一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知直線：，：，若，則（ ）
A．6B．C．6或D．或3
2．已知點(diǎn)是正四面體底面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，其中，當(dāng)最小時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．2D．1
3．已知隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．如果圓與圓關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．或D．
6．已知函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，以下命題正確的是（ ）
A．是函數(shù)的最小值
B．是函數(shù)的極小值
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在處的切線的斜率大于0
7．提供四種不同顏色的顏料給圖中六個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．288種B．296種C．362種D．384種
8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為e，直線分別與C的左?右兩支交于點(diǎn)M，N.若的面積為，，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．6D．7
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，直線與交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離是4
B．若的方程是，則的面積為3
C．若的中點(diǎn)到直線的距離為3，則
D．若點(diǎn)在直線上，則
10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列
B．當(dāng)或時(shí)，取得最大值
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和是
D．，，成等差數(shù)列，公差為
11．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)，，分別是棱，，的中點(diǎn)，直線平面，直線與平面所成角為45°，若，且則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)到平面的距離為
C．五面體的體積為
D．三棱柱的外接球的表面積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)的系數(shù)是 ．
13．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為 ．
14．設(shè)函數(shù)，若在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在數(shù)列中，
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.
(1)證明：平面平面.
(2)線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17．某家庭進(jìn)行摸球得壓歲錢(qián)游戲．規(guī)則如下：袋中有大小相同的3個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，每次從袋中摸出2個(gè)球，若摸到0個(gè)紅球就沒(méi)有壓歲錢(qián)；若摸到1個(gè)紅球就得壓歲錢(qián)100元；若摸到2個(gè)紅球就得壓歲錢(qián)200元．
(1)求摸球一次，摸到紅球個(gè)數(shù)的分布列；
(2)求摸球一次，得到的壓歲錢(qián)的均值．
18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓C上的點(diǎn)M滿足，．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，若直線，的斜率分別為，滿足，求面積的最大值．
19．已知四數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】因，則.
則或.當(dāng)，：，：，滿足；
當(dāng)，：，：，兩直線重合，不合題意.
則.
故選：A
2．【答案】C
【詳解】當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)平面，故為等邊三角形的中心，
記的中點(diǎn)為，則，
故
，
故，因此，
故選：C

3．【答案】B
【分析】由二項(xiàng)分布的概念，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性即可求解.
【詳解】由題得，
由題知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知.
故選.
4．【答案】A
【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．
由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，
因此直線的傾斜角的取值范圍是．
故選：A.
5．【答案】D
【詳解】圓圓心為，圓可化為，所以圓心為，
由題意可得直線l的方程為以兩圓圓心、為端點(diǎn)的線段的中垂線方程，
設(shè)，
由兩直線垂直斜率關(guān)系可得直線l的為1，
又兩圓中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l的方程為，即.
故選：D.
6．【答案】D
【分析】根據(jù)圖象得到的單調(diào)性，并結(jié)合極值的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出答案.
【詳解】C選項(xiàng)，由圖象可看出當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；
A選項(xiàng)，是函數(shù)的極小值，但無(wú)法確定是不是最小值，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，是函數(shù)的極大值，B錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由于，故在處的切線的斜率大于0，D正確.
故選：D
7．【答案】D
【詳解】首先三個(gè)區(qū)域有種涂法，
當(dāng)2號(hào)區(qū)域和6號(hào)區(qū)域同色時(shí)，有種涂法；
當(dāng)2號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域同色時(shí)，有種涂法；
當(dāng)2號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域，6號(hào)區(qū)域均不同色時(shí)，有種涂法，
綜上，共有384種涂法.
故選：D.
8．【答案】D
【詳解】連接，有對(duì)稱性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，
由面積公式得：，解得：，
由雙曲線定義可知：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
解得：，
所以，解得：，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D
9．【答案】BD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離是2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由得，解得或，
所以6，又與軸的交點(diǎn)為，所以，所以的面積為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到直線的距離為3，所以，即，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)：，，，
由得，，，，
因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：BD.
