一、單選題
1．計算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列交通標(biāo)志圖形中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下面能組成三角形的三邊長是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．對于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．李想同學(xué)在學(xué)習(xí)了三角形面積計算之后，想到“面積相等的三角形形狀不唯一確定”，那么下列三角形已知條件中，所得三角形面積不能唯一確定的是（ ）
A．三邊B．兩邊及夾角
C．兩邊及一邊所對的角D．兩角及夾邊
6．如圖，點，分別是的兩邊，上的點，連接，已知平分，平分，與交于點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，點是邊上一點，點是邊上一點，將沿翻折，使點落在點處，如果時，則（ ）
A．B．C．或D．或
8．如圖，點，，分別是邊長為2的等邊三邊的中點，動點從頂A出發(fā)第1次移動到點，到點后，先在中順時針方向移動到點，再在中順時針方向移動到點，以后按前兩次到點后的移動方向不斷地重復(fù)移動，若每次移動1個單位長度，那么第2025次移動后動點的位置是點（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在中，，，于點，把折疊，使點落在邊上的點處，展開后，折痕交于點，交于點，連接，，下列結(jié)論：①；②圖中有4對全等三角形；③若將沿折疊，則點一定落在邊上；④．其中正確的個數(shù)為有（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．對于若干組分式，第1組為，，記；第2組為，，，記；第3組為，，，，，記；以后每組分式由前一組的每相鄰兩個分式之間添進(jìn)它們和的一半而得到，并用表示第組所有分式的和（為正整數(shù)）．按此操作，那么：①第6組共有33個分式；②第10組比第9組多11個分式；③；④當(dāng)時，；⑤，以上結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題
11．若分式的值為0，則 ．
12．若點和點關(guān)于軸對稱，則 ．
13．如果正多邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的，那么正多邊形的邊數(shù)為 ．
14．如果等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角恰好等于等腰三角形的底角，那么這個三角形頂角的大小為 ．
15．如果整式的計算結(jié)果中不含項和項，那么 ．
16．如圖，在中，，，作的垂直平分線交于點，交于點，連結(jié)．若，則的周長為 ．
17．已知關(guān)于的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)值之和為 ．
18．若自然數(shù)是13的倍數(shù)，則稱為“祥和數(shù)”．判斷數(shù)是否為“祥和數(shù)”，可用的末三位數(shù)減去末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)，其差記為，若是“祥和數(shù)”，則就是“祥和數(shù)”．比如：數(shù)12831，它的末三位是831，末三位以前是12，則，因為，所以是“祥和數(shù)”，即12831是“祥和數(shù)”．若整數(shù)（其中為自然數(shù)）是“祥和數(shù)”，則的最小值為 ．設(shè)整數(shù)，（，，，且，，均為整數(shù)），若，都是“祥和數(shù)”，則的最大值為 ．
三、解答題
19．完成下列各題：
(1)化簡：；
(2)分解因式：．
20．小王同學(xué)遇到一道幾何題，如圖所示，點在邊上，點在外，點是與的交點，已知，，平分，證明：．
(1)小王同學(xué)首先想到過點作的垂線，垂足為，請用尺規(guī)完成小王同學(xué)的基本作圖；（在答題卡上保留作圖痕跡，標(biāo)上字母，不寫作法）
(2)下面是小王同學(xué)的不完整證明，請根據(jù)小王同學(xué)的證明思路完成對應(yīng)空白填空．（在答題卡上填上對應(yīng)代號的內(nèi)容）
證明：∵，∴，由（1）得，
∵平分，∴（① ），
在和中，∵，，
∴（② ），
∴（③ ），
又∵（④ ），且，，
∴，∴．
21．如圖，在中，，是邊，上的點，與交于點，已知，．
(1)證明：；
(2)若，，求證：．
22．忠縣臨江公園美化后的夜景引來眾多游客觀賞，拍照打卡者絡(luò)繹不絕，也帶來了商機(jī)．李師傅今年元旦節(jié)網(wǎng)購A、B兩種類型的拍立得相紙前往公園為游客開展陪拍服務(wù)，已知購進(jìn)1盒A型號相紙比購進(jìn)一盒B型號相紙便宜13元，并且花費180元購進(jìn)A型號相紙和花費232元購進(jìn)B型號相紙盒數(shù)相等．
(1)求購進(jìn)A、B兩型號相紙的單價分別是多少元？
