滬教版高中數(shù)學(xué)必修三講義第08講 多面體與旋轉(zhuǎn)體 （2個知識點+3種題型+強化訓(xùn)練）（原卷版+解析版）

這是一份滬教版高中數(shù)學(xué)必修三講義第08講 多面體與旋轉(zhuǎn)體 （2個知識點+3種題型+強化訓(xùn)練）（原卷版+解析版），文件包含第08講多面體與旋轉(zhuǎn)體2個知識點+3種題型+強化訓(xùn)練原卷版docx、第08講多面體與旋轉(zhuǎn)體2個知識點+3種題型+強化訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁， 歡迎下載使用。


知識點01.多面體
1、多面體定義為：由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體；如：棱柱、棱錐、棱臺等幾何體都是多面體；
2、多面體可以用它的面的數(shù)量進行命名，有幾個面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個底面和三個側(cè)面，所以是四面體；長方體（四棱柱）有六個面，是六面體．一般地，一個n棱錐,有一個底面和n個側(cè)面，所以是n＋１面體；n棱柱或n棱臺有兩個底面和n個側(cè)面，所以是n＋2面體;由此可見，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;
3、四面體在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；
4、與平面上的正多邊形類比，在空間中可以考慮正多面體．如果一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這個多面體就叫做正多面體；
【即學(xué)即練1】（1）（24-25高二上·上海·課前預(yù)習(xí)）多面體的分類
多面體可以用它的面的數(shù)量進行命名,有幾個面的多面體就叫做幾面體.例如,三棱錐是 面體;長方體（四棱柱）是 面體.一般地,一個棱錐是 面體;棱柱或棱臺是 面體.
（2）．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）多面體的定義：由 圍成的封閉幾何體稱為多面體．構(gòu)成多面體表面的各三角形或平面多邊形稱為多面體的 ．相鄰面的公共邊稱為多面體的 ．棱與棱的交點稱為多面體的 ．
（3）（23-24高二上·上海·期中）如果一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這個多面體就叫做正多面體.下列幾何體中，所有棱長均相等，同一表面的角都相等，則 是正多面體.（寫出所有正確的序號）

（4）．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）一個多面體至少有幾個面？
知識點02旋轉(zhuǎn)體
由一個平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的軸；
與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)面；
圓柱、圓錐和圓臺的概念
（1）圓柱、圓錐和圓臺的定義
將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺；
（2）與圓柱、圓錐、圓臺有關(guān)的概念
繞著旋轉(zhuǎn)的這條直線叫做軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做母線；
【即學(xué)即練2】（1）（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）旋轉(zhuǎn)體的定義
旋轉(zhuǎn)體是由一個 繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體，這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的 ．如：圓柱是由一個 繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體；圓錐是由一個直角三角形繞它的 旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體．
（2）．（2023高二上·上?！ｎ}練習(xí)）已知是直角梯形與底邊垂直的一腰（如圖）．分別以，，，為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？

（3）．（23-24高二上·上海長寧·期末）已知中，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是 ．
（4）．（23-24高二上·上海靜安·期中）將邊長分別為和的矩形，繞邊長為的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為 ．
題型01 多面積有關(guān)計算
1．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體的所有棱長和為 ．
2．（22-23高二下·上海黃浦·階段練習(xí)）多面體的歐拉定理：簡單多面體的頂點數(shù)V?棱數(shù)E與面數(shù)F有關(guān)系.請運用歐拉定理解決問題：碳具有超導(dǎo)特性?抗化學(xué)腐蝕性?耐高壓以及強磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示，
碳的分子結(jié)構(gòu)是—個由正五邊形面和正六邊形面共32個面構(gòu)成的凸多面體，60個碳原子處于多面體的60個頂點位置，則32個面中正五邊形面的個數(shù)是 .
3．（23-24高二上·上海長寧·期中）正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=，則正二十面體的頂點的個數(shù)為 ．
4．（22-23高三下·上海松江·階段練習(xí)）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一，一個三階魔方，由27個單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45°，則該魔方的表面積是 .

