一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．在正四棱錐中，，二面角大小為，則該四棱錐的體積為( )
A.4B.2C.D.
4．已知展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中的系數(shù)為( )
A.31B.30C.29D.28
5．賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能連著出場(chǎng)，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為( )
A.30B.36C.60D.72
6．函數(shù)（，，）的部分圖像如圖，圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到函數(shù)圖像若對(duì)任意的圖像都有，則圖中a的值為( )
A.B.C.D.
7．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，則使成立的n的最小值為( )
A.28B.29C.30D.31
8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓上一點(diǎn),且,若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上,則該橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法正確的是( )
A.一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)總和為60.
B.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23.
C.若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)是5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本的平均數(shù)不變，方差變大.
D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16.
10．已知直線和圓相交于M,N兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.直線l過(guò)定點(diǎn)
B.的最小值為
C.的最小值為
D.圓C上到直線l的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè),則
11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.4是的一個(gè)周期
C.D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
三、填空題
12．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.
13．已知函數(shù)，，若關(guān)于x的不等式有解，則m的最小值是__________.
四、雙空題
14．在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)設(shè)，，記，則__________；若，的面積為，則當(dāng)__________時(shí)，取最小值
五、解答題
15．某社區(qū)對(duì)安全衛(wèi)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，請(qǐng)居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)給出評(píng)價(jià)（問(wèn)卷中設(shè)置僅有滿意、不滿意）現(xiàn)隨機(jī)抽取了90名居民，調(diào)查情況如下表：
(1)利用分層抽樣的方法從對(duì)安全衛(wèi)生服務(wù)評(píng)價(jià)為不滿意的居民中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中男、女居民各有1人的概率；
(2)試通過(guò)計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的情況下認(rèn)為男居民與女居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？
附：，
16．如圖，在三棱柱中，平面平面，，D為的中點(diǎn)
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值
17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，，求的面積；
(2)若角C為鈍角，求的取值范圍
18．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與E的交點(diǎn)為A，B，且直線與傾斜角互補(bǔ)
(1)求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求k的值；
(3)若，求面積的最大值
19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).
(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若函數(shù)，.正項(xiàng)數(shù)列滿足：.
(i)討論單調(diào)性;
(ii)證明：；
(iii)證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：集合,
故.
故選:B
2．答案：B
解析：因?yàn)?
所以,
故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)第二象限.
故選：B.
3．答案：C
解析：如圖，設(shè)P在底面的射影為O，則O為底面正方形的中心
過(guò)O作于H,則H為CD中點(diǎn)
連接PH,則,
二面角的平面角為,
又底面正方形邊長(zhǎng)為2，
,
該正四椥雉的體積為.
故選:C
4．答案：C
解析：中令得,解得,
展開式通項(xiàng)公式為,,,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故展開式中的系數(shù)為.
故選:C
5．答案：C
解析：分兩種情況討論:
第一種:若第一個(gè)出場(chǎng)的是男生，則第二個(gè)出場(chǎng)的是女生
以后的順序任意排，此種情況有
(種)排法;
第二種:若第一個(gè)出場(chǎng)的是女生(不是女生甲)
則將剩余
的2個(gè)女生排列好，2個(gè)男生插空，此種情況有
(種)排法;
所以一共有(種)排法
故選：C
6．答案：A
解析：由,得,
由題意可得為奇函數(shù),
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),
所以,
所以,
故,
又,得,
所以,
可得.
故選:A
7．答案：B
解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式,
在其相鄰兩項(xiàng)之間插入個(gè),
得到新的數(shù)列,記的前n項(xiàng)和為,
可得數(shù)列中元素依次為
在到之間3的個(gè)數(shù)為
,
故到處共有35個(gè)元素,
所以前30項(xiàng)中含及26個(gè)3,
可得
而,
故成立的最小的n為29.
故選:B
8．答案：B
解析：設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為M,則P,,M三點(diǎn)共線,
設(shè),則,又,
所以為等邊三角形,
所以,
又,
所以,,
在中,由余弦定理可得：,
即,
所以,
所以.
故選：B.
