滬教版高中數(shù)學(xué)必修二講義專題03 實(shí)系數(shù)一元二次方程（考點(diǎn)解讀+考點(diǎn)歸納+10類題型）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

復(fù)數(shù)是人類理性思維的演繹成果，它的產(chǎn)生首先是因?yàn)閿?shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)自身問(wèn)題的需要，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們并不清楚它與現(xiàn)實(shí)世界到底有怎樣的聯(lián)系；后來(lái)，數(shù)學(xué)家建立了復(fù)數(shù)與向量，即復(fù)數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)，在大學(xué)學(xué)習(xí)力學(xué)和電磁學(xué)時(shí)，會(huì)看到復(fù)數(shù)在其中的重要作用，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中也越來(lái)越體現(xiàn)出它的重要性；現(xiàn)在，復(fù)數(shù)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者與許多領(lǐng)域的科技人員熟練掌握并廣泛應(yīng)用的基本數(shù)學(xué)工具；
一、《必修第二冊(cè)》目錄與內(nèi)容提要
【本章教材目錄】
9.1 復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算
9.1.1復(fù)數(shù)的引入與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；9.1.2復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與共軛；
9.2 復(fù)數(shù)的幾何意義
9.2.1復(fù)平面與復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示；9.2.2復(fù)數(shù)的向量表示；9.2.3復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則；9.2.4復(fù)數(shù)的模
9.3 實(shí)系數(shù)一元二次方程
9.3.1實(shí)數(shù)的平方根；9.3.2實(shí)數(shù)系一元二次方程；
*9.4 復(fù)數(shù)的三角形式
9.4.1復(fù)數(shù)的三角形式；
9.4.2三角形式下復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算；9.4.3三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方
【本章內(nèi)容提要】
復(fù)數(shù)是我們繼自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)之后，新認(rèn)識(shí)的一種數(shù).
1、復(fù)數(shù)系與相關(guān)概念
（1）虛數(shù)單位，滿足.
（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：（）.
（3）復(fù)數(shù)的相等：（）的充要條件是同時(shí)為；
復(fù)數(shù)（）的充要條件是且.
（4）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部：復(fù)數(shù)（）的實(shí)部是，虛部是；
虛部為的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，虛部不為的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，實(shí)部為的虛數(shù)稱為純虛數(shù).；
（5）復(fù)數(shù)的共軛：復(fù)數(shù)（）的共軛復(fù)數(shù)是；
（6）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)（）的模是；
復(fù)數(shù)的模有如下性質(zhì)：對(duì)、、，
，；；；（復(fù)數(shù)的三角不等式）.
2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行相加、相減或相乘時(shí)，仿照兩個(gè)二項(xiàng)式進(jìn)行相加、相減或相乘的規(guī)則計(jì)算，并用條件及合并同類項(xiàng)以化簡(jiǎn)結(jié)果：設(shè)
；．
（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行除法（除數(shù)不為）運(yùn)算時(shí)，將分子和分母同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子和分母分別做復(fù)數(shù)的乘法而得到運(yùn)算結(jié)果：設(shè)，
.
本質(zhì)：化簡(jiǎn)分式.
（3）復(fù)數(shù)模對(duì)乘、除的分配性：復(fù)數(shù)積（商）的模等于模的積（商）：設(shè)
；（）.
3、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
（1）復(fù)平面：表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.
（2）復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示與向量表示：復(fù)數(shù)（）可用復(fù)平面上坐標(biāo)為的點(diǎn)來(lái)表示，也可以用從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向量來(lái)表示.
（3）復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)（）的模等于點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，也等于向量的模.
（4）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按平行四邊形法則所得到的和向量.
（5）兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義：兩復(fù)數(shù)、差的模是這兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)、之間的距離，即.
4、實(shí)系數(shù)一元二次方程
給定方程（，），并令為其判別式，則
（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根）
（3）當(dāng)時(shí)，方程有一對(duì)共軛虛根
*5、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的輻角：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、軸的正半軸為始邊、射線為終邊的角稱為的輻角，記作；滿足的輻角稱為的輻角主值，記為.
（2）復(fù)數(shù)的三角形式：設(shè)復(fù)數(shù)的模為，輻角為，則，復(fù)數(shù)的這種表示形式稱為它的三角形式.（3）三角形式下復(fù)數(shù)的乘法與除法公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)與，則
，（）.
