面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的體積以及球的表面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
一、填空題
1．（2024·上?！と＃┮阎獔A柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為cm3，則此圓柱的體積為 cm3
【答案】
【分析】先根據(jù)已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱的高為，則，得，
所以此圓柱的體積為，
故答案為：
2．（2023高二上·上海·專題練習(xí)）一個(gè)長方體的過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是， ，，則這個(gè)長方體的體積為 ，表面積為 .
【答案】
【分析】設(shè)出棱長，根據(jù)題意直接求解長方體體積和表面積即可.
【詳解】設(shè)長方體的棱長分別為，
則三式相乘可得，
所以長方體的體積為，表面積為.
故答案為：；
3．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知正四棱柱的側(cè)棱長為2，體積為6，則該正四棱柱的表面積為 ．
【答案】
【分析】先求出正四棱柱的底面邊長，再根據(jù)多面體的表面積公式即可得解.
【詳解】設(shè)正四棱柱的的底面邊長為，
則，解得，
所以該正四棱柱的表面積為.
故答案為：.
4．（23-24高三下·上海黃浦·階段練習(xí)）若正三棱柱的所有棱長均為4，則其體積為
【答案】
【分析】先求正三棱柱底面正三角形的面積，再根據(jù)正三棱柱的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】正三棱柱的底面為邊長為4的正三角形，其面積為：，
則正三棱柱的體積為：.
故答案是：.
5．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）圓柱的底面半徑為3，高為4，其側(cè)面積為 .
【答案】
【分析】
由圓柱的側(cè)面積公式直接計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)閳A柱的底面半徑為3，高為4，
所以其側(cè)面積為
故答案為：
6．（2024·上?！ひ荒＃┮阎獔A柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以，得到，
又圓柱的母線長為，所以圓柱的體積為，
故答案為：.
7．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線．若直線與所成角的大小為，則 ．
【答案】
【分析】因?yàn)?，且，得到直線與所成角即為直線與所成角在直角中，即可求解.
【詳解】如圖所示，因?yàn)?，?br>則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,
在直角中，可得，即.
故答案為：.
8．（2024·上海黃浦·二模）若一個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長為3，則此圓柱的側(cè)面積為 .
【答案】
【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到矩形的兩邊長，求出面積即可.
【詳解】將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3，另一邊為，
故側(cè)面積為.
故答案為：
9．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知卷紙中的紙是單層的，且卷紙整體呈一個(gè)空心圓柱形，即大圓柱在其正中間挖去了一個(gè)小圓柱.小吳想測(cè)量一個(gè)卷紙展開后的總長度，測(cè)得小圓柱底面的直徑為4.0厘米，大圓柱底面的直徑為10.0厘米.由于單層紙的厚度不易測(cè)量，小吳利用游標(biāo)卡尺測(cè)得10層紙的總厚度為0.3厘米.試估算這個(gè)卷紙的長度為 米.（取，結(jié)果精確到個(gè)位）
【答案】22
【分析】利用展開前后卷紙的體積相等可得答案.
【詳解】設(shè)圓柱的高為，則卷紙的體積為，
每層紙的厚度為厘米，展開后的體積為，
所以，解得厘米，
所以這個(gè)卷紙的長度為22米.
故答案為：22.
10．（23-24高二上·上海·期末）如圖所示，圓柱的軸截面是正方形，E是半圓弧AB的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的大小為 .
【答案】
【分析】由，可得異面直線BC和所成角的大小與相等，由，可得，即可得異面直線BC和所成角的大小.
【詳解】
連接，由，故異面直線BC和所成角的大小與相等，
設(shè)正方形邊長為，則，底面半徑，
E是半圓弧AB的中點(diǎn)，則，
又平面且平面，故，
故.故，
即異面直線BC和所成角的大小為.
故答案為：.
11．（2024·上海虹口·二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則線段的長度和的最小值為 .
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連接、、、，首先證明，即可、、、四點(diǎn)共面，連接，，求出，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，最后利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、、，
因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又且，
所以為平行四邊形，所以，
所以，即、、、四點(diǎn)共面，連接，，
則，，
因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，所以?br>所以，
所以，
所以，即，所以，
將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，
則，
又，
在中，
即，
所以，
即線段、的長度和的最小值為.
故答案為：
12．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎崩庵母邽?，底面三角形的三邊長分別為．過三條側(cè)棱中點(diǎn)的截面把三棱柱分成兩個(gè)完全相同的三棱柱，然后用這兩個(gè)三棱柱拼成一個(gè)三棱柱或者四棱柱，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)表面積都比原來三棱柱的表面積小，那么正數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】當(dāng)拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，有兩種情況；拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，分別求出其全面積比較大小，解關(guān)于的不等式即可.
【詳解】由題知，原三棱柱是直三棱柱，設(shè)底面是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，，，
設(shè)棱、、的中點(diǎn)分別為、、.