5．（24-25高二上·上海·課堂例題）在正方體中，E、F、M分別為棱AD、AB、的中點，現(xiàn)從頂點A處截去三棱錐，仿此同樣方式，在頂點B、C、D、、、、處各截去一個三棱錐，設(shè)剩下的幾何體為，
(1)幾何體是幾面體？共有多少條棱？（直接寫出結(jié)論，不需要說明理由）
(2)若正方體的棱長為2，求幾何體的表面積．
6．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點，截面底面ABC，且棱臺DEFABC與棱錐的棱長和相等.（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）
(1)證明：為正四面體；
(2)設(shè)棱臺體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明，若不存在，請說明理由.（直平行六面體指側(cè)棱垂直于底面，底面是平行四邊形的四棱柱）
題型02 旋轉(zhuǎn)體的表面積和側(cè)面積
7．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于 ．
8．（23-24高二上·上海普陀·期中）如圖所示，在直角梯形中，，，，．將折線繞著所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)面的面積是 ．

9．（2023高二上·上?！ｎ}練習(xí)）一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．
10．（2023高二上·上海·專題練習(xí)）已知梯形中，，，，，，在平面內(nèi)，過點作，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積.
11．（23-24高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，，F(xiàn)是垂足.

(1)求證：AFDB；
(2)求將繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積和圓柱表面積之比；
(3)如果圓柱與三棱錐的體積比等于，求直線DE與平面ABCD所成的角.
題型03 旋轉(zhuǎn)體的體積
12．（23-24高二上·上海金山·期中）將邊長為1的正方形繞著邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積為 ．
13．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知一個圓錐的底面半徑為6，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為 ．
14．（2023高二上·上海·專題練習(xí)）如圖，圓臺高為，軸截面中母線與底面直徑的夾角為，軸截面中一條對角線垂直于腰，求：圓臺的體積.
一．選擇題（共2小題）
1．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，在一根長，外圓周長的圓柱形柱體外表面，用一根細鐵絲纏繞，組成10個螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線上，則鐵絲長度的最小值為
A．B．C．D．
2．（2023秋?青浦區(qū)校級期中）若和圍成的封閉平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得體積與繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積之比是
A．B．C．D．
二．填空題（共9小題）
3．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)，則正二十面體的頂點的個數(shù)為 ．
4．（2023秋?楊浦區(qū)校級期末）在邊長為1的正方形中裁去一個如圖所示的扇形，再將剩余的陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為 ．
5．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知正方形邊長為1，把該正方形繞著它一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為 ．
6．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，四邊形為梯形，，，圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為
．
7．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為 ．
8．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形繞旋轉(zhuǎn)一周，則圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為 ．
9．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）在邊長為1的正方形中裁去一個如圖所示的扇形，再將剩余的陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為 ．
10．（2023秋?閔行區(qū)校級期末）如圖所示，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，其中點為半圓弧的中點，該幾何體的體積為 ．
11．（2023秋?長寧區(qū)校級期末）已知中，，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是 ．
三．解答題（共4小題）
12．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖所示，已知一個半徑為6的半圓面剪去了一個三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，其中點為半圓弧的中點，求該幾何體的表面積和體積．
13．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它由矩形的邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，，．
（1）求這個幾何體的體積；
（2）這個幾何體的表面積．
14．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形．
（1）設(shè)，，求這個幾何體的表面積；
（2）設(shè)是弧的中點，設(shè)是弧上的一點，且．求異面直線與所成角的大?。?br>15．（2023秋?浦東新區(qū)期末）如圖，已知圓柱的底面半徑為2，母線長為3．
（1）求該圓柱的體積和表面積；
（2）直角三角形繞旋轉(zhuǎn)一周，求所得圓錐的側(cè)面積．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
1.通過對實物模型的觀察，歸納認知多面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征．(重點)
3．能運用面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算．(易混點)