（4）三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)，則對(duì)任何正整數(shù)，有：；
的次方根，；
1、實(shí)數(shù)的平方根
已知，則在復(fù)數(shù)集C內(nèi)；
當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的實(shí)平方根為：；
當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的兩個(gè)共軛純虛數(shù)為：；
2、復(fù)數(shù)的平方根
同樣在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，如果滿足：
則稱是的一個(gè)平方根；
3、實(shí)系數(shù)一元二次方程
實(shí)系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；
（3）方程有兩個(gè)共軛虛根，
在（3）的情況下，方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）仍然成立．
【說(shuō)明】求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：
（1）設(shè)化歸為實(shí)數(shù)方程來(lái)解決（化歸思想）；
（2）把看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)），
用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)變形（整體思想）；
（3）對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）；
【注意】
（1）在復(fù)數(shù)集中的一元二次方程的求根公式和韋達(dá)定理仍適用，但根的判別式僅在實(shí)數(shù)集上有效；
（2）實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中一定有根，若是虛根則一定成對(duì)出現(xiàn)；
（3）齊二次實(shí)系數(shù)二次方程，將等式兩端除以后，將得到一個(gè)關(guān)于得實(shí)系數(shù)一元二次方程；（不作要求）
（4）虛系數(shù)一元二次方程至少有一個(gè)為虛數(shù)）
①判別式判斷實(shí)根情況失效； ②虛根成對(duì)出現(xiàn)的性質(zhì)失效；
如：，雖然，但該方程并無(wú)實(shí)根，不過(guò)韋達(dá)定理仍適用；
4、復(fù)數(shù)的平方根與立方根
滿足條件：的叫做的平方根；
【特殊情況】設(shè)，當(dāng)時(shí)，的實(shí)平方根；
當(dāng)時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍的的平方根有兩個(gè)：，
并且，它們是共軛的純虛數(shù)；
滿足條件：的叫做的立方根；
【特殊情況】解方程：；
解析：由，
得或，即或，
所以，的立方根為：或；
【說(shuō)明】若復(fù)數(shù)、滿足：，則稱是的立方根。
同時(shí)，通過(guò)對(duì)以上求解過(guò)程的理解與反思；若記：，
則；結(jié)合“方程的解”的定義，可得結(jié)論：
（1）、，；（2）、，；
題型1、理解復(fù)數(shù)集C內(nèi)實(shí)數(shù)的平方根
例1、（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，的所有平方根為_(kāi)___________________
【提示】由題意利用虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算，得出結(jié)論．
【答案】；
【解析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，，故的所有平方根為；
【說(shuō)明】本題考查了復(fù)數(shù)范圍虛數(shù)單位性質(zhì)與方程根的定義；
（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根是
【提示】注意：題設(shè)前提與方程根的定義；
【答案】；
【解析】由題意，得，則
【說(shuō)明】本題考查了在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求負(fù)實(shí)數(shù)的平方根；【歸納】一般地，負(fù)實(shí)數(shù)的平方根是和；
題型2、在復(fù)數(shù)集C內(nèi)求復(fù)數(shù)的平方根
例2、（1）虛數(shù)的平方是（）
A．正實(shí)數(shù)B．虛數(shù)
C．負(fù)實(shí)數(shù)D．虛數(shù)或負(fù)實(shí)數(shù)
【提示】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即可判斷；
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
若，則，即負(fù)實(shí)數(shù)；
若，則，即虛數(shù)；
故選：D.
（2）定義：若，則稱復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復(fù)數(shù)的平方根為（）
A．， B．，
C．， D．，
【提示】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，然后平方后根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出結(jié)論；
【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，
化簡(jiǎn)，所以，，解得
，或，，即復(fù)數(shù)的平方根為或，
故選：C
【說(shuō)明】求復(fù)數(shù)的平方根主要是利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與復(fù)數(shù)相等的交匯；
所以，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，如果滿足：
則稱是的一個(gè)平方根；
題型3、對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程的理解i
例3、（1）對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)其解是下列結(jié)論中不正確的是（）
A．若則
B．若則且
C．一定有
D．一定有
【說(shuō)明】根據(jù)題意，利用一元二次方程求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可；
【答案】B；
【解析】解:對(duì)于A，當(dāng)則，即A正確，
對(duì)于B，當(dāng)則，，
則，且，即B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，即C正確，
對(duì)于D，，即D正確，
故選B；
【說(shuō)明】本題考查了一元二次方程求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力；
（2）2022年1月，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)和南方科技大學(xué)范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說(shuō)明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程x3＝1，它的兩個(gè)虛數(shù)根分別為
【答案】eq \f(－1＋\r(3)i,2) ，eq \f(－1－\r(3)i,2)；
【解析】由x3＝1得x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＝0，
即x＋eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(3),2)i，解得x＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)或eq \f(－1－\r(3)i,2).
【說(shuō)明】實(shí)系數(shù)一元二次方程
實(shí)系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；
（3）方程有兩個(gè)共軛虛根，
在（3）的情況下，方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）仍然成立．
題型4、復(fù)數(shù)與方程
例4、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明.
【解析】（1）把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,a－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
（2）由（1）知方程為x2＋2x＋2＝0.
設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，
∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根.
