（時間：120分鐘 總分：120分）
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分．）
1. 相反數(shù)是（ ）
A. B. 2025C. D.
2. 在2023年“五一”期間，仙海旅游景區(qū)接待游客102200人次，將102200用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
3. 下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列計算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
6. 若有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（ ）
A. 調(diào)查全市初一學(xué)生當(dāng)天作業(yè)完成的時長
B. 了解“嫦娥五號”探測器的零部件狀況
C. 企業(yè)招聘人員，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試
D. 了解某校一個班級學(xué)生的身高情況
8. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載了一道題，大意是：幾個人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)題意，可列出的方程組是（ ）
A. B.
C D.
9. 如圖，一傳送帶和地面所成的斜坡坡度（坡度：指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）為，該傳送帶把物體從最低處A送到離地面3米高的C處，物體所走的路程為（ ）米
A. 9B. C. D.
10. 已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
二、填空題（共5題，每題3分，共15分）
11. 化簡的結(jié)果是________．
12. 在一個不透明的口袋中裝有2個紅球和3個白球，它們除顏色外其它都相同．從口袋中任意摸出一個球，則摸到紅球的概率是______．
13. 如圖，已知線段，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以5cm為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，連接，，，，則四邊形的面積為_______．
14. 若圓錐的底面半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為____．
15. 定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)…，以此類推，則______．
三、解答題（共9題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16 計算：．
17. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，與相交于點(diǎn)O，且．求證：．
18. 如圖，某幢大樓頂部有廣告牌，小宇目高為米，他站立在離大樓45米的A處測得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為；接著他向大樓前進(jìn)15米、站在點(diǎn)B處，測得廣告牌頂端點(diǎn)的仰角為（取，計算結(jié)果保留一位小數(shù)）
（1）求這幢大樓的高；
（2）求這塊廣告牌的高度．
19. 2024年國家提出推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興后，甲村經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入了快車道．為了解甲村去年下半年經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，雷瑩從該村400戶家庭中隨機(jī)抽取了部分家庭調(diào)查其去年下半年的收入情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：
（1）表格中 ，雷瑩所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位數(shù)落在 組；
（2）求雷瑩所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)；
（3）試估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的戶數(shù)．
20. 如圖，一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）過點(diǎn)B作軸且，連接，求的面積．
21. 已知是直徑，P為外一點(diǎn)，且．
（1）求證：為的切線；
（2）若，求的長．
22. 在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備用每個6元的價格購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的關(guān)系式為：．
（1）按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，寫出銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)解析式；
（2）為了方便顧客，售價定為多少時可獲利1200元；
（3）若要想獲得最大利潤，試確定此時的銷售單價，并求出此時的最大利潤．
23. 問題背景：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小明同學(xué)將圖①中的繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，得到結(jié)論：①＝______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為______；
（2）小明同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D，E，F(xiàn)在一條直線上，如圖③所示位置時，求的面積；
（3）在繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，記的面積為S，直接寫出S的取值范圍．
24. 如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖①，在直線上方的拋物線上存在一點(diǎn)M，使得，求出M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是該拋物線上位于直線下方的一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），點(diǎn)D在拋物線對稱軸上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)B，P，D，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級三月聯(lián)考
數(shù)學(xué)試卷
（時間：120分鐘 總分：120分）
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分．）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. 2025C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】本題考查了相反數(shù)的知識，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的定義即可解題．
【分析】解：的相反數(shù)是2025，
故選：B．
2. 在2023年“五一”期間，仙海旅游景區(qū)接待游客102200人次，將102200用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是理解運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：將102200用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：C．
