第20題圖
（1）求從B孔飛出的粒子的速度及截面圓內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；
（2）求粒子從A孔運(yùn)動到D孔的時間及比值；
（3）緊靠D孔有兩金屬板，，兩板間加上沿半徑方向的交變電壓，以板出口處點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，在y軸右側(cè)區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，當(dāng)時，從點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度最大的粒子恰好從點(diǎn)離開磁場。若要讓從點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度最小的粒子也恰好擊中點(diǎn)P，則的取值應(yīng)為多少？
【名師解析】.（11分）
（1）時刻的電壓為
電場中加速（1分）
得
由幾何關(guān)系得：從A到B的過程中的軌跡半徑為R
由（1分）
聯(lián)立得（1分）
（2）由（1）得，速度為的粒子才能經(jīng)過B孔，進(jìn)而經(jīng)過C孔和D孔
由幾何關(guān)系得：從B孔到C孔的軌跡的圓心角為，半徑為（1分）
從C孔到D孔的軌跡的圓心角為，半徑為R
則（1分）
代入得：（1分）
代入得（1分）
（3）在時刻和時刻進(jìn)入A孔的拉子能經(jīng)過B孔
則粒子經(jīng)過D孔時的時刻為時刻和
設(shè)時刻經(jīng)過板后的速度為，則（1分）
設(shè)時刻經(jīng)過板后的速度為，則
得
由題意得最大圓半徑，則最小圓半徑（1分）
圓軌跡方程為
設(shè)粒子自點(diǎn)離開軌跡圓沿切線飛出，由幾何關(guān)系的：（1分）
同時滿足
聯(lián)立得：（1分）
2．（12分）（2024年3月江蘇四市一模）xOy平面內(nèi)存在著變化電場和變化磁場，變化規(guī)律如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?、電場?qiáng)度的正方向?yàn)榉较颍畷r刻，一電荷量為質(zhì)量為m的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速沿方向入射（不計(jì)粒子重力）．圖中，圖中．求：
（1）時刻粒子的坐標(biāo)：
（2）時間段內(nèi)粒子速度沿方向的時刻；
（3）時間段內(nèi)粒子軌跡縱坐標(biāo)的最大值．
【名師解析】．（12分）
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的周期
時刻柆子坐標(biāo)為即
（2）時間內(nèi)的運(yùn)動軌跡如圖
（3）笛時間內(nèi)粒子沿軸方向位移
時間內(nèi)粒子沿軸方向最大位移
3. （2024湖南名校聯(lián)合體第四次聯(lián)考） 如圖甲所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的y軸左側(cè)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，在y軸的右側(cè)與平行于y軸的屏之間有垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場I，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，在電場中坐標(biāo)為（L，0.5L）的P點(diǎn)，以大小為v0的初速度沿x軸正方向射出一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子，粒子剛好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場并恰好打在屏上的Q點(diǎn)，Q點(diǎn)在x軸上。粒子重力不計(jì)。求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；
（2）y軸到屏間的距離為多少；
（3）若在磁場I中再加一個勻強(qiáng)磁場II，磁場II的方向垂直于坐標(biāo)平面向里，其大小隨時間變化如圖乙所示，，若粒子從P點(diǎn)射出后在t=0時刻進(jìn)入磁場，則粒子最終打在屏上的位置離x軸的距離為多少。
【參考答案】（1）；（2）；（3）
【名師解析】
（1）設(shè)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小為E，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，則
根據(jù)牛頓第二定律
解得
（2）由
解得
則粒子進(jìn)磁場時的速度大小
方向與y軸正向的夾角為，則
故
設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律
根據(jù)幾何關(guān)系
解得
（3）粒子在磁場I中做圓周運(yùn)動的周期
則
在到時間內(nèi)，合磁場方向垂直于坐標(biāo)平面向里，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B0，粒子做圓周運(yùn)動的半徑
粒子做圓周運(yùn)動周期
則
根據(jù)幾何關(guān)系可知，在時刻，粒子離x軸的距離為
離屏的距離為
從至?xí)r間內(nèi)，粒子沿y軸正向運(yùn)動的距離
解得
因此粒子最終打在屏上的位置離x軸的距離
4．（16分）(2024海南高考模擬6)如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)存在著沿軸正方向的勻強(qiáng)電場，在第一象限，邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)存在著垂直于平面的勻強(qiáng)磁場，規(guī)定磁場垂直平面向里為正方向。將一帶負(fù)電的粒子從點(diǎn)以一定的初速度射入電場，然后從點(diǎn)以速度沿著軸正方向進(jìn)入磁場，此時磁場從時刻開始變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小按圖2所示做周期性變化（未知），粒子恰好在時刻沿軸正向到達(dá)圖中的點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力。
圖1 圖2
（1）求粒子從點(diǎn)射入時的速度；
（2）求粒子在磁場中的運(yùn)動時間；
（3）若大小不變，將周期變?yōu)椋罅Ｗ与x開磁場時的縱坐標(biāo)．
思路點(diǎn)撥（1）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的知識求得粒子從d點(diǎn)射放時的速度；
（2）由幾何關(guān)系求得粒子在磁場中運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角，進(jìn)而求得粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)時間；
（3）由題意知，求得粒子在時間內(nèi)的運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角及沿軸正向的位移，根據(jù)對稱性，可知粒子在磁場中運(yùn)動了3個周期，由幾何關(guān)系可求得粒子離開磁場時的縱坐標(biāo)。
【名師解析】（1）將粒子在電場中的運(yùn)動等效為逆向的類平拋運(yùn)動，可知粒子沿軸方向做勻速直線運(yùn)動，有
沿軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，設(shè)粒子在點(diǎn)時豎直方向的速度大小為，有
聯(lián)立可得
則粒子從點(diǎn)射入時的速度大小
設(shè)粒子在點(diǎn)時速度方向與水平方向的夾角為，則
即入射方向與軸正方向的夾角為。
（2）粒子恰好在時到達(dá)點(diǎn)，則粒子的運(yùn)動軌跡如圖1所示，可知兩段圓弧對稱，設(shè)兩段圓弧的圓心連線與軸的夾角為，圓弧的半徑為，由幾何關(guān)系可知
圖1
聯(lián)立解得
由幾何關(guān)系可知每段圓弧對應(yīng)的圓心角為。
則粒子在磁場中的運(yùn)動時間
（3）粒子在磁場中的軌道半徑為，由于，則
由第（2）問知，經(jīng)過，粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為，故經(jīng)過時間，粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為
粒子在時間內(nèi)沿軸正向運(yùn)動的位移
根據(jù)對稱性可知粒子經(jīng)過3個周期到達(dá)邊界，作出粒子的運(yùn)動軌跡如圖2所示，由幾何關(guān)系可知，粒子離開磁場時的縱坐標(biāo)為
圖2
解得
5. （2024福建漳州第二次質(zhì)檢）如圖甲的空間中存在隨時間變化的磁場和電場，規(guī)定磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直xOy平面向內(nèi)為正方向，電場強(qiáng)度E沿x軸正方向?yàn)檎较颍珺隨時間t的變化規(guī)律如圖乙，E隨時間t的變化規(guī)律如圖丙。時，一帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度沿y軸負(fù)方向開始運(yùn)動。已知、、，帶電粒子的比荷為，粒子重力不計(jì)。
（1）求粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期T；
（2）求時，粒子的位置坐標(biāo)；
（3）在內(nèi)，若粒子的最大速度是，求與的比值。
【參考答案】（1）；（2）；（3）
【名師解析】
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期

