1．2024年9月9日，工業(yè)和信息化部宣布中國(guó)首臺(tái)氟化氬光刻機(jī)，實(shí)現(xiàn)套刻技術(shù)，標(biāo)志著我國(guó)在高端芯片制造領(lǐng)域取得了關(guān)鍵性進(jìn)展．已知8納米米，0.000000008用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．B．C．D．
2．要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．6，7，8C．9，40，45D．
5．估計(jì)的值在（ ）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
6．如圖，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，以原點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如圖，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是，分別以為邊向外作正方形和正方形．若長(zhǎng)方形的面積是，則正方形和的面積之和為（ ）

A．B．C．D．
9．如圖，在四邊形中，，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且．若，則一定等于（ ）
A．B．C．D．
10．世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出“二進(jìn)制”記數(shù)法的人，用“二進(jìn)制”記數(shù)只需數(shù)字0和1．對(duì)于“二進(jìn)制”整數(shù)可理解為“逢二進(jìn)一”．例如：十進(jìn)制數(shù)，則十進(jìn)制數(shù)3在二進(jìn)制中表示為；十進(jìn)制數(shù)，則十進(jìn)制數(shù)5在二進(jìn)制中表示為．若（n為正整數(shù)），則n表示的二進(jìn)制數(shù)為，其中，或1（）．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為10；②十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為；③計(jì)算：
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
二、填空題（本大題共8小題）
11．計(jì)算： ．
12．分解因式： .
13．如圖所示，是一段樓梯，高是3米，斜邊長(zhǎng)是5米，如果在樓梯上鋪地毯，那么地毯至少需要 米．
14．已知a，b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果等于 ．
15．若，則分式的值為 ．
16．如圖，，，，，，垂足為，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為 ．
17．若關(guān)于x的不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是 ．
18．一個(gè)四位正整數(shù)，將的千位數(shù)字和百位數(shù)字分別作為兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，將的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別作為兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，規(guī)定，當(dāng)能被6整除時(shí)，被稱為“順心數(shù)”．例如：，則，，，因?yàn)槟鼙徽允恰绊樞臄?shù)”．最小的“順心數(shù)”為 ；若“順心數(shù)”（其中，，，，，均為整數(shù)），且的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和等于它千位數(shù)字的倍，則的最大值為 ．
三、解答題（本大題共9小題）
19．計(jì)算：
(1)；
(2)．
20．計(jì)算：
(1)；
(2)．
21．解方程：
(1)
(2)
22．先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從2，0，，4中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．
23．如圖，四邊形，連接
(1)用直尺和圓規(guī)過A點(diǎn)作的垂線，交與E，交于F．
(2)若平分，求證：．
24．如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪，公園管理處計(jì)劃修一條A到的小路，經(jīng)測(cè)量，，，，，．

(1)求小路的長(zhǎng)；
(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點(diǎn)處，小狗從點(diǎn)開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到點(diǎn)A時(shí)停止奔跑，當(dāng)小狗在小路上奔跑時(shí)，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？
25．某文創(chuàng)店，最近一款印有“保衛(wèi)里”的書簽銷售火爆．該店第一次用1000元購(gòu)進(jìn)這款書簽，很快售完，又花1600元第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽，已知每個(gè)書簽第二次購(gòu)進(jìn)的成本比第一次便宜了1元，且第二次購(gòu)進(jìn)的數(shù)量是第一次的2倍．
(1)求該店兩次購(gòu)進(jìn)這款書簽各多少個(gè)？
(2)第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽后仍按第一次的售價(jià)銷售，在銷售了第二次購(gòu)進(jìn)數(shù)量的后，由于天氣的影響，游客量減少，該店決定將剩下的書簽打五折銷售并很快全部售完，若要使兩次購(gòu)進(jìn)的書簽銷售完后的總利潤(rùn)不低于1880元，則第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)至少為多少元？
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，C0,6，給出如下定義：若P為內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，且AP與的一條邊相等，則稱P為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