3. 下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別，軸對稱圖形的識別等知識點(diǎn)，熟練掌握中心對稱圖形的概念和軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心，中心對稱圖形是一種特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，常見的中心對稱圖形有：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、線段、相交直線等；如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓、線段、相交直線等；常見的既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有：矩形、菱形、正方形、圓、線段、相交直線等．根據(jù)中心對稱圖形的概念與軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可得出答案．
【詳解】解：A. 既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
B. 不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
C. 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；
D. 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
4. 下列計算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查積的乘方和冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法以及合并同類項(xiàng)，分別根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則計算出各選項(xiàng)的結(jié)果再判斷即可．
【詳解】解：Ａ．，原選項(xiàng)計算錯誤，故不符合題意；
B. ，原選項(xiàng)計算錯誤，故不符合題意；
C. 與不是同類項(xiàng)，不能計算，原選項(xiàng)錯誤，故不符合題意；
D. ，運(yùn)算正確，符合題意，
故選：D．
5. 如圖所示的正六棱柱，其俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：從上面看，看到的圖形是一個正六邊形，即看到的圖形如下：
，
故選：C．
6. 若有意義，則x的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【詳解】解：二次根式有意義，
，解得．
故選：A．
7. 下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（ ）
A. 調(diào)查全市初一學(xué)生當(dāng)天作業(yè)完成的時長
B. 了解“嫦娥五號”探測器的零部件狀況
C. 企業(yè)招聘人員，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試
D. 了解某校一個班級學(xué)生的身高情況
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，根據(jù)實(shí)際需要靈活選擇普查還是抽樣調(diào)查是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、調(diào)查全市初一學(xué)生當(dāng)天作業(yè)完成的時長，人數(shù)眾多，范圍廣，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，符合題意；
B. 了解“嫦娥五號”探測器的零部件狀況，涉及安全性，事關(guān)重大，應(yīng)采用全面調(diào)查，不符合題意；
C、企業(yè)招聘人員，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試,人數(shù)較少且有篩選作用，應(yīng)采用全面調(diào)查，不符合題意；
D、了解某校一個班級學(xué)生的身高情況，人數(shù)較少且關(guān)注每一個個體，應(yīng)采用全面調(diào)查，不符合題意．
故選A．
8. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載了一道題，大意是：幾個人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)題意，可列出的方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組解古代數(shù)學(xué)問題，讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)“每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元”，即可求解．
【詳解】解：∵ 每人出8元，剩余3元，
∴，
∵每人出7元，還差4元，
∴，
故所列方程組為：．
故選：A．
9. 如圖，一傳送帶和地面所成的斜坡坡度（坡度：指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）為，該傳送帶把物體從最低處A送到離地面3米高的C處，物體所走的路程為（ ）米
A. 9B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)B，構(gòu)造直角求出的長即可．本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．
【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)B，
∵傳送帶和地面所成斜坡的坡度為，
∴ ，
∵該傳送帶把物體從最低處A送到離地面3米高的C處，
∴米
∴米，
在中，，
∴米 ，
故選：D．
10. 已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號即可；②將點(diǎn)代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時，該拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，即可判斷．
【詳解】解：由題圖可知，，
，故①正確；
當(dāng)時，，即，故②正確；
二次函數(shù)與軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
二次函數(shù)與軸的另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
多項(xiàng)式，故③錯誤；
當(dāng)時，有最大值，即，
當(dāng)時，拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根，故④正確．
綜上，①②④正確．
故選：C．
二、填空題（共5題，每題3分，共15分）
11. 化簡的結(jié)果是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
先將第二項(xiàng)的分母進(jìn)行因式分解，約分后即可得出答案．
【詳解】解：
，
故答案為：．
12. 在一個不透明的口袋中裝有2個紅球和3個白球，它們除顏色外其它都相同．從口袋中任意摸出一個球，則摸到紅球的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了概率公式，利用概率計算公式，用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)，算出概率即可．
【詳解】解：∵有2個紅球和3個白球，
∴任意摸出一個球是紅球概率．
故答案為：．
13. 如圖，已知線段，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以5cm為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，連接，，，，則四邊形的面積為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題關(guān)鍵．也考查了菱形的判定與性質(zhì)．利用基本作圖得到，則可判斷四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，接著利用勾股定理計算出的長，然后根據(jù)菱形的面積公式計算．
【詳解】解：連接交于點(diǎn)，如圖，
由作法，
四邊形為菱形，
，，，
在中，，
，
四邊形的面積．
故答案為：．