（2）內(nèi)，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有
解得
由（1）問可知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期
則粒子在內(nèi)運(yùn)動了半周期恰好又回到x軸，速度方向沿y軸正方向

即此時粒子位置的坐標(biāo)為
（3）內(nèi)粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，在內(nèi)，粒子受到沿x軸正方向電場力的作用，粒子做類平拋運(yùn)動，粒子在x方向做勻加速運(yùn)動
當(dāng)時，粒子具有最大速度，粒子沿x軸方向的分速度為

沿y軸方向的分速度為
則

解得
?
6. （2024黑龍江重點(diǎn)高中3月質(zhì)檢）如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系區(qū)域內(nèi)有沿軸正方向的勻強(qiáng)電場，右側(cè)有個以點(diǎn)(3L，0)為圓心，半徑為L的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與軸的交點(diǎn)分別為M、N.現(xiàn)有一質(zhì)量為 m，帶電量為e的電子，從軸上的A點(diǎn)以速度沿軸正方向射入電場，電場強(qiáng)度E =,飛出電場后恰能從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，不考慮電子所受的重力.求:
（1）電子進(jìn)入圓形區(qū)域時的速度方向與軸正方向的夾角;
（2）A點(diǎn)坐標(biāo);
（3）若在電子剛進(jìn)入圓形區(qū)域時，在圓形區(qū)域內(nèi)加上圖乙所示周期性變化的磁場（以垂直于紙 面向外為磁場正方向），最后電子從N點(diǎn)處飛出.速度方向與進(jìn)入磁場時的速度方向相同.求：磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、磁場變化周期T各應(yīng)滿足的關(guān)系表達(dá)式.
【參考答案】（1） ；（2）（0，） ；（3） （n=1，2，3…）
【名師解析】
（1）電子在電場中作類平拋運(yùn)動，射出電場時：
水平方向：
豎直方向：
速度方向與x軸正方向的夾角：
可以得到：
（2）電子在電場中運(yùn)動，豎直方向位移：
電子勻速運(yùn)動，則有：
總位移：
A點(diǎn)坐標(biāo)（0，）
（3）電子在磁場中最簡單的情景如圖所示：
在磁場變化的前三分之一個周期內(nèi)，電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，設(shè)電子運(yùn)動的軌道半徑為r，運(yùn)動的T0，粒子在x軸方向上的位移恰好等于r；
在磁場變化后三分之二個周期內(nèi)，因磁感應(yīng)強(qiáng)度減半，電子運(yùn)動周期，故粒子的偏轉(zhuǎn)角度仍為60°，電子運(yùn)動的軌道半徑變?yōu)?r，粒子在x軸方向上的位移恰好等于2r，綜合上述分析，則電子能到達(dá)N點(diǎn)且速度符合要求的空間條件是：
在磁場中，洛倫茲力提供向心力：
解得： （n=1，2，3…）
應(yīng)滿足的時間條件為：
而：，
解得： （n=1，2，3…）

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