一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合A={x|x2?60)的各條切線作垂線，垂足對應(yīng)的軌跡曲線C如圖所示，若k=2，點P(x,y)(xy>0)在曲線C上，則( )
A. C的方程為(x2+y2)2=4xy
B. 曲線C關(guān)于直線y=x對稱
C. 點P到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為2
D. 若OP的斜率為2，則|OP|=4 55
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.曲線f(x)=xcsx在(0,0)處的切線被圓C：(x?1)2+(x+1)2=5截得的弦長為______．
13.已知P是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限內(nèi)的點，M在y軸的正半軸上，連接PM，并延長與x軸交于點N，且M恰好為PN的中點，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，連接QM，設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，若ak1+bk2=0，則橢圓E的離心率為______．
14.2024年6月中專生姜萍以93分全球第12名的成績?nèi)雵驍?shù)學(xué)競賽決賽，成為社交媒體上的熱門話題，也使數(shù)學(xué)競賽成為各大高校關(guān)注的焦點.某高校借此熱度在數(shù)學(xué)系舉行了模擬數(shù)學(xué)競賽，經(jīng)過選拔之后組織了甲、乙兩個競賽隊進(jìn)行冠亞軍爭奪賽.比賽時，主持人先展示出一道題目，再從標(biāo)有1，2，3，4的四張卡片中隨機(jī)抽取一張，若數(shù)字為奇數(shù)，則由甲隊答題，若數(shù)字為偶數(shù)，則由乙隊答題，在規(guī)定時間內(nèi)，若答對本題，則本隊得10分，否則對手得10分.按照這種方式依次進(jìn)行下一題的答題，直到其中一個隊的得分超過另一個隊30分，比賽結(jié)束，分高者為冠軍.已知甲、乙答對每道題的概率分別為59,49，且互不影響.前3道題，甲隊獲得20分的概率為______，若第一個問題甲隊得10分，恰好回答完第7道題后決出冠軍，則乙隊獲得冠軍的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB+csC=0，且c= 3b．
(1)求C；
(2)若a=2，記∠BAC的角平分線與BC交于點D，求AD．
16.(本小題15分)
如圖，在三棱錐P?ABC中，O為AC的中點，D在線段PC上.已知PA=PC，AB=BC=2，∠ABC=120°，PO=3,PB= 10．
(1)求證：平面POB⊥平面ABC；
(2)是否存在點D，使二面角D?AB?C的正切值為2 35？若存在，求出PD的長；否則，請說明理由．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=mx2+2ln(x+1)+5(m∈R)．
(1)若m=?2，求證：f(x)0,b>0)的離心率為 2，且E上的點到焦點距離的最小值為 2?1．
(1)求E的方程；
(2)過直線x= 22上一點P，作雙曲線E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB．
(i)求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標(biāo)；
(ii)已知點P在第一象限，A，B分別在第一、四象限，若△PAB的面積為5 306，求直線AB的方程．
19.(本小題17分)
若對?n∈N?，都有|an?bn|≤k(k∈N?)，則稱{an}與{bn}為“k級相鄰數(shù)列”．
(1)設(shè){an}的前n項和Sn=1?12n，b1=1，且bn+1?bn=an，試判斷{an}與{bn}是否為“2級相鄰數(shù)列”，并說明理由；
(2)若an=2n，bn=4n+n2n+k，且{an}與{bn}為“4級相鄰數(shù)列”，求k的取值范圍；
(3)已知ai，bi∈{1,2,3,4}(i=1，2，3，4)，由數(shù)列{an}的所有項組成的集合M中恰好有2個元素，若{an}與{bn}為“1級相鄰數(shù)列”，求滿足條件的數(shù)列{bn}的個數(shù)．