(1)在，，中，的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是______；
(2)如圖2，若P為內(nèi)一點(diǎn)，且P為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求；
(3)直線l為過點(diǎn)，且與x軸平行的直線，若直線l上存在的三個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．
27．在中，，以為邊作，，，與交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，若，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，若點(diǎn)H為的中點(diǎn)，證明：；
(3)如圖3．若，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，取的中點(diǎn)G，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的面積．
參考答案
1．【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)數(shù)，表示時(shí)要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故此題答案為B．
2．【答案】D
【分析】由題意得，，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：由題意得，，
解得，，
故此題答案為D．
3．【答案】D
【分析】根據(jù)整式的加減，同底數(shù)冪的乘法逐一判斷即可．
【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、與不是同類項(xiàng)，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算正確，符合題意；
故此題答案為D．
4．【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)D符合題意；
故此題答案為D．
5．【答案】A
【分析】先整理原式，因?yàn)椋瑒t，故，即可作答．
【詳解】解：，
∵，且，
∴，
∴，
故此題答案為A．
6．【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)到原點(diǎn)距離，再根據(jù)點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，即可求解．
【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
∵點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)表示的數(shù)是，
故此題答案為B ．
7．【答案】C
【分析】由條件可得，從而可得，再解方程組即可．
【詳解】解：，
，
，
解得：，
，
故此題答案為C．
8．【答案】C
【分析】用矩形的長(zhǎng)和寬分別表示矩形的周長(zhǎng)和面積，正方形的面積和，從而運(yùn)用完全平方公式的變形計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)，
∵長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是，長(zhǎng)方形的面積是，
∴，，
∴，
故此題答案為C．
9．【答案】A
【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、，則，因?yàn)?，，所以，，而，即可證明，得，，再推導(dǎo)出，進(jìn)而證明，得，則，于是得到問題的答案．
【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、，

則，
，，
，，
在和中，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故此題答案為A．
10．【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：①二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為：，故①正確；
②，則十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為，故②正確；
③．故③錯(cuò)誤；
①②正確，共2個(gè)，
故此題答案為B．
11．【答案】
【詳解】解：
12．【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
【詳解】．
13．【答案】7
【分析】利用平移的性質(zhì)知，當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得，然后求得地毯的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：∵是直角三角形，米，米，
∴米，
∴如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為米．
14．【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷、、與0的大小關(guān)系，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】
解：由數(shù)軸可知：，，，
∴
．
15．【答案】
【分析】已知等式整理得到關(guān)系式，代入原式計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：等式整理得：，即，
則．
16．【答案】75//
【分析】首先根據(jù)折疊可得，，利用等面積法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解．
【詳解】解：在中，，，，
，
，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，
，
在中，，
，
，
，
17．【答案】
【分析】不等式組整理后，根據(jù)至少有兩個(gè)整數(shù)解，確定出的范圍，再由分式方程解為整數(shù)，確定出滿足題意整數(shù)的值，求出之和即可．
【詳解】解：∵不等式組
∴整理得：，
不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，
，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程解為整數(shù)，
∴，
即，
∴，
∵，且為整數(shù)，且為整數(shù)，
∴或或，或，
（舍去）或1或或（舍去）
．
18．【答案】 1014
【分析】找到的千位，百位，十位，個(gè)位數(shù)字分別是誰(shuí)，正確理解順心數(shù)的定義．為了使最小，千位數(shù)最小為1，百位數(shù)最小為0，十位是，即，然后找出個(gè)數(shù)數(shù)字；由題意可知，的千位數(shù)字是，百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，各位數(shù)字是，那么有，因?yàn)槭琼樞臄?shù)，是的倍數(shù)，即是的倍數(shù)，所以推出，是2的倍數(shù)，因?yàn)椋瑸榱舜笠恍?，那么取，從而得出的最大值?br>【詳解】①是一個(gè)正四位數(shù)，為了使最小
千位數(shù)最小為1，百位數(shù)最小為0，即，
為了使最小，能被6整除，且為兩位數(shù)，
當(dāng)?shù)氖粩?shù)為1，個(gè)位數(shù)取0時(shí)，，不能被6整除，
當(dāng)?shù)氖粩?shù)為1，個(gè)位數(shù)取1時(shí)，，不能被6整除，
當(dāng)?shù)氖粩?shù)為1，個(gè)位數(shù)取2時(shí)，，不能被6整除，
當(dāng)?shù)氖粩?shù)為1，個(gè)位數(shù)取3時(shí)，，不能被6整除，
當(dāng)?shù)氖粩?shù)為1，個(gè)位數(shù)取4時(shí)，，能被6整除，
最小的“順心數(shù)”為1014，
故答案為：1014．
②（其中，，，，，均為整數(shù)），
由題意可知，的千位數(shù)字是，百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是
的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和等于它千位數(shù)字的倍，
即
是順心數(shù)
是的倍數(shù)
即是的倍數(shù)
是的倍數(shù)，且，，，，均為整數(shù)
必須是，可以是，，，
，
為了使最大，要越大越好，那么越小越好