(2)李師傅購進(jìn)A，B兩種型號的相紙共50盒，每盒均包含10張相紙，并把A，B兩種型號的相紙分別以8元/張，10元/張進(jìn)行陪拍服務(wù)，如果李師傅計劃本次陪拍服務(wù)后的總利潤不低于1890元，那么最多購進(jìn)A型號相紙多少盒？
23．已知分式．
(1)化簡已知分式；
(2)若使計算代數(shù)式的值與字母的取值無關(guān)，求時已知分式的值．
24．如圖所示，在中，點為的中點，點在邊上，與交于點，連接，已知，．證明：
(1)；
(2)．
25．在學(xué)習(xí)整式乘法時，教材用拼圖推演得到了整式的乘法法則和乘法公式．這樣，我們借助圖形往往能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象．如圖1，將邊長的正方形分別用兩個邊長分別為，的正方形①②（陰影部分）和兩個長方形③④拼接而成．觀察圖形，解答下列問題：
(1)請用兩種不同的方法表示圖1中邊長的正方形的面積．你能用圖1中正方形的面積表示嗎？請把結(jié)論寫出來．
(2)運用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：
①已知，求的值．
②如圖2是由3個正方形、、和1個長方形拼接而成，若，，長方形的面積為15，設(shè)陰影部分正方形的面積分別為，，求的值．
26．已知為等邊三角形，點是邊所在直線上一點，連接．
(1)如圖1，若點在點的左邊，將沿所在直線翻折至處，并使得于點，求的大小；
(2)如圖2，設(shè)點在點的左邊，以為邊在右邊作，且，連接交于點，求證：；
(3)如圖3，若點在點的右邊，點，也在直線上，且滿足，，點，分別在線段，上且滿足，連接，．當(dāng)取得最小值時，點是直線上的一個動點，連接，，．當(dāng)取得最小值時，求的大小．
《重慶市忠縣2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．C
解：．
故選：C
2．D
解：A、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
B、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
C、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
D、不是軸對稱圖形，故此選項符合題意．
故選：D．
3．B
解：A選項：，這三條邊不能組成三角形，故A選項不符合題意；
B選項：，這三條邊能組成三角形，故B選項符合題意；
C選項：，這三條邊不能組成三角形，故C選項不符合題意；
D選項：，這三條邊不能組成三角形，故D選項不符合題意 ．
故選：B．
4．A
解：，能表示成完全平方式；
不能表示成完全平方式；
，能表示成完全平方式；
不能表示成完全平方式；
，能表示成完全平方式；
，能表示成完全平方式．
其中能表示成完全平方式的有個．
故選：A．
5．C
解：A、三角形有三邊對應(yīng)相等，根據(jù)可判定三角形全等，所以三角形面積能唯一確定，故此選項不符合題意；
B、三角形有兩邊及夾角對應(yīng)相等，根據(jù)可判定三角形全等，所以三角形面積能唯一確定，故此選項不符合題意；
C、三角形有兩邊及一邊所對的角對應(yīng)相等，三角形不一定全等，所以三角形面積不能唯一確定，故此選項符合題意；
D、三角形有兩邊及夾角對應(yīng)相等，根據(jù)可判定三角形全等，所以三角形面積能唯一確定，故此選項不符合題意；
故選：C．
6．B
解：平分，，
，
平分，，
，
是△的外角，
，
即，
故選：B．
7．C
解：當(dāng)點與點C在直線的異側(cè)時，如圖，
，
，
將沿翻折，點落在點處，
，
；
當(dāng)點與點C在直線的同側(cè)時，如圖，
，
，
將沿翻折，點落在點處，
∴，
，
，
，
，
綜上所述，的度數(shù)為或，
故選：C．
8．A
解：∵點，，分別是邊長為2的等邊三邊的中點，
∴，
第一次移動到點，
第二次移動到點，
第三次移動到點，
第四次移動到點，
第五次移動到點，
第六次移動到點，
第七次移動到點，
第八次移動到點，
第九次移動到點，
第十次移動到點，
，
每9次一循環(huán)，
，
第2025次移動后動點的位置是點．
故選：A．
9．B
解：由折疊的性質(zhì)得，，，即，
在中，，
，
，
，
，
，故①錯誤；
由折疊的性質(zhì)得，，，，
，
，
在和中，
，
，
圖中有4對全等三角形，故②正確；
，，
，
由折疊的性質(zhì)得，，
，
，
若將沿折疊，則點一定落在邊上，故③正確；
，，
是等腰直角三角形，
，
由折疊的性質(zhì)得，，
，
，
，
，故④正確；
綜上所述，其中正確的有②③④，共3個．
故選：B．
10．D
解：∵第1組為，，記；
第2組為，，，記；
第3組為，，，，，記；
∴，故③正確；
∴，
，
∴，故④正確；
∵，，
∴，故⑤ 錯誤；
∵第1組有2個，第2組有（個），第3組有（個），第4組有（個），第5組有（個），第6組有（個），…，
∴第2組比第1組多，第3組比第2組多，第4組比第3組多，…，
∴第10組比第9組多（個）分式，故①正確，②錯誤；
故選D．
11．
解：若分式的值為0，
則且，
解得或且，，
，
故答案為：．
12．
解：∵點和點關(guān)于x軸對稱，
∴，，
故答案為：．
13．五/5
解：設(shè)內(nèi)角為，則外角為，由題意得：
，
解得：，
則，
，
∴這個正多邊形為五邊形．