【說(shuō)明】1、對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、根與系數(shù)關(guān)系、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.
2、對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
3、求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：
（1）設(shè)化歸為實(shí)數(shù)方程來(lái)解決（化歸思想）；
（2）把看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)），
用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)變形（整體思想）；
（3）對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）；
題型5、復(fù)數(shù)的平方根與立方根
例5、（1）解方程：；
【解析】由，
得或，即或，
所以，的立方根為：或；
【說(shuō)明】若復(fù)數(shù)、滿足：，則稱是的立方根。
同時(shí)，通過(guò)對(duì)以上求解過(guò)程的理解與反思；若記：，
則；結(jié)合“方程的解”的定義，可得結(jié)論：
（1）、，；（2）、，；
（3）、，；注意巧用以上結(jié)論，簡(jiǎn)化計(jì)算。
（2）求的立方根.
【提示】設(shè)的立方根是（，），易得，對(duì)其展開(kāi)由復(fù)數(shù)相等可得出x和y的值，從而求得答案；
【答案】，或
【解析】設(shè)的立方根是（，），則，
即，
由②，得或，代入①解得：
或或.
所以的立方根是，或；
【說(shuō)明】本題考查復(fù)數(shù)相等，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握；
復(fù)數(shù)的平方根與立方根
滿足條件：的叫做的平方根；
【特殊情況】設(shè)，當(dāng)時(shí)，的實(shí)平方根；
當(dāng)時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍的的平方根有兩個(gè)：，
并且，它們是共軛的純虛數(shù)；
滿足條件：的叫做的立方根；
題型6、有關(guān)復(fù)數(shù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的綜合題
例6、已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．
（1）求m的值；
（2）若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．
【提示】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算即可求解參數(shù)的值；
（2）首先將代入一元二次方程中求出參數(shù)，的值，然后再根據(jù)求根公式求解另外一個(gè)復(fù)數(shù)根即可.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，則，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
帶入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一個(gè)復(fù)數(shù)根為
題型7、有關(guān)復(fù)數(shù)的創(chuàng)新題
例7、（1）在①，②為純虛數(shù)，③為非零實(shí)數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.
已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，若__________，求實(shí)數(shù)的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分.
（2）已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求的值.
【提示】（1）由復(fù)數(shù)的類型以及運(yùn)算，列出關(guān)系式，從而得出實(shí)數(shù)m的值；
（2）將代入方程求得.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【解析】選條件①：因?yàn)?，又?br>所以，，解得.
選條件②：為純虛數(shù)
，解得
選條件③：為非零實(shí)數(shù)，，解得.
（2）因?yàn)闉閷?shí)系數(shù)一元二次方程：的一個(gè)根，
，即，所以，
解得，；
題型8、誤用判別式求復(fù)數(shù)方程
例8、已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．
【答案】±2eq \r(2) ；
【解析】設(shè)x0是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得(xeq \\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋kx0＋2＝0，,2x0＋k＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\r(2)，,k＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\r(2)，,k＝2\r(2)，))
所以k的值為－2eq \r(2)或2eq \r(2).
【特別提醒】1、求解本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2eq \r(3)或k≤－2eq \r(3).需注意由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根．
2、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．對(duì)于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開(kāi)方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的．注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解．
題型9、與復(fù)數(shù)相關(guān)的綜合題
例9、（1）歐拉公式exi＝cs x＋isin x(其中i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的序號(hào)是
①?gòu)?fù)數(shù)e2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
②eeq \f(π,2)i為純虛數(shù)
③復(fù)數(shù)eq \f(exi,\r(3)＋i)的模長(zhǎng)等于eq \f(1,2)
④eeq \f(π,6)i的共軛復(fù)數(shù)為eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
【答案】②③；
【解析】對(duì)于①，e2i＝cs 2＋isin 2，∵2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，eeq \f(π,2)i＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i，可得eeq \f(π,2)i為純虛數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，eq \f(exi,\r(3)＋i)＝eq \f(cs x＋isin x,\r(3)＋i)＝eq \f(（cs x＋isin x）（\r(3)－i）,（\r(3)＋i）（\r(3)－i）)＝eq \f(\r(3)cs x＋sin x,4)＋eq \f(\r(3)sin x－cs x,4)i，
可得其模長(zhǎng)為eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)cs x＋sin x,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)sin x－cs x,4)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，故③正確；
對(duì)于④，eeq \f(π,6)i＝cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i，可得eeq \f(π,6)i的共軛復(fù)數(shù)為eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i，故④錯(cuò)誤.
（2）已知x為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝x－2＋(x＋2)i.
①當(dāng)x為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z的模最??？
②當(dāng)復(fù)數(shù)z的模最小時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在一次函數(shù)y＝－mx＋n的圖象上，其中mn>0，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值及取得最小值時(shí)m，n的值；
【解析】①由題意得|z|＝eq \r((x－2)2＋(x＋2)2)＝eq \r(2x2＋8)≥2eq \r(2)，顯然當(dāng)x＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z的模最小，
最小值為2eq \r(2).