14. 若圓錐的底面半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積．熟練掌握圓錐的側(cè)面積公式是：，其中S為側(cè)面積，r為圓錐底面的半徑，l為圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圓錐的側(cè)面積為，其中S為側(cè)面積，r為圓錐底面的半徑，l為圓錐的母線長，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，圓錐的側(cè)面積為，
故答案為：．
15. 定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)…，以此類推，則______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，利用規(guī)定的運(yùn)算方法，得出數(shù)字之間的循環(huán)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算方法，依次計算出，，、，即可發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一個周期依次循環(huán)，然后用2023除以3，根據(jù)規(guī)律，即可得出答案．
【詳解】解：，，，，
，
∴這列數(shù)以，2，三個數(shù)依次不斷循環(huán)出現(xiàn)；
，
，，，
∴．
故答案為：．
三、解答題（共9題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16. 計算：．
【答案】10
【解析】
【分析】本題考查了乘方運(yùn)算、化簡絕對值，零次冪以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先運(yùn)算乘方運(yùn)算、化簡絕對值，零次冪以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后運(yùn)算加法，即可作答．
【詳解】解：
．
17. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，與相交于點(diǎn)O，且．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由平行四邊形的性質(zhì)得，然后運(yùn)用證明即可作答．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
18. 如圖，某幢大樓頂部有廣告牌，小宇目高為米，他站立在離大樓45米的A處測得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為；接著他向大樓前進(jìn)15米、站在點(diǎn)B處，測得廣告牌頂端點(diǎn)的仰角為（取，計算結(jié)果保留一位小數(shù)）
（1）求這幢大樓的高；
（2）求這塊廣告牌的高度．
【答案】（1）樓高為米；
（2）廣告牌的高度為米．
【解析】
【分析】（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得米，即可得解；
（2）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得米，即可得解．
【小問1詳解】
解：在中，米；
由 ，
得米；
又因?yàn)槊祝?br>因而大樓米，
答：樓高為米；
【小問2詳解】
解：∵在中，米，
，
∴米；
因而廣告牌米；
答：廣告牌的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19. 2024年國家提出推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興后，甲村經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入了快車道．為了解甲村去年下半年經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，雷瑩從該村400戶家庭中隨機(jī)抽取了部分家庭調(diào)查其去年下半年的收入情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：
（1）表格中 ，雷瑩所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位數(shù)落在 組；
（2）求雷瑩所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)；
（3）試估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的戶數(shù)．
【答案】（1）8，C （2）8.5萬元
（3）220戶
【解析】
【分析】本題考查數(shù)據(jù)的整理與分析，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)，平均數(shù)，部分估計總體等知識，即可．
（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，求出C組的占比，根據(jù)統(tǒng)計圖求出抽樣總?cè)藬?shù)，求出m的值即可；根據(jù)中位數(shù)的定義，即可；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求解即可；
（3）用400乘以家庭收入不低于8.5萬元所占百分比求解即可．
【小問1詳解】
解：∵抽樣總戶數(shù)為：（戶），
C組的占比為：，
∴，
∵抽樣的總戶數(shù)為20戶，
∴中位數(shù)為：第10戶，第11戶，
∴中位數(shù)落在C組．
故答案為：8，C；
【小問2詳解】
解抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)為：（萬元）．
【小問3詳解】
解：估計去年家庭收入不低于8.5萬元的戶數(shù)為：（戶）
20. 如圖，一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）過點(diǎn)B作軸且，連接，求的面積．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)可得，進(jìn)而可得反比例函數(shù)解析式；由反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)可得，于是可得，由一次函數(shù)的圖象過，兩點(diǎn)可得，解方程組即可求出、的值，進(jìn)而可得一次函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由，可得，，在中，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形的面積公式可得，由此即可求出的面積．
【小問1詳解】
解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
，
反比例函數(shù)解析式為，
反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
，
一次函數(shù)的圖象過，兩點(diǎn)，
，
解得：，
一次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，，
，，
在中，根據(jù)勾股定理可得：
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合（一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題），求反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，三角形的面積公式，解二元一次方程組等知識點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)求出兩個函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
21. 已知是的直徑，P為外一點(diǎn)，且．
（1）求證：為的切線；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
對于（1），根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，即可得出答案；
對于（2），先根據(jù)勾股定理求出，再說明，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出答案.