9．答案：AD
解析：對(duì)于A,由方差的公式可知,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3,
這組樣本數(shù)據(jù)的總和為,A正確；
對(duì)于B,數(shù)據(jù)13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10個(gè)數(shù),
從小到大排列為12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,
由于，
故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)
即
所以第70百分位數(shù)是23.5,故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5,方差為2,
現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5,
設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為,方差為,
則，,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8,故數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為,故D正確；
故選:ABD.
10．答案：AC
解析：A選項(xiàng),根據(jù)題意變形為,
故直線過(guò)定點(diǎn),A正確;
B選項(xiàng),由題意可知,當(dāng)時(shí),圓心到直線l的距離最大,此時(shí)最小,
其中,
此時(shí),B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),的圓心為,半徑,
,
因?yàn)榈淖钚≈禐?1,所以的最小值為-9,C正確;
D選項(xiàng),,因?yàn)閳AC上到直線l的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè),
所以圓心到直線的距離,
即,解得,D錯(cuò)誤;
故選:AC.
11．答案：ABD
解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，
而，故，
故，
又為偶函數(shù)，
所以，
即，
所以，
故
即，
，
所以4是的周期，故B正確.
對(duì)A，由兩邊求導(dǎo)得，
令得，解得，A正確；
對(duì)C，由上知，所以，
所以，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，因?yàn)?，?br>故，
故的圖象關(guān)于對(duì)稱，
故選：ABD
12．答案：
解析：命題"，"為假命題,
其非命題:"，"為真命題
,解得.
實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為:.
13．答案：
解析：有解有解
有解,
令,則在上有解,
令,則,
在上是減函數(shù),
在上是增函數(shù)
當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
m的最小值是.
故答案為:.
14．答案：；2
解析：由題意得：
所以，
所以
由三角形面積公式得：,
所以,
因?yàn)?
所以
當(dāng)且僅當(dāng),即，時(shí),等號(hào)成立，
此時(shí)
故.
故答案為:；2
15．答案：(1)
(2)答案見解析
解析：(1)由已知，解得，
所以列聯(lián)表如下：
用分層抽樣抽取6人，則男居民應(yīng)抽取2人，女居民應(yīng)抽取4人，
所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率為；
(2)由，
所以在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下，
可以認(rèn)為男居民與女居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異
16．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)因?yàn)镈為的中點(diǎn)，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，
且平面平面，
所以平面，
又平面，則，
由，，得，
因?yàn)椋?br>所以由勾股定理，得，
又，，
，平面，
所以平面.
(2)如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
由，
令，得，所以.
由(1)知，平面，
所以平面的一個(gè)法向量為，
記平面與平面的夾角為
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因?yàn)椋?br>則有，
因，，則，
且，故.
由余弦定理，，
代入得，，
因，則有，即得，
故的面積.
(2)由正弦定理，
可得，且，
代入化簡(jiǎn)得：.
因C為鈍角，故由，
可得，
則，，即，
故的取值范圍是
18．答案：(1)
(2)-1
(3)
解析：(1)由題意可知，，所以，
所以拋物線的方程為，
即，則，
則拋物線在P點(diǎn)的切線斜率為，
則切線方程為，
故切線方程為.
(2)如圖所示：
設(shè)，，將直線l的方程代入，
得，
所以，，
因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
(3)由(1)(2)可知，，
所以，，
則，
因?yàn)椋?br>所以，即，
又點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
因?yàn)?br>，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積最大值為.
19．答案：(1)
(2)(i)答案見解析
(ii)證明見解析
(iii)證明見解析
解析：(1)正項(xiàng)數(shù)列中，，，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，
即，
而，則，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)(i)令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
(ii)因?yàn)椋矗?br>于是，
即，
即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
因此，
所以
(iii)由已知，
所以，得，
當(dāng)時(shí)，，
于是，
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，恒有，
當(dāng)時(shí)，，
由，得當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
從而
，
于是，
所以.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
男居民
女居民
合計(jì)
滿意
25
60
不滿意
a
2a
合計(jì)
90
男
女
合計(jì)
滿意
35
25
60
不滿意
10
20
30
合計(jì)
45
45
90

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