當(dāng)，時(shí)，
，滿足
此時(shí)，，，
，是的倍數(shù)，所以是順心數(shù)；
故的最大值是
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式進(jìn)行展開再合并同類項(xiàng)，即可作答．
（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)，再運(yùn)算除法，即可作答．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先運(yùn)算分式的乘方，再利用分式的乘除法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先把除法化為乘法，再算乘法，最后算減法即可．
【詳解】（1）解：

；
（2）解：
．
21．【答案】(1)
(2)原分式方程無(wú)解
【分析】（1）先去分母化為一元一次方程，再解方程并檢驗(yàn)即可；
（2）先去分母化為一元一次方程，再解方程并檢驗(yàn)即可．
【詳解】（1）解：原分式方程整理得，，
去分母得，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，原分式方程的解為．
（2）解：原分式方程整理得，，
去分母得，，
，
經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的增根，原分式方程無(wú)解．
22．【答案】
【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則，先化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件，的值只能取4，代入求值即可．本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，取合適的數(shù)代入求值時(shí)，要特注意原式及化簡(jiǎn)過程中的每一步都有意義．
【詳解】解：
．
∵，，
∴，，
依題意，把代入，
得．
23．【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到的距離為半徑畫弧，與交于M、N兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線，則即為的垂線；
（2）根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）解：以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到的距離為半徑畫弧，與交于M、N兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線，則即為所求作的垂線，如圖所示：
（2）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】(1)；
(2)當(dāng)小狗在小路上奔跑時(shí)，小狗需要跑秒與淇淇的距離最近．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴在中，，
∴小路的長(zhǎng)為；
（2）解：如圖所示，過B作，

依題意，當(dāng)小狗在小路上奔跑，且跑到點(diǎn)的位置時(shí)，小狗與淇淇的距離最近．
∵，，，
∴，
即，
∴，
則，
∴，
∴
∵小狗從點(diǎn)開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到點(diǎn)A時(shí)停止奔跑，
∴，
則，
當(dāng)小狗在小路上奔跑時(shí)，小狗需要跑秒與淇淇的距離最近．
25．【答案】(1)該商店第一次購(gòu)進(jìn)這款書簽200個(gè)，第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽400個(gè)；
(2)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)至少為8元
【分析】（1）設(shè)該商店第一次購(gòu)進(jìn)這款書簽x個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽個(gè)，由題意：每個(gè)書簽第二次購(gòu)進(jìn)的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)為m元，由題意：要使兩次購(gòu)進(jìn)的書簽銷售完后的總利潤(rùn)不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)該商店第一次購(gòu)進(jìn)這款書簽x個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽個(gè)，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：該商店第一次購(gòu)進(jìn)這款書簽200個(gè)，第二次購(gòu)進(jìn)這款書簽400個(gè)．
（2）設(shè)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)為m元，
由題意得：
解得：，
答：第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)至少為8元．
26．【答案】(1)，；
(2)30，
(3)
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和坐標(biāo)得出，，，進(jìn)而通過證明和勾股定理列式計(jì)算，且結(jié)合“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”進(jìn)行解答即可；
（2）設(shè)，得，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答即可；
（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的概念分三種情況①②③解答即可．
【詳解】（1）解：，，，
，，
連接，，如圖1，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，
，
點(diǎn)是△的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
連接，，，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線段，，如圖2，

則，，
，
在與中，
，
∴
，
點(diǎn)是△的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
連接，，，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線段，，如圖3，

則，，，
，，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
點(diǎn)不是△的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
綜上所述，△的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是，，
（2）證明：為△的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
，
，
在和中，，
，
，
設(shè)，
，，
，
，
．
（3）解：由題意知，的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，滿足或或，
若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
即軸上；
若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上；
若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧上，
設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，如圖4，

由圖可知，當(dāng)直線在過點(diǎn)且平行于軸的直線與軸之間時(shí)，直線存在的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
直線為過點(diǎn)且與軸平行的直線，若直線上存在的三個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則的取值范圍是．
27．【答案】(1)4
(2)見詳解
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，證是等邊三角形，利用特殊角三角函數(shù)求出邊即可；
（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)證明，，利用等式的性質(zhì)證明即可；
（3）如圖3，取中點(diǎn)，連接，，，，由“”可證，可得，，由三角形的三邊關(guān)系可得，則當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最大值，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作，垂足為，

，，
，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
設(shè)，則，
，
即，
解得，
，
，
，
是等邊三角形，
；
（2）解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∵
，，
又，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
，
，
；
（3）解：，，
，，
，，
∴,
點(diǎn)在線段上，
，，
，，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，，，
如圖3，取中點(diǎn)，連接，，，，

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
是等邊三角形，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最大值，
此時(shí)，如圖4，
，
，
．

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