10．【答案】ABC
【詳解】由，，
可得是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，
對(duì)于函數(shù)，開(kāi)口向下，其對(duì)稱軸為，
所以對(duì)于，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，B正確；
則
，
又，符合上式，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，A正確；
所以，，成等差數(shù)列，
又，，
所以，
所以，，成等差數(shù)列，且公差為，D錯(cuò)；
又當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和是
，
又，，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，C正確.
故選：ABC
11．【答案】ACD
【詳解】由題意，
在直三棱柱中，面，面，
面，面，
直線與平面所成角為45°，
∴，，，，
在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，，
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)直三棱柱高為，
，
，
∴
在面中，設(shè)其一個(gè)法向量為，
，即，解得：，
當(dāng)時(shí)，，
∴，解得：，
故A正確；
B項(xiàng)，連接，，，
由幾何知識(shí)得，，，
，，
在中，，
由勾股定理得，，
在中，同理可得，，
在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則是的中點(diǎn)，也是矩形對(duì)角線交點(diǎn)，連接，
在中，，
由勾股定理得，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
點(diǎn)到平面的距離為，
∴，
，
，
，
∵，
解得：，
故B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，五面體的體積為：，
故C正確；
D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，，，
∴四邊形為正方形，設(shè)正方形中心，
是的中點(diǎn)，也是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平?br>所以點(diǎn)在過(guò)正方形中心，平面的垂線上，
∴點(diǎn)到正方形的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，有，
在矩形中，由幾何知識(shí)得，點(diǎn)到矩形的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，有，
所以點(diǎn)為球心，點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，
即，
∴三棱柱的外接球的半徑為，
∴三棱柱的外接球的表面積為：，
故D正確；
故選：ACD.
12．【答案】160
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令得展開(kāi)式中的第四項(xiàng)的系數(shù)為
故答案為:．
13．【答案】
【詳解】依題意，小明與另外3名大學(xué)生分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)的分配方法是1個(gè)學(xué)校2人，另外2個(gè)學(xué)校各1人，共有（種）分配方法，
若小明恰好分配到甲村小學(xué)，有（種）分配方法，
根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得所求的概率為．
故答案為：
14．【答案】
【詳解】由在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，
即在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，
設(shè)，，
則，
設(shè)，，
則，，
設(shè)，，
則恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
即，即，
所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
又在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，
則，
即，
故答案為：.
15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【詳解】（1）由得，，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，則，
.
16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，或
【詳解】（1）證明：取棱的中點(diǎn)O，連接，
設(shè)，則，，
因?yàn)槭堑冗吶切?，且O是的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，所以，所以，則.
因?yàn)槠矫?，平面，且?br>所以平面.
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）取棱CD的中點(diǎn)F，連接OF，則兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，，則，，
設(shè)，則，
又，所以.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
解得或，
故當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.
17．【答案】(1)
(2)120元
【分析】（1）求出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列；
（2）在（1）基礎(chǔ)上求出，由得到.
【詳解】（1）的所有可能取值為，則，
，，
所以摸到紅球個(gè)數(shù)的分布列為
（2）由題意得：摸球一次得到的壓歲錢(qián)，
由（1）得，
所以，
故摸球一次得到的壓歲錢(qián)的數(shù)學(xué)期望為120元．
18．【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）依題意得：，．
由橢圓定義知，
又，則，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求橢圓方程為
（2）設(shè)，直線
聯(lián)立方程組，得，
，得，
，，
，
由題意知，由，，代入化簡(jiǎn)得
，
故直線過(guò)定點(diǎn)，
由，解得，
，
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．
19．【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【詳解】（1）由題設(shè)，則，又，
所以在處的切線方程為，即.
（2）當(dāng)時(shí)，，，故恒成立；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
法一：令，則，
令，則，即在上單調(diào)遞增，
所以，故在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立；
法二：恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以；
綜上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為，得證；
（3）由題意，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
而，
令，則，
對(duì)于且，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，可得，
對(duì)于且，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，可得，
綜上，，則，即在上單調(diào)遞增，
所以，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足；
當(dāng)時(shí)，，，
所以使，即存在區(qū)間使，不符合；
（保號(hào)性：，，故必存在的情況，不符合；）
綜上，.0
1
2
0
1
2

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