滬教版高中數(shù)學(xué)必修三講義第07講 錐體 （5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析版）

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知識(shí)點(diǎn)1.棱錐
定義：有一個(gè)面是三角形或平面多邊形，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的多面體叫做棱錐；
棱錐的底面：這個(gè)三角形或平面多邊形；
棱錐的側(cè)面：其余的面；
棱錐的側(cè)棱：不在底面上的棱；
棱錐的頂點(diǎn)：所有側(cè)棱的公共點(diǎn)；
棱錐的高：頂點(diǎn)到底面的距離
按照底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可以分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面，那么這個(gè)棱錐叫做正棱錐；
【說明】依據(jù)定義，正棱錐的每個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形，我們把這些等腰三角形底邊上的高稱為棱錐的斜高；
【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的是（ ）
A．三棱錐有4個(gè)面是三角形B．棱錐的側(cè)面都是三角形
C．棱錐都有兩個(gè)互相平行的多邊形面D．棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn).
知識(shí)點(diǎn)2.圓錐
定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐；
圓錐的軸：旋轉(zhuǎn)軸所在直線；
圓錐的頂點(diǎn)：點(diǎn)S；
圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；圓錐的側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；
圓錐的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于
軸的斜邊；
圓錐的高：圓錐的頂點(diǎn)到底面間的距離；
注解】
1、錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體；
2、由圓錐的形成過程可以知道，圓錐有無窮多條母線，且所有的母線都交于圓錐的頂點(diǎn)；
3、圓錐具有的性質(zhì)
(1)圓錐的底面是一個(gè)圓面，圓面的半徑就是直角邊OA的長，底面和軸垂直；
(2)平行于底面的截面是圓面；
(3)通過軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰三角形，如△SAB；
(4)過頂點(diǎn)和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC；
(5)母線都過頂點(diǎn)且相等，各母線與軸的夾角相等；
【即學(xué)即練2】已知圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是eq \r(3)，則圓錐的高為_____與母線的長為________．
知識(shí)點(diǎn)3.棱臺(tái)與圓臺(tái)
1.棱臺(tái)
上底面：原棱錐的截面；
下底面：原棱錐的底面；
側(cè)面：除上、下底面外，其余各面；
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；
頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)
2.圓臺(tái)
軸：圓錐的eq \a\vs4\al(軸)；
底面：圓錐的底面和截面；
側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；
母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；
臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體
圓臺(tái)具有的性質(zhì)
(1)圓臺(tái)的底面是兩個(gè)半徑不等的圓面，兩圓面所在的平面互相平行又都和軸垂直；
(2)平行于底面的截面是圓面；
(3)通過軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1；
(4)任意兩條母線確定的平面截圓臺(tái)所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1；
(5)母線都相等，各母線延長后都相交于一點(diǎn)．
【即學(xué)即練3】（1）下列三種敘述，正確的有( )
①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；
②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；
③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
（2）如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm，圓臺(tái)的母線長是12 cm，求圓錐SO的母線長；
知識(shí)點(diǎn)4.錐體、臺(tái)體的體積
1、三棱錐的體積公式的推導(dǎo)：可以證明（見本節(jié)的“探究與實(shí)踐”），任一棱錐的體積都是與
它同底等高的柱體的體積的三分之一，由此得到棱錐的體積公式：V＝eq \f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)
2、柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)；
錐體的體積公式V＝eq \f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；
臺(tái)體的體積公式V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h.
【說明】對(duì)于柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)
1、等底、等高的兩個(gè)柱體的體積相同；
2、等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．
3、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系．
【即學(xué)即練4】（1）（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，平面，，，，為垂足.

(1)求證：平面；
(2)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積.
（2）如圖，圓臺(tái)高為3，軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中一條對(duì)角線垂直于腰，
求：圓臺(tái)的體積；
知識(shí)點(diǎn)5.錐體、臺(tái)體的表面積與側(cè)面積
1.棱錐、棱臺(tái)的表面積
棱錐、棱臺(tái)是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積和；
（4）正棱臺(tái)：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)．
2、幾種簡單幾何體的側(cè)面展開圖與側(cè)面積
【即學(xué)即練5】（1）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為6，點(diǎn)到底面的距離為3，則三棱錐的表面積是
（2）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是 .
