1.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1?3i，則z=( )
A. 5B. 10C. 5D. 10
2.設(shè)全集U=?2,?1,0,1,2,3，集合A=?1,2,B=x∣x2?3x=0，則?U(A∪B)=( )
A. 1,3B. 0,1,3C. ?2,1D. ?2,0,1
3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為π4，則該四棱臺(tái)的體積是( )
A. 76B. 7 26C. 7 23D. 7 22
4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a10=24，且a3=6，則S8=( )
A. 60B. 72C. 120D. 144
5.已知兩條不同的直線l，m，兩個(gè)不同的平面α，β，則下列條件能推出α//β的是( )
A. l?α，m?α，且l//β，m//βB. l?α，m?β，且l//m
C. l⊥α，m⊥β，且l//mD. l//α，m//β，且l//m
6.函數(shù)fx=ex+x?4,xa?b，則與的夾角為銳角
B. 已知，，為兩兩非共線向量，若a?b=a?c，則a⊥b?c
C. 在三角形ABC中，若a?csA=b?csB，則三角形ABC是等腰三角形
D. 若三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心
10.已知定義在R上的函數(shù)fx，gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f′x，g′x，f1?x=6?g′1?x，f1?x?g′1+x=6，且gx+2為奇函數(shù)，則( )
A. gx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱B. g′x+6=g′x
C. f′6=f′2D. f2021+f2023=12
11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F(xiàn)分別在線段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).現(xiàn)將△AEF沿EF折起，使二面角A?EF?C的大小為α(α∈(0,π)).以下命題正確的是( )
A. 若λ=12，α=π3，則點(diǎn)F到平面ABC的距離為 32
B. 存在λ使得四棱錐A?BCFE有外接球
C. 若λ=13，則三棱錐F?AEB體積的最大值為1681
D. 若α=π2，三棱錐A?BEF的外接球的半徑取得最小值時(shí)，λ=23
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D為B1B的中點(diǎn)，則異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為 ．
13.如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C、B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(45,?35)，∠AOC=α，若BC=1，則 3cs2α2?sinα2csα2? 32的值為 ．
14.曲線y=lnx在Ax1,y1，Bx2,y2兩點(diǎn)處的切線分別為l1，l2，且l1⊥l2，則x1x2= ；若l1，l2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，則x1x3+x2x3= ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知△ABC的面積為20 3，O為邊BC的中點(diǎn)，OA=5，OA?OB=20．
(1)求邊BC的長(zhǎng);
(2)求角C的正弦值．
16.(本小題15分)
如圖，三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2A1C1=4，M，N分別為棱AB，B1B的中點(diǎn)．
(1)證明：B1B⊥平面MCN;
(2)求直線C1C與平面MCN所成的角的正弦值．
17.(本小題15分)
已知數(shù)列an和bn滿足，a1=2，b1=1，an+1=2ann∈N?，b1+12b2+13b3+?+1nbn=bn+1?1n∈N?.
(1)求an與bn；
(2)記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且cn=1bnbn+2,n為奇數(shù)?1an,n為偶數(shù)，若對(duì)n∈N?，T2n≥k恒成立，求k的取值范圍．
18.(本小題17分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，且平面PBD⊥平面BEF．
(1)證明：PA=PC；
(2)若PB= 2PD，當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時(shí)，求平面PAB與平面BEF的夾角的余弦值．
19.(本小題17分)
設(shè)y=fx是定義域?yàn)镈且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若存在區(qū)間a,b?D和x0∈a,b，使得y=fx在a,x0上單調(diào)遞增，在x0,b上單調(diào)遞減，則稱y=fx為“山峰函數(shù)”，x0為“峰點(diǎn)”，a,b稱為y=fx的一個(gè)“峰值區(qū)間”．
(1)判斷gx=x2+csx是否是山峰函數(shù)？若是，請(qǐng)指出它的一個(gè)峰值區(qū)間；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)已知m>1，?x=m+2x?x2?mx是山峰函數(shù)，且0,1是它的一個(gè)峰值區(qū)間，求m的取值范圍；
(3)設(shè)n∈R，函數(shù)Ix=x3?2nx2+4n?4xlnx?13x3+nx2?4n?4x.設(shè)函數(shù)y=Ix是山峰函數(shù)，s,t是它的一個(gè)峰值區(qū)間，并記t?s的最大值為dn.若I23T2n，即{T2n}是遞增數(shù)列，
所以{T2n}中最小值為T(mén)2=13+112?13=112，
對(duì)n∈N?，T2n≥k恒成立，則k≤112．

18.解：(1)設(shè)AC∩BD=O，OP∩EF=Q，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BQ于H，
由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH?平面PBD，
故DH⊥平面BEF，由于EF?平面BEF，所以DH⊥EF；
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，因此EF/?/AC，因此DH⊥AC，
由底面ABCD為正方形可知AC⊥BD，由于DH∩BD=D，DH,BD?平面PBD，
因此AC⊥平面PBD，由于PO?平面PBD，故AC⊥PO，
因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，因此PA=PC；
(2)不妨設(shè)AB= 2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,0,0)，D(0,?1,0)，
由(1)可知，點(diǎn)P在yOz平面內(nèi)，設(shè)P(0,y0,z0)，由PB2=2PD2，
即y0?12+z02=2y0+12+2z02，即y0+32+z02=8，
當(dāng)P?ABCD的體積最大時(shí)，z0=2 2，
此時(shí)P(0,?3,2 2)，則E(12,?32, 2)，F(xiàn)(?12,?32, 2)，
則FE=(1,0,0)，BE=(12,?52, 2)，AB=(?1,1,0)．
設(shè)平面PAB的法向量為m=(a,b,c)，則m?AB=0m?BE=0，即?a+b=012a?52b+ 2c=0,
令a=1，則m=(1,1, 2)；
設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，則n?FE=0n?BE=0，即x=012x?52y+ 2z=0,
令z=5，則n=(0,2 2,5)；
則cs=m?n|m|?|n|=7 2 4? 33=7 6666，
即平面PAB與平面BEF的夾角的余弦值為：7 6666．

19.解：(1)由gx=x2+csx，求導(dǎo)可得g′x=2x?sinx，x∈R；
令px=2x?sinx，則有p′x=2?csx>0，所以px=g′x在R上單調(diào)遞增，
又g′0=0，所以當(dāng)x0，gx在0,+∞上單調(diào)遞增，
所以gx=x2+csx不是山峰函數(shù)．
(2)由題意可知：函數(shù)?x=m+2x?x2?mx在區(qū)間0,1上先增后減，且存在峰點(diǎn)，
由于?′x=m+2?2x?mx?lnm，
又當(dāng)m>1時(shí)，lnm>0，則?′x在0,1上單調(diào)遞減，
所以?′0=m+2?lnm>0?′1=m?mlnm1，所以q′m=1?1m>0，則qm在1,+∞上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)m>1時(shí)，qm>q1=3>0，即此時(shí)m+2?lnm>0恒成立：
由于當(dāng)m>1時(shí)，不等式m?mlnm1，即m>e，
故m的取值范圍是e,+∞．
(3)由題意得：I′x=3x2?4nx+4n?4lnx+x2?2nx+4n?4?x2+2nx?4n?4
=3x2?4nx+4n?4lnx．
若3x2?4nx+4n?4≥0恒成立，易知當(dāng)0

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