②由(1)知當(dāng)x＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z的模最小，則Z(－2,2)．
因?yàn)辄c(diǎn)Z在一次函數(shù)y＝－mx＋n的圖象上，所以2m＋n＝2，即m＋eq \f(n,2)＝1.
又mn>0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(n,2)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,n)＋eq \f(n,2m)≥eq \f(3,2)＋eq \r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(m,n)＝eq \f(n,2m)，即n2＝2m2時(shí)等號(hào)成立．
又2m＋n＝2且mn>0，所以當(dāng)eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)取最小值eq \f(3,2)＋eq \r(2)時(shí)，m＝2－eq \r(2)，n＝2eq \r(2)－2.
題型10、與復(fù)數(shù)相關(guān)的新定義題
例10、復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為實(shí)部，稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

（1）設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；
（3）在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.
【提示】（1）直接利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算即可；
（2）設(shè)，的模為，的模為，，通過(guò)題意可得，發(fā)現(xiàn)，從而無(wú)意義，再根據(jù)角的范圍求解即可；
（3）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，利用復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)的定義列式計(jì)算即可.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）
,
；
（2）設(shè)，的模為，的模為，，
對(duì)于有，，
對(duì)于有，，
所以，
所以，
，
所以無(wú)意義，即的角的終邊在軸上，
又，
所以，
即
（3）
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在復(fù)平面內(nèi)，過(guò)原點(diǎn)作的平行線，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，則，
所以，
即，
即
根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.

【說(shuō)明】 “新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
1、復(fù)數(shù)的平方根是
【提示】設(shè)的平方根為，則，化簡(jiǎn)后根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組求解即可.
【答案】或
【解析】設(shè)的平方根為，則，即，
從而解得或
所以復(fù)數(shù)的平方根是或，
2、請(qǐng)寫出復(fù)數(shù)的一個(gè)平方根（只需寫出其中一個(gè)）
【提示】利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及相等性質(zhì)即可得解.
【答案】（或，答案不唯一）.
【詳解】依題意，設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，
則，
所以，解得或，
所以復(fù)數(shù)的平方根為或，
故答案為：（或，答案不唯一）
3、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的平方根是
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的平方根為，
故答案為：
4、在復(fù)數(shù)集內(nèi)方程x2－ix＋i－1＝0的解為 .
【答案】x1＝1，x2＝－1＋i；
【解析】因?yàn)閍＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.
設(shè)(m＋ni)2＝3－4i，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－n2＝3，,2mn＝－4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1.))
所以3－4i的平方根為±(2－i)，
所以x＝eq \f(－b＋“Δ的平方根”,2a)＝eq \f(i±（2－i）,2×1)，
得x1＝eq \f(i＋2－i,2)＝1，x2＝eq \f(i－2＋i,2)＝－1＋i，
即原方程的根為x1＝1，x2＝－1＋i.
5、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則其另外一個(gè)根是________，a＝________.
【答案】2＋3i；13；
【解析】設(shè)方程的另外一根為x，
則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
6、2022年1月，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)和南方科技大學(xué)范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說(shuō)明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程x3＝1，它的兩個(gè)虛數(shù)根分別為
【答案】eq \f(－1＋\r(3)i,2) ；eq \f(－1－\r(3)i,2)；
【解析】由x3＝1得x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，
即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＝0，
即x＋eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(3),2)i，
解得x＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)或eq \f(－1－\r(3)i,2).
7、已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則（）
A．2B．3
C．4D．5
【提示】利用復(fù)數(shù)相等可求參數(shù)的值.
【答案】D
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，
所以，整理得到: 即，
故選：D.
8、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2－5|x|＋6＝0的解的個(gè)數(shù)為( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C；
【解析】設(shè)x＝a＋bi(a，b∈R)，
那么原方程即為(a＋bi)2－5eq \r(a2＋b2)＋6＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2－5\r(a2＋b2)＋6＝0，,2ab＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±2，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±3，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝±1.))
9、已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明．
【解析】（1）把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.
（2）設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得i－1＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左邊得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右邊，
∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根．
10、已知關(guān)于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有實(shí)數(shù)根b.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
【解析】（1）∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的實(shí)根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－6b＋9＝0，,a＝b.))解得a＝b＝3.
（2）設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1(－1,1)為圓心，2eq \r(2)為半徑的圓．
如圖，當(dāng)Z點(diǎn)在直線OO1上時(shí)，
|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝eq \r(2)，半徑r＝2eq \r(2)，
∴當(dāng)z＝1－i時(shí)，|z|有最小值，且|z|min＝eq \r(2)；

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