（3）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體．
(1)求該幾何體的表面積；
(2)一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離．
題型01 棱錐的結(jié)構(gòu)特征
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則的取值范圍是
A．B．C．，D．
2．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)，，，分別是四棱錐側(cè)棱，，，上的點(diǎn)．給出以下兩個(gè)命題，則
①若是平行四邊形，但不是菱形，則可能是菱形；
②若不是平行四邊形，則可能是平行四邊形．
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
3．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有兩個(gè)所有棱長都是2的正四棱錐，讓它們的底面完全重合，拼成一個(gè)新的多面體，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．這個(gè)多面體有8個(gè)面和12條棱
B．這個(gè)多面體有6對(duì)棱互相平行
C．這個(gè)多面體有4對(duì)面互相垂直
D．這個(gè)多面體所有的頂點(diǎn)在一個(gè)半徑為的球面上
4．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)棱錐所有的棱長都相等，則該棱錐一定不是
A．正三棱錐B．正四棱錐C．正五棱錐D．正六棱錐
5．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）設(shè)四面體中，有2條棱長為，其余4條棱長為1．則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
6．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑，在鱉臑中，平面，且有，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形的面積的最小值為 ．
題型02 圓錐的結(jié)構(gòu)特征
7．（2024春?潮州期末）某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為 ．
8．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）如圖，一個(gè)密閉圓柱體容器的底部鑲嵌了同底的圓錐實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水．若將容器平放在地面上（如圖，則水面正好過圓錐的頂點(diǎn)；若將容器倒置（如圖，水面也恰好過點(diǎn)．下列說法中，正確的是 ．（寫出所有滿足條件的說法序號(hào)）
①圓錐的高等于圓柱的高的一半；
②將容器的一條母線貼地，水面也恰過點(diǎn)；
③將容器任意擺放，當(dāng)水面靜止時(shí)都過點(diǎn)．
9．（2024?甘井子區(qū)校級(jí)模擬）某圓錐的底面半徑是3，母線長為4，則下列關(guān)于此圓錐的說法正確的是
A．圓錐的體積是
B．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是
C．過圓錐的兩條母線做截面，面積的最大值是8
D．圓錐側(cè)面積是
題型03 棱錐的側(cè)面積和表面積
10．（2024?西安模擬）一個(gè)正四棱錐的主視圖如圖所示，，則該四棱錐的表面積為
A．B．C．46D．48
11．（2023春?東莞市校級(jí)期中）一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的表面積為
A．8B．12C．16D．20
12．（2024春?延慶區(qū)期末）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則此四棱錐的側(cè)面積為
A．B．C．D．
13．（2023秋?9月份月考）已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，在該圓柱的底面內(nèi)任取一點(diǎn)，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該四棱錐的側(cè)面積為
A．B．C．D．
題型04 棱錐的體積
14．（2022?閔行區(qū)校級(jí)開學(xué)）三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面三角形的面積分別為，，，則三棱錐的體積是
A．B．
C．D．
15．（2024春?南寧期末）已知球的半徑，球的內(nèi)接圓錐的高與底面半徑的比為，則該圓錐的體積為
A．B．C．D．
16．（2024春?秀英區(qū)校級(jí)期末）已知球的表面積為，邊長為3的等邊的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則三棱錐的體積等于
A．B．C．D．
17．（2024春?黔東南州期末）在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為
A．B．C．D．
題型05 圓錐的側(cè)面積和表面積
18．（2023秋?普陀區(qū)期中）若圓錐的母線為，高為1，則圓錐的側(cè)面積為 ．
19．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
20．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知圓錐的底面半徑為2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的表面積為
A．B．C．D．
21．（2024春?梧州期末）若一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)腰長為，底邊上的高為2的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為
A．B．C．D．
題型06 圓錐的體積
22．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)，提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高，這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形．類比利用祖暅原理求半球的體積的計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱和一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖，從而求得該帳篷的體積為 ．
23．（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知圓錐的母線長為3，底面半徑為2，則圓錐的體積為 ．
24．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為 ．