【小問1詳解】
證明：∵為的直徑，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即，
∵為半徑，
∴為的切線；
【小問2詳解】
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
22. 在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備用每個6元的價格購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的關(guān)系式為：．
（1）按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，寫出銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)解析式；
（2）為了方便顧客，售價定為多少時可獲利1200元；
（3）若要想獲得最大利潤，試確定此時的銷售單價，并求出此時的最大利潤．
【答案】（1）；
（2）為了方便顧客，售價定10元時可獲利1200元．
（3）當(dāng)售價定為13元時，獲得的利潤最大，最大利潤為1470元．
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
（1）根據(jù)題意可知銷售利潤等于銷售成本減去進(jìn)貨成本，從而可以得到銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)解析式，
（2）由（1）得利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)解析式，列一元二次方程求解，從而解答本題；
（3）將w關(guān)于x的函數(shù)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答本題．
【小問1詳解】
由題意可得，，
∴函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
由（1）得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)解析式為
當(dāng)獲利為1200元時，，
解得：或，
答：為了方便顧客，售價定10元時可獲利1200元．
【小問3詳解】
∵，
∵，
∴圖象開口向下，
∴當(dāng) 時，w有最大值，最大值為1470．
即：當(dāng)售價定為13元時，獲得的利潤最大，最大利潤為1470元．
23. 問題背景：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小明同學(xué)將圖①中的繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，得到結(jié)論：①＝______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為______；
（2）小明同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D，E，F(xiàn)在一條直線上，如圖③所示位置時，求的面積；
（3）在繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，記的面積為S，直接寫出S的取值范圍．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，證明，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解即可；
②延長與交于點(diǎn)M，記交于點(diǎn)N，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）過點(diǎn)A作于H，證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（3）在繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，的底邊長度不變，
找出高最大，以及最小的情況求解即可．
【小問1詳解】
解：①在矩形中，，
，
，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
故答案為：；
②延長與交于點(diǎn)M，記交于點(diǎn)N，
，
，
，
，
即直線與所夾銳角的度數(shù)為，
故答案為：；
【小問2詳解】
過點(diǎn)A作于H
∵D，E，F(xiàn)共線
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴；
【小問3詳解】
在繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，的底邊長度不變，
當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線，面積最小，即，
記邊上的高為h，根據(jù)垂線段最短可知，
當(dāng)，重合時，的高最大為，此時面積最大，
，
，
，
，
即，
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂線段最短，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖①，在直線上方的拋物線上存在一點(diǎn)M，使得，求出M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是該拋物線上位于直線下方的一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），點(diǎn)D在拋物線對稱軸上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)B，P，D，Q四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）或
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可；
（2）直線的表達(dá)式為，代入A、C求出表達(dá)式，過點(diǎn)M作軸，交于點(diǎn)N，設(shè)，則，結(jié)合，再根據(jù)即可求出答案；
（3）求解對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，過作對稱軸于，作軸于，過作軸于；，設(shè)，，證明，可得，，再建立方程求解即可；如圖，過作軸于，過作軸于；過作對稱軸于，同理可得：，可得，，如圖，當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)，重合時，記對稱軸與軸的交點(diǎn)為，此時，，證明四邊形是正方形，從而可得答案．
【小問1詳解】
解：，，
，
將A、B、C代入，得
，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的表達(dá)式為，
代入A、C得，
解得，
，
過點(diǎn)M作軸，交于點(diǎn)N，
設(shè)，則，
，
，
即，
解得或，
或；
【小問3詳解】
解：∵拋物線為，
∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
如圖，過作對稱軸于，作軸于，過作軸于；
∴，
設(shè)，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
同理可得：，，
∴，
∴；
如圖，過作軸于，過作軸于；過作對稱軸于，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)為拋物線頂點(diǎn)，重合時，記對稱軸與軸的交點(diǎn)為，
此時，，
∴，且，
此時四邊形是正方形，
∴，
綜上：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與面積問題，二次函數(shù)與特殊四邊形問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
部分家庭收入統(tǒng)計表
部分家庭收入扇形統(tǒng)計圖
組別
分組x（萬元）
頻數(shù)（戶）
每組平均收入（萬元）
A
4
7
B
5
8.3
C
m
9
D
3
95
部分家庭收入統(tǒng)計表
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組別
分組x（萬元）
頻數(shù)（戶）
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9
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