注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)的公比為，則，從而，
則，
故選：D.
2．“數(shù)列 為等差數(shù)列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】如果數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的擴(kuò)展可得一定有，
反之成立，不一定有數(shù)列是等差數(shù)列.
故選：A.
3．已知，均為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前9項和為（ ）
A．45B．50C．54D．60
【答案】C
【解析】因，均為等差數(shù)列，且，，可得的公差為，
則，
而的前9項和為
.
故選：C.
4．若數(shù)列相鄰兩項的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱是“鄰和等差數(shù)列”.例如，數(shù)列1，2，4，5，7，8，10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列是“鄰和等差數(shù)列”，是其前項和，且，，，則（ ）
A．39700B．39800C．39900D．40000
【答案】A
【解析】設(shè)，由，得，則，
故
．
故選：A
5．已知等比數(shù)列的前n項積為，若，則（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列的前n項積為，
則，所以.
故選：B．
6．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，記，則使得的最小正整數(shù)的值為（ ）
A．25B．26C．27D．28
【答案】C
【解析】由，所以，
所以或
又，所以0，又，所以，
所以，
則使得的最小正整數(shù)的值為27.
故選:C.
7．已知為數(shù)列的前項和，且，若對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】D
【解析】由，令，解得，
當(dāng)時，由得，即，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，
由，即恒成立，令，則，
而，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故，
所以，所以的最小值為.
故選：D.
8．已知數(shù)列滿足對任意正整數(shù)恒有，且，，則的前30項的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
令，，得，可得，
所以，得，
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故，，所以，
所以的前30項的和為.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由，，可得
，故A正確；B錯誤；
對于C，由上可知，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
則，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：AC.
10．已知等比數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，
所以，解得或，
所以或.
對于A選項，在等比數(shù)列中，，又，所以，所以A選項正確；
對于B選項，若，則數(shù)列遞增，，即，所以，所以B選項正確；
對于C選項，若，則數(shù)列遞減，，即，所以，所以C選項不正確；
對于D選項，若，則數(shù)列遞減，，又，
所以，所以D選項正確，
故選：ABD.
11．對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的，若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則數(shù)列是無界的
B．若，則數(shù)列是有界的
C．若，則數(shù)列是有界的
D．若，則數(shù)列是有界的
【答案】BCD
【解析】對于選項A：因為，所以，所以存在正數(shù)，
使得恒成立，所以數(shù)列是有界的，故A錯誤；
對于選項B：因為，所以，
所以
，
所以存在正數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列是有界的，故B正確；
對于選項C：因為，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；所以，
所以存在正數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列是有界的，故C正確；
對于選項D：因為，
所以，
又，所以，
所以存在正數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列是有界的，故D正確.
故選：BCD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知遞增的等比數(shù)列滿足，，則的前3項和 ．
【答案】21
【解析】因為是等比數(shù)列，
所以．又，
所以或（舍去），
則的公比，，
從而．
故答案為：21
13．歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個數(shù).知，其中，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則 .
【答案】
【解析】由題意可得，
則，
當(dāng)時，，
則.
故答案為：
14．設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得.給出如下4個結(jié)論：
①可能為等差數(shù)列；
②可能為等比數(shù)列；
③均能寫成的兩項之差；
④對任意，總存在，使得.
其中正確命題的序號是 .
【答案】①③
【解析】對于①，取等差數(shù)列，易驗證其滿足要求，①正確.
對于②，若為等比數(shù)列，設(shè)公比為，顯然不滿足要求，
考慮的情況，依題意，應(yīng)有，
即
，
兩式相除，得.
若，則取為奇數(shù)，那么，所以，
所以.
當(dāng)足夠大時，顯然不成立；
若，則，
因為，所以當(dāng)足夠大時，
可以使，故也不成立.從而知②錯誤；
對于選項③，取，則 ，所以，
當(dāng)時，，故③正確.
對于選項④， 取數(shù)列， 顯然不存在，使得，故④錯誤.
故答案為：①③
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，
得，∵是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，，
則，解得或（舍），又，所以，
解得，所以
（2），
所以
16．（15分）
已知數(shù)列的首項為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和為；
(3)求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為，，
若，則，與矛盾，
所以，所以，
所以，因為，所以，
所以數(shù)列是以首項為2，公差為4的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，
數(shù)列的前項和為.
（3）因為，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
因為，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù).
，
所以.
17．（15分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若，，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因為，，則由，
即，得 ，
解得 或，因為，故舍去，
所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令數(shù)列的前項和為，則，
即①，
②，
兩式相減得：
，
所以.
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為
由，，得，
則，即；
故

.
18．（17分）
已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的取值范圍；
(3)設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的數(shù)組；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為，所以，
當(dāng)時，，解得；
由，得，
所以，整理得，
所以，所以，
所以，所以，所以是等差數(shù)列，
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，
又，所以是遞增數(shù)列.
當(dāng)時，若對任意的恒成立，則；
當(dāng)時，若對任意的恒成立，則，即，
所以的取值范圍是.
（3）由（1）知，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，
則，即，其中，故，即.
設(shè)，則，
故數(shù)列為遞減數(shù)列，而，故的正整數(shù)解為，
此時，故即，由的單調(diào)性可得，
所以符合條件的數(shù)組為2,3.
19．（17分）
集合為集合的子集，若數(shù)列滿足：恒為的倍數(shù)，則稱與“相關(guān)”.
(1)若，請寫出一個不同于數(shù)列且首項為1的等差數(shù)列，使得與“相關(guān)”.（無需證明）;
(2)若數(shù)列滿足：.
（i）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出;
（ii）若與"相關(guān)"，求所有滿足條件的集合.
【解析】（1），（滿足要求即可）
（2）（?。?br>是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，
即．
兩邊同除以，有．而．
因此是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．
（ⅱ）當(dāng)時，不是9的倍數(shù)
當(dāng)時，
故只需為整數(shù)．
①時，，不是整數(shù)．
②時，，不是整數(shù)．
③時，．
而．
當(dāng)為偶數(shù)，，即．
此時．
當(dāng)為奇數(shù)，．
綜上，滿足條件集合是的子集．

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