25．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，側(cè)面積為，則該圓錐的體積等于 ．
26．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為 ．
27．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）圓錐側(cè)面展開圖為圓心角為直角，半徑為2的扇形，則圓錐的體積為 ．
一．選擇題（共2小題）
1．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）若一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，且圓錐的體積恰好等于半球的體積，則該圓錐的軸截面的頂角的余弦值為
A．B．C．D．
2．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)是正四棱錐的側(cè)棱上異于點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)在面上的射影落在
A．的外部B．的內(nèi)部C．的一邊上D．以上皆有可能
二．填空題（共11小題）
3．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為 ．
4．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）空間內(nèi)存在三點(diǎn)、、，滿足，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與、、可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為 ．
5．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）將一個(gè)圓心角為，面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，那么該圓錐的體積為 ．
6．（2023秋?松江區(qū)月考）若一個(gè)圓錐的母線長為2，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角大小為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為 ．
7．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）高為3、底面半徑為1的圓錐的體積為 ．
8．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)正四面體的棱長為2，則它的高是 ．
9．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知圓錐的軸截面是斜邊為的直角三角形，則該圓錐的體積為 ．
10．（2021秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長為6，則此三棱錐的側(cè)面積為 ．
11．（2022?佛山模擬）已知正三棱錐的側(cè)面是頂角為，腰長為2的等腰三角形，若過的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則截面周長的最小值為 ．
12．（2021秋?松江區(qū)校級(jí)期末）已知圓錐的體積為，母線與底面所成角為，則該圓錐的表面積為 ．
13．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)正四面體的棱長為，是棱上的任意一點(diǎn)，且到面，的距離分別為，，則 ．
三．解答題（共4小題）
14．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的圓心，、是底面圓的兩條直徑，且，，，為的中點(diǎn)．
（1）求圓錐的體積；
（2）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
15．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）有一個(gè)圓錐形漏斗，其底面直徑是，母線長為，在漏斗口的點(diǎn)處用一根繩子將漏斗掛在墻面上，當(dāng)繩子的長度最短時(shí)，可以緊緊地箍住漏斗，不會(huì)上下滑動(dòng)，求此時(shí)繩子的長度．
16．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知正三棱錐，頂點(diǎn)為，底面是三角形．
（1）若該三棱錐的側(cè)棱長為1，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)自出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面移動(dòng)環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；
（2）若該三棱錐的所有棱長均為1，試求以為頂點(diǎn)，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積；
（3）若該錐體的體積為定值，求這三棱錐側(cè)面與底面所成的角，使該三棱錐的表面積最?。?br>17．（2023?徐匯區(qū)三模）如圖，已知頂點(diǎn)為的圓錐其底面圓的半徑為8，點(diǎn)為圓錐底面半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)．
（1）若母線長為10，求圓錐的體積；
（2）若異面直線與所成角大小為，求、兩點(diǎn)間的距離．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
1.通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱錐、棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))
2．理解棱錐、棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)之間的關(guān)系．(難點(diǎn))
3．能運(yùn)用棱錐、棱臺(tái)圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算．(易混點(diǎn))
幾何體
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
直棱柱
S直棱柱側(cè)＝ch
c為底面周長；h為高
正棱錐
S正棱錐側(cè)＝eq \f(1,2)ch′
c為底面周長；h′為斜高，即側(cè)面等腰三角形的高
正棱臺(tái)
S正棱臺(tái)側(cè)＝eq \f(1,2)(c＋c′)h′
c′為上底面周長，c為下底面周長
h′為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高
圓柱
S圓柱側(cè)＝2πrl
r為底面半徑，l為側(cè)面母線長
圓錐
S圓錐側(cè)＝πrl
r為底面半徑，l為側(cè)面母線長；
圓臺(tái)
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
r1為上底面半徑，r2為下底面半徑，l為側(cè)面母線長