故答案為：五．
14．/度
解：設(shè)等腰三角形的底角為，由題可得：腰上的高與另一腰的夾角也為，
∵等腰三角形兩底角相等，可分為兩種情況：
①銳角三角形：
由圖可知，此時不滿足題意，故舍去；
②鈍角三角形：
由圖可得：，，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
15．
解：
，
∵結(jié)果中不含項和項，
∴，．
∴，，
∴．
故答案為：．
16．6
解：在中，，，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的周長為6．
故答案為：6．
17．55
解：不等式的解集為，
關(guān)于x的不等式的解集為，
∵關(guān)于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，
∴，
解得，
將關(guān)于y的分式方程的兩邊都乘以得，
，
解得，
由于分式方程的解為非負(fù)數(shù)，
∴，
解得，
由于分式方程的增根為，
∴，
因此，
綜上所述，且，
所以所有滿足條件的整數(shù)a值之和55．
故答案為：55．
18． 39 936
解：由題意可得：
當(dāng)時，，不是“祥和數(shù)”，
當(dāng)時，，不是“祥和數(shù)”，
當(dāng)時，，不是“祥和數(shù)”，
當(dāng)時，，不是“祥和數(shù)”，
當(dāng)時，，不是“祥和數(shù)”，
當(dāng)時，，是“祥和數(shù)”，
的最小值為；
整數(shù)（，且為整數(shù)）是“祥和數(shù)”，
，
是的倍數(shù)，
，
，
（，，且，均為整數(shù)）是“祥和數(shù)”，
，
是的倍數(shù)，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
或或或，
或或或，
的最大值為；
故答案為：，．
19．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)見詳解
(2)①角平分線的性質(zhì)定理，②，③，④對頂角相等
（1）解：如圖所示：
（2）證明：∵，∴，由（1）得，
∵平分，∴（角平分線的性質(zhì)定理），
在和中，∵，，
∴（），
∴，
又∵（對頂角相等），且，，
∴，
∴．
21．(1)見解析
(2)見解析
（1）證明：在與中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：由已知得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
22．(1)購進(jìn)A、B兩種型號相紙單價分別是45、58元
(2)30盒
（1）解：設(shè)型號相紙的單價是元，則型號相紙的單價是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
（元．
答：型號相紙的單價是45元，型號相紙的單價是58元；
（2）解：設(shè)購進(jìn)型號相紙盒，則購進(jìn)型號相紙盒，
根據(jù)題意得：，
解得：，
的最大值為30．
答：最多購進(jìn)型號相紙30盒．
23．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：
．
當(dāng)時，原式
若使計算代數(shù)式的值與字母的取值無關(guān)，
，
解得：．
當(dāng)時，
原式．
24．(1)見解析
(2)見解析
（1）解：證明如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）解：證明如下：
過點作，與的延長線交于點，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∵點為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)見解析，
(2)①；②34
（1）解：方法一，大正方形面積為；
方法二，；
①②小正方形面積分別為，，
③④部分的面積都為，
∴，
∴；
（2）①由已知得，
設(shè)，，
則有，，
∴，
∴
②設(shè)正方形、的邊長分別為，，
由題意，
∵，，，，
由正方形得，即，
由（1）得，
∴．
26．(1)
(2)見解析
(3)
（1）解：如圖，∵等邊的于點，將沿所在直線翻折至處，并使得于點，
∴平分，
∴，，
∴；
（2）證明：如圖，過點作交于點，
則，，，
在與中，
∵，
∴，
在中，，
∴，且，，
∴，
∴，，
在與中，
∵，，，
∴，
∴，而，
∴．
（3）解：如圖，過點作，在上截取，
得，連接，，
在與中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而的最小值，即點在上，
點是與的交點，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由得，，
即平分，
∴點關(guān)于的對稱點落在線段上，
而要使取得最小值，點必是與的交點，
∴點只能取點，
∴．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
C
A
B
D

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