原三棱柱的全面積（）.
由題意，將原三棱柱分為兩個(gè)完全相同的三棱柱，記為直三棱柱和直三棱柱，如圖所示：
當(dāng)拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，有兩種情況，如圖①和②：
圖①的全面積（），
圖②的全面積（），
當(dāng)拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，如圖③、④、⑤、⑥：
圖③的全面積（），
圖④的全面積（），
圖⑤的全面積（），
圖⑥的全面積（），
由上得，兩個(gè)三棱柱拼成一個(gè)新的三棱柱或四棱柱的全面積最大是（），
則（），解得：，
故a的取值范圍是.
故答案為：.
二、單選題
13．（23-24高二上·上海浦東新·期中）如圖，在長方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】將繞翻折到與共面，連接，則的長度即為的最小值，利用勾股定理計(jì)算可得.
【詳解】將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：
連接，則的長度即為的最小值，
因?yàn)?，所?，
所以，所以，即的最小值為.
故選：D
14．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知：“是長方體”，：“是直平行六面體”，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)直平行六面體和正方體的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】根據(jù)直平行六面體的定義知：底面為平行四邊形的直四棱柱為直平行六面體，
長方體的定義可為：底面為矩形的直四棱柱為長方體，
而直平行六面體的底面不一定為矩形，所以是的充分不必要條件.
故選：A.
15．（23-24高二上·上?！て谀┤舾蓚€(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長方體，下列四組量中，不能作為該長方體的“基本量”的是（ ）
A．的長度B．的長度
C．的長度D．的長度
【答案】D
【分析】根據(jù)題設(shè)定義，結(jié)合長方體的體積公式、已知量判斷長方體的體積是否可以確定即可.
【詳解】如下圖，根據(jù)長方體體積公式，只需確定共頂點(diǎn)的三條棱長即可，
已知的長度，則體積可定，A滿足；
由，即可求出，則體積可定，B滿足；
由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故體積可定，C滿足；
已知無法求出，體積不能確定，D不滿足.
故選：D
16．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正方體和點(diǎn)，有兩個(gè)命題：
命題甲：存在條過點(diǎn)的直線，滿足與正方體的每條棱所成角都相等；
命題乙：存在個(gè)過點(diǎn)的平面，滿足與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；
則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．的大小關(guān)系與點(diǎn)的位置有關(guān)
【答案】B
【分析】作出正方體四條體對(duì)角線，四條體對(duì)角線與正方體的每條棱所成角都相等，得到，從正方體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)得到正三棱錐，得到與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等的平面，由對(duì)稱性可得，得到結(jié)論.
【詳解】正方體有四條體對(duì)角線，
四條體對(duì)角線與正方體的每條棱所成角都相等，夾角的正切值為，
故過點(diǎn)可以作4條直線，4條直線分別與4條體對(duì)角線平行，
由于正方體只有4條體對(duì)角線，
故，

過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出正三棱錐，比如，
可以證明平面與正方體的三個(gè)平面，平面，平面的銳二面角相等，
設(shè)平面與平面的夾角為，
相交于點(diǎn)，連接，則即為平面與平面的夾角，
，
可以求出平面與平面，平面的銳二面角的正切值均為，
根據(jù)面面平行，故平面與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等，
從8個(gè)頂點(diǎn)可以作出8個(gè)類似的正三棱錐，
得到八個(gè)平面，分別為平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，
但平面，平面，平面，平面分別與平面，平面，平面，平面平行，
綜上，過點(diǎn)共可以作出4個(gè)平面滿足與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；
故，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，正方體中，四條體對(duì)角線與正方體的每條棱所成角都相等，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的正三棱錐，可得到平面與四個(gè)平面平行的平面與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等，結(jié)合對(duì)稱性可得結(jié)論.
三、解答題
17．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）如圖，有一圓柱形的無蓋杯子，它的內(nèi)表面積是，試用函數(shù)表達(dá)式將杯子的容積表示成底面內(nèi)半徑為的函數(shù).
【答案】
【分析】設(shè)杯子的高為，根據(jù)題意，求得，結(jié)合圓柱的體積公式，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)杯子的高為，
因?yàn)楸拥谋砻娣e是，可得，即，
則，
根據(jù)實(shí)際意義，可得且，即，
因此，所求的函數(shù)表達(dá)式是.
18．（2023高二上·上?！ｎ}練習(xí)）一個(gè)正方體的底面積和一個(gè)圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體和圓柱的體積之比；
【答案】
【分析】設(shè)正方體邊長為a，圓柱高為h，底面半徑為r，列出方程，解出即可.
