數(shù)學(xué)試題
一、單選題（每小題5分，共40分）
1. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定的減區(qū)間.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
的減區(qū)間是；
故選：A.
2. 已知圓心為的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，則該圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出圓的方程，令，得，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，得到圓的方程.
【詳解】由題意，可設(shè)圓的方程為，
令，得，
設(shè)，則，，
，
解得，
∴圓的方程是，即.
故選：C
3. 已知等比數(shù)列，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意是一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有，
而對(duì)于等比數(shù)列而言，，
從而
.
故選：C.
4. 據(jù)典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五音階音序，則“宮”和“角”之間恰好有一個(gè)音階的排法種數(shù)為（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】利用插空法和分步計(jì)數(shù)原理求解.
【詳解】先從“商、徵、羽”中選一個(gè)插在“宮”和“角”之間，有，
再作為一個(gè)整體和剩下的兩個(gè)音階排列，
所以共有種排法.
故選：D
5. 已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為，則的中點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由拋物線定義可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)橫坐標(biāo).
【詳解】由已知拋物線，
則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
又點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，
結(jié)合拋物線定義可知，
點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
則，
所以中點(diǎn)橫坐標(biāo)，
即中點(diǎn)到軸的距離為，
故選：A.
6. 在正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取線段中點(diǎn)，得出異面直線與所成角為，結(jié)合解三角形知識(shí)即可求解.
【詳解】
取線段中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，
所以異面直線與所成角為，
不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，
則，，
所以.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得其單調(diào)性，可得，再令，求導(dǎo)可得其最小值.
【詳解】，即，
構(gòu)造函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，此時(shí)，
令，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
綜上的最小值為.
故選：B.
8. 已知四點(diǎn)，，，，四邊形有內(nèi)切圓，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A. 圓的一部分B. 橢圓的一部分
C. 雙曲線的一部分D. 拋物線的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】由四邊形有內(nèi)切圓知，其對(duì)邊和相等，即，進(jìn)而得到，利用雙曲線的定義可以判斷點(diǎn)的軌跡.
【詳解】由四邊形有內(nèi)切圓知，其對(duì)邊和相等，即，又因?yàn)?，?br>所以，即點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分.
故選：C.
二、多選題（每小題6分，共18分）
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)
B. 用決定系數(shù)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說明模型的擬合效果越好
C. 將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D. 基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過
【答案】BD
【解析】
【分析】由回歸直線的性質(zhì)即可判斷A；利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可判斷D.
【詳解】A：回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會(huì)過樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B：用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說明模型的擬合效果越好，故B正確；
C：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變，
故方差不變，則標(biāo)準(zhǔn)差不變，故C錯(cuò)誤；
D：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可知D正確.
故選：BD
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 有三個(gè)零點(diǎn)B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C. 是的極小值點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱中心、極值點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由，解得或，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B選項(xiàng)正確.
，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，C選項(xiàng)正確.
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A. B.
C D. 若數(shù)列滿足，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導(dǎo)出，從而得到A正確，B錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)得到在上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，再用裂項(xiàng)相消法求和，證明出結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，
由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，A正確；
B選項(xiàng)，由柯西不等式得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故
，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，故在上恒成立，
，C正確；
D選項(xiàng)，，
，
故，D正確
故選：ACD
【點(diǎn)睛】常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對(duì)數(shù)型：，且；
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先說明數(shù)列的公比不為，由條件結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明，再結(jié)合求和公式求結(jié)論.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，矛盾，故．
由題意，得，即，，
所以．
故答案為：
13. 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)：
若y與x滿足回歸方程，則b的值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出的平均數(shù)即可.
【詳解】依題意，的平均數(shù)為，
的平均數(shù)為，
所以此曲線必過點(diǎn)，代入方程得，
解得.
故答案為：.
14. 設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的一點(diǎn)，若在中滿足，則橢圓的離心率為____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)以及兩角和的正切公式，可得，這可看成是直線斜率相乘為 ，然后根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式以及橢圓方程，即可求解.
【詳解】由可得