參考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.AC
11.BCD
12.2 3
13.2 23
14.100243 256881
15.解：(1)∵c= 3b，由正弦定理可得sinC= 3sinB，又sinB+csC=0，
∴sinC=? 3csC，∴tanC=? 3，
又∵00)，則1?2t2=2?5u2，
代入(?)可得：u32?5u2=1 3，即 3u3+5u2?2=0，( 3u)3+5( 3u)2?6=0，
再設(shè) 3u=v，則得(v?1)(v2+6v+6)=0，
解得v=1，(負(fù)值舍去)，則u=1 3，所以2t2+1=53，
解得t= 33，所以直線AB的方程為 3x? 2y? 6=0．
19.解：(1)設(shè){an}的前n項和Sn=1?12n，
當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=(1?12n)?(1?12n?1)=12n，
當(dāng)n=1時，a1=S1=1?12=12，
所以an=12n；
由b1=1，且bn+1?bn=an，
所以bn+1?bn=12n，
所以bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)+?+(bn?bn?1)=1+12+122+?+12n?1=2?12n?1，
所以|an?bn|=|12n?(2?12n?1)|=|2?32n|≤2，
由“k級相鄰數(shù)列”的定義：若對?n∈N?，都有|an?bn|≤k(k∈N?)，
則稱{an}與{bn}為“k級相鄰數(shù)列”，
所以{an}與{bn}是“2級相鄰數(shù)列”
(2)由an=2n,bn=4n+n2n+k，
所以|an?bn|=|4n+n2n+k?2n|=|n2n+k|，
又{an}與{bn}為“4級相鄰數(shù)列”，結(jié)合“k級相鄰數(shù)列”的定義，
所以|n2n+k|≤4，得?4≤n2n+k≤4，又n∈N?，
令f(n)=n2n，得f(n+1)?f(n)=n+12n+1?n2n=n+122n?n2n=1?n2n+1≤0，
所以f(n)=n2n單調(diào)遞減，所以f(n)=n2n的最大值為12，且f(n)>0，
所以12+k≤4，且k≥?4，可得?4≤k≤72，即k的取值范圍是[?4,72]；
(3)已知ai，bi∈{1,2,3,4}(i=1，2，3，4)，
由數(shù)列{an}的所有項組成的集合M中恰好有2個元素，若{an}與{bn}為“1級相鄰數(shù)列”，
因為{an}與{bn}為“1級相鄰數(shù)列”，所以|ai?bi|≤1(i=1,2,3,4)
當(dāng)ai=1時，bi∈{1,2}有2種不同選擇；ai=2時，bi∈{1,2,3}有3種不同選擇；
ai=3時，bi∈{2,3,4}有3種不同選擇，ai=4時，bi∈{3,4}有2中不同選擇．
由數(shù)列{an}的所有項組成的集合M中恰好有2個元素，
所以M有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6種不同的情況．
當(dāng)M={1,2}時，數(shù)列{an}可能是1個1、3個2的排列(有4種不同的排列)；
也可能是2個1、2個2的排列(有C42=6種不同的排列)；
還可能是3個1、1個2的排列(有4種不同的排列)．
1個1、3個2的每一種排列，2個1、2個2的每一種排列，
3個1、1個2的每一種排列對應(yīng)的數(shù)列{bn}分別有2×33=54，22×32=36，23×3=24種不同的清況，
總共4×24+6×36+4×54=528個不同的數(shù)列{bn}；
同樣M={3,4}，{1,3}，{2,4}時也各貢獻(xiàn)528個不同的數(shù)列{bn}；
M={2,3}時也分是1個2、3個3的排列(有4種不同的排列)；
也可能是2個2、2個3的排列(有C42=6種不同的排列)；
還可能是3個2、1個3的排列(有4種不同的排列)，
總共(4+6+4)×22×32=14×36=504個不同的數(shù)列{bn}；
M={1,4}時，總共(4+6+4)×24=14×16=224個不同的數(shù)列{bn}；
共計有4×528+504+224=2840個不同的數(shù)列{bn}；
即滿足條件的數(shù)列{bn}的個數(shù)為2840．

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