【詳解】設(shè)正方體邊長為a，圓柱高為h，底面半徑為r，
則有，由①得，
由②得，∴，
則
19．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設(shè)長方體各面上矩形的對(duì)角線長分別為、、.在下列條件下，求長方體的對(duì)角線長：
(1)用、、表示；
(2)長方體的全面積為24，所有棱長之和為24；
(3)長方體的三個(gè)面的面積分別是，，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)長方體的棱長為，可得，，，計(jì)算可求；
（2）設(shè)長方體的棱長為，則，，計(jì)算可求；
（3）設(shè)長方體的棱長為，則可得，，，計(jì)算可求.
【詳解】（1）設(shè)長方體的棱長為，所以，，，
所以，
又，所以.
（2）設(shè)長方體的棱長為，則，，
所以，兩邊平方可得，
所以.
（3）設(shè)長方體的棱長為，則可得，，，
各式相乘可得，所以，所以，
所以，所以.
20．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3．
(1)求三棱柱的表面積與體積；
(2)求與平面所成的角的大?。?br>【答案】(1)表面積，體積
(2)
【分析】（1）根據(jù)三棱柱的表面積公式和體積公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)等面積法先求出點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)與平面所成的角為，則，即可求解．
【詳解】（1）三棱柱的表面積：，
體積：．
（2）連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即三棱錐以為底時(shí)的高為，
，
在中，，，
取中點(diǎn)，連接，則，
所以，則，
所以，則，
設(shè)與平面所成的角為，
則，所以．
21．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，斜三棱柱的側(cè)棱長為，底面是邊長為1的正三角形，.
(1)求異面直線與所成的角；
(2)求此棱柱的表面積和體積.
【答案】(1)
(2)表面積為，體積為
【分析】（1）過作⊥平面，垂足為H，過H作⊥，垂足為，連接，通過三角形全等，說明H在平分線上，然后推出⊥，求出異面直線與所成的角；
（2）利用第一問的結(jié)果，結(jié)合三角函數(shù)值及勾股定理求出棱柱的高，進(jìn)而求解此棱柱的表面積和體積.
【詳解】（1）過作⊥平面，垂足為H，
過H作⊥，垂足為，連接，
因?yàn)槠矫?，所以⊥?br>因?yàn)?，平面?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫浴停?br>作⊥，垂足為，連接，同理可得⊥，
又，
∴≌，
∴，
∴≌，
∴H在平分線AE上，由為正三角形，
∴⊥，
∵⊥平面，平面，
∴⊥，
∵，平面，
∵平面，
∴⊥，
故異面直線與所成角為；
（2）由（1）知在直角三角形中，，，
故，
在中，，，故，
在中，由勾股定理得，
四邊形的面積為，同理可得四邊形面積為，
由（1）得⊥，故⊥，
四邊形的面積為，
，
此棱柱的表面積為，
此棱柱的體積為
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
1.通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、圓柱的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))
2．理解棱柱、圓柱之間的關(guān)系．(難點(diǎn))
3．能運(yùn)用棱柱、圓柱的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算．(易混點(diǎn))
空間幾何體
分類
定義
圖形及表示
相關(guān)概念
多面體
由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；
面：構(gòu)成多面體表面的各三角形或平面多邊形；
棱：相鄰面的公共邊；
頂點(diǎn)：棱與棱的交點(diǎn)；
定義
有一對(duì)互相平行的面，且這兩個(gè)面是兩個(gè)全等的三角形或平面多邊形；同時(shí)，不在這兩個(gè)面上的棱都相互平行；我們把這樣的多面體叫做棱柱；
圖示及相關(guān)概念
底面：兩個(gè)互相平行的面；
側(cè)面：底面以外的其余各面；
側(cè)棱：不在底面上的棱；
頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)；
高：棱柱的兩個(gè)底面之間的距離稱為棱柱的高；
分類1
按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱……
分類2
側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；
否則稱為斜棱柱；
底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱；
常見四棱柱及其關(guān)系：
定義
將矩形繞其一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做圓柱；（或者理解為：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體）
圖示及相關(guān)
概念
軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；
側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；
母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；
高：圓柱的兩個(gè)底面間的距離（即的長度）叫做該圓柱的高；
備注
易知圓柱有兩個(gè)相互平行的底面，有無窮多條母線，且所有母線都與其軸平行；
方便起見，我們把棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體；
軸截面
定義：是指過圓柱的軸的截面分別叫做圓柱軸截面；也泛指過任意一軸的“面”。
性質(zhì)：1、同一圓柱軸截面都全等；2、圓柱的軸截面是全等的矩形；
幾何體
體積
柱體
V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)，
V圓柱＝πr2h(r為底面半徑)
圖形
表面積公式
多面體
多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開圖的面積
直棱柱
S直棱柱側(cè)＝ch（c為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高）
S表＝S側(cè)＋2S底
圓柱
（l為圓柱的母線長，r為圓柱底面的半徑）
底面積：S底＝πr2
側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl
表面積：S＝2πrl＋2πr2