所以
設(shè)，
所以
故
故答案為：
四、解答題（5小題，共77分）
15. 某企業(yè)為了打開產(chǎn)品銷路，斥資攝制了一部廣告宣傳片，于2024年1月1日開始在各電視媒體投放，統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2024年前5個(gè)月的銷售收入，獲得數(shù)據(jù)如下：
（1）已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年7月份的銷售收入
（2）為了解此次廣告投放的效果，該企業(yè)隨機(jī)抽取60名消費(fèi)者進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：
請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買產(chǎn)品與觀看廣告有關(guān)聯(lián)？
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：最小二乘法估計(jì)，．
，其中．
【答案】（1），預(yù)測(cè)年月份該公司銷售金額約為萬元
（2）列聯(lián)表見解析，可以認(rèn)為購買產(chǎn)品與觀看廣告有關(guān)聯(lián)
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出，，，即可求出，，從而求出回歸直線方程，再令計(jì)算可得；
（2）完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>，又，
所以，，
所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（萬元），
所以預(yù)測(cè)年月份該公司銷售金額約為萬元；
【小問2詳解】
補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：購買產(chǎn)品與觀看廣告無關(guān)，
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)我們推斷不成立，
認(rèn)為購買產(chǎn)品與觀看廣告有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.
16. 已知函數(shù).
（1）求的最值；
（2）求曲線過點(diǎn)的切線方程.
【答案】（1）最小值為，無最大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，得出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出斜率.根據(jù)已知結(jié)合斜率的公式即可得出.聯(lián)立得出方程，求出方程的根，得出切點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，代入點(diǎn)斜式方程，即可得出答案.
【小問1詳解】
由已知可得，的定義域?yàn)椋?br>且.
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.
所以，的最小值為，無最大值.
【小問2詳解】
設(shè)切點(diǎn)為，則
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，
曲線在處的斜率，
則，
所以，，
整理可得，.
設(shè)，則在上恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增.
又，所以存唯一解.
所以，的解為，切點(diǎn)，
此時(shí)斜率為，
切線方程為，整理可得，切線方程為.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，平面.

（1）求證：點(diǎn)是棱的中點(diǎn)；
（2）若平面與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用線面平行的性質(zhì)定理可得答案；
（2）利用線面垂直的判定定理可得就是與平面所成的角，求出，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小問1詳解】

連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榫匦?，所以點(diǎn)是是中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面?br>所以，因?yàn)辄c(diǎn)是是中點(diǎn)，
所以點(diǎn)是棱的中點(diǎn)；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)闉榫匦?，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面，所以就是與平面所成的角，
可得，，
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
所以，
所以二面角的余弦值為.

18. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若與坐標(biāo)軸不平行，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，圓，證明：直線恒與圓相交．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)拋物線的焦半徑公式，求出拋物線的方程，分兩種情況討論，當(dāng)直線軸時(shí)和直線與軸不垂直時(shí)，分別求出，即可證明；
（2）結(jié)合（1）設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)的坐標(biāo)寫出直線的方程，整理后代入，即可得出直線恒過點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)在圓內(nèi)即可證明．
【小問1詳解】
證明：因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，
所以，解得或，
又因?yàn)椋?br>所以，故拋物線方程為，
當(dāng)直線軸時(shí)，可得，
此時(shí)，所以；
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，設(shè)，
代入得，
則，，
所以，
所以，
綜上，．
【小問2詳解】
證明：由于關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合（1），故的坐標(biāo)為，
所以直線的方程為，即，
由（1）得，所以，
可得直線恒過點(diǎn)，
因?yàn)閳A的方程，且，
所以點(diǎn)圓內(nèi)部，
所以直線恒與圓相交．
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．
（1）若，且為“2數(shù)列”，求．
（2）若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．
（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】（1）
（2），
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“2數(shù)列”的定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意得到，然后結(jié)合“數(shù)列”的定義列方程得到，最后寫通項(xiàng)即可；
（3）根據(jù)“數(shù)列”的定義得到，然后構(gòu)造函數(shù)得到，最后利用累加法證明即可.
【小問1詳解】
由，且為“2數(shù)列”，得，即，
則，
，
，
．
【小問2詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，
由，得，
即，
則．
兩式相減得，
即．
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為2的“數(shù)列”，所以，
即，
所以，
即對(duì)任意的恒成立．
因?yàn)椋?br>則，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
檢驗(yàn)可知符合要求，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【小問3詳解】
因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以，
即對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)?，，所以?br>再結(jié)合，，，反復(fù)利用，
可得對(duì)任意的，．
設(shè)函數(shù)，則．
由，得．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，，即．
又，所以．
可得，，，，
累加可得，
即，即，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為數(shù)列的新定義題型，準(zhǔn)確理解“數(shù)列”的含義，緊扣題意將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，同時(shí)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的關(guān)鍵.x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
月份
1
2
3
4
5
銷售收入/萬元
380
460
580
670
860
觀看廣告
未觀看廣告
總計(jì)
購買
30
45
未購買
10
總計(jì)
0.10
0.05
0.001
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
觀看廣告
未觀看廣告
總計(jì)
購買
30
15
45
未購買
5
10
15
總計(jì)
35
25
60

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河南省信陽市信陽高級(jí)中學(xué)（賢嶺校區(qū)）2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

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2023-2024學(xué)年河南省信陽市高級(jí)中學(xué)新校、北湖校區(qū)高一下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

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