一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合A=xx2?60)的各條切線作垂線，垂足對(duì)應(yīng)的軌跡曲線C如下圖所示，若k=2，點(diǎn)Px,y(xy>0)在曲線C上，則( )
A. C的方程為x2+y22=4xyB. 曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱
C. 點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為2D. 若OP的斜率為2，則OP=4 55
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.曲線fx=xcsx在0,0處的切線被圓C:x?12+x+12=5截得的弦長為 ．
13.已知P是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，M在y軸的正半軸上，連接PM，并延長與x軸交于點(diǎn)N，且M恰好為PN的中點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接QM，設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，若ak1+bk2=0，則橢圓E的離心率為 ．
14.2024年6月中專生姜萍以93分全球第12名的成績?nèi)雵驍?shù)學(xué)競(jìng)賽決賽，成為社交媒體上的熱門話題，也使數(shù)學(xué)競(jìng)賽成為各大高校關(guān)注的焦點(diǎn)．某高校借此熱度在數(shù)學(xué)系舉行了模擬數(shù)學(xué)競(jìng)賽，經(jīng)過選拔之后組織了甲、乙兩個(gè)競(jìng)賽隊(duì)進(jìn)行冠亞軍爭奪賽．比賽時(shí)，主持人先展示出一道題目，再從標(biāo)有1，2，3，4的四張卡片中隨機(jī)抽取一張，若數(shù)字為奇數(shù)，則由甲隊(duì)答題，若數(shù)字為偶數(shù)，則由乙隊(duì)答題，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，若答對(duì)本題，則本隊(duì)得10分，否則對(duì)手得10分．按照這種方式依次進(jìn)行下一題的答題，直到其中一個(gè)隊(duì)的得分超過另一個(gè)隊(duì)30分，比賽結(jié)束，分高者為冠軍．已知甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為59、49，且互不影響，前3道題，甲隊(duì)獲得20分的概率為 ，若第一個(gè)問題甲隊(duì)得10分，恰好回答完第7道題后決出冠軍，則乙隊(duì)獲得冠軍的概率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinB+csC=0，且c= 3b．
(1)求C；
(2)若a=2，記∠BAC的角平分線與BC交于點(diǎn)D，求AD．
16.(本小題12分)
如圖，在三棱錐P?ABC中，O為AC的中點(diǎn)，D在線段PC上．已知PA=PC,AB=BC=2，∠ABC=120 °,PO=3,PB= 10．
(1)求證：平面POB⊥平面ABC；
(2)是否存在點(diǎn)D，使二面角D?AB?C的正切值為2 35？若存在，求出PD的長；否則，請(qǐng)說明理由．
17.(本小題12分)
已知函數(shù)fx=mx2+2lnx+1+5m∈R.
(1)若m=?2，求證：fx0,b>0)的離心率為 2，且E上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為 2?1．
(1)求E的方程；
(2)過直線x= 22上一點(diǎn)P，作雙曲線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接AB．
(i)求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(ⅱ)已知點(diǎn)P在第一象限，A，B分別在第一、四象限，若?PAB的面積為5 306，求直線AB的方程．
19.(本小題12分)
若對(duì)?n∈N?，都有an?bn≤kk∈N?，則稱an與bn為“k級(jí)相鄰數(shù)列”．
(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和Sn=1?12n,b1=1，且bn+1?bn=an，試判斷an與bn是否為“2級(jí)相鄰數(shù)列”，并說明理由；
(2)若an=2n,bn=4n+n2n+k，且為“4級(jí)相鄰數(shù)列”，求k的取值范圍；
(3)已知ai,bi∈1,2,3,4i=1,2,3,4，由數(shù)列an的所有項(xiàng)組成的集合M中恰好有2個(gè)元素，若an與bn為“1級(jí)相鄰數(shù)列”，求滿足條件的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)．
參考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.AC
11.BCD
12.2 3
13.2 23/23 2
14.100243 ；256881
15.(1)因?yàn)閏= 3b，由正弦定理可得：sinC= 3sinB，又sinB+csC=0，
所以sinC=? 3csC，所以tanC=? 3，
又因?yàn)?0)，則1?2t2=2?5u2，
代入(?)可得：u32?5u2=1 3，即 3u3+5u2?2=0， 3u3+5 3u2?6=0，
再設(shè) 3u=v，則得v?1v2+6v+6=0
解得v=1，(負(fù)值舍去)，則u=1 3，所以2t2+1=53，
解得t= 33，所以直線AB的方程為 3x? 2y? 6=0．

19.(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1?12=12，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=1?12n?1?12n?1=12n，
當(dāng)n=1時(shí)，也a1=12成立，所以an=12n，
所以bn+1?bn=12n，
所以bn=b1+b2?b1+b3?b2+?+bn?bn?1=1+12+122+?+12n?1=2?12n?1，
所以an?bn=12n?2?12n?1=2?32n≤2，
所以an與bn是“2級(jí)相鄰數(shù)列”
(2)由an=2n,bn=4n+n2n+k，
所以an?bn=4n+n2n+k?2n=n2n+k，
又an與bn為“4級(jí)相鄰數(shù)列”，所以n2n+k≤4，得?4≤n2n+k≤4，又n∈N?
令fn=n2n，得fn+1?fn=n+12n+1?n2n=n+122n?n2n=1?n2n+1≤0，
所以fn=n2n單調(diào)遞減，所以fn=n2n的最大值為12，且fn>0，
所以12+k≤4k≥?4∴?4≤k≤72,
(3)因?yàn)閍n與bn為“1級(jí)相鄰數(shù)列”，所以ai?bi≤1i=1,2,3,4
當(dāng)ai=1時(shí)，bi∈1,2有2種不同選擇；ai=2時(shí)，bi∈1,2,3有3種不同選擇；ai=3時(shí)，bi∈2,3,4有3種不同選擇，ai=4時(shí)，bi∈3,4有2中不同選擇．
由數(shù)列an的所有項(xiàng)組成的集合M中恰好有2個(gè)元素，所以M有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6種不同的情況．
當(dāng)M={1,2}時(shí)，數(shù)列an可能是1個(gè)1、3個(gè)2的排列(有4種不同的排列)；也可能是2個(gè)1、2個(gè)2的排列(有C42=6種不同的排列)；還可能是3個(gè)1、1個(gè)2的排列(有4種不同的排列)．
1個(gè)1、3個(gè)2的每一種排列，2個(gè)1、2個(gè)2的每一種排列，3個(gè)1、1個(gè)2的每一種排列對(duì)應(yīng)的數(shù)列bn分別有2×33=54,22×32=36,23×3=24種不同的清況，貢獻(xiàn)4×24+6×36+4×54=528個(gè)不同的數(shù)列bn；
同樣M=3,4,1,3,2,4時(shí)也各貢獻(xiàn)528個(gè)不同的數(shù)列bn；
M=2,3時(shí)也分是1個(gè)2、3個(gè)3的排列(有4種不同的排列)；也可能是2個(gè)2、2個(gè)3的排列(有C42=6種不同的排列)；還可能是3個(gè)2、1個(gè)3的排列(有4種不同的排列)，貢獻(xiàn)4+6+4×22×32=14×36=504個(gè)不同的數(shù)列bn；
M=1,4時(shí)貢獻(xiàn)4+6+4×24=14×16=224個(gè)不同的數(shù)列bn；
共計(jì)有4×528+504+224=2840個(gè)不同的數(shù)列bn；
即滿足條件的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)為2840．

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