數(shù)學(xué)試題
命題人： 審題人：
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合交集的知識(shí)求解即可.
【詳解】則
故選：C.
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；
【詳解】由 ，則 ，即 .
故選：A.
3. 已知平面向量為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由題設(shè)有設(shè)，，，如下圖，為邊長(zhǎng)為1的菱形，數(shù)形結(jié)合及向量加減、數(shù)乘的幾何意義判斷條件間的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由平面向量為兩兩不共線的單位向量，
設(shè)，，，如下圖，為邊長(zhǎng)為1的菱形，
若，即與垂直，，
即，而，且，
所以共線，即與共線；
若與共線，即且，而，即，
所以與垂直，故.
所以“”是“與共線”的充要條件.
故選：C
4. 已知，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
5. 將函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)在單調(diào)遞增，則a的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】函數(shù)的圖像可由對(duì)勾函數(shù)圖像平移得到,由對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到的單調(diào)區(qū)間，可解出a的最大值.
【詳解】， 顯然的圖像是函數(shù) 的圖像 向右移動(dòng)了個(gè)單位，
是對(duì)勾函數(shù)，任取，
，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)在單調(diào)遞增，得在單調(diào)遞增，∴，，
則a的最大值為3,
故選：C
6. 已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得三棱柱的高，確定外接球球心，結(jié)合勾股定理可得外接球半徑與外接球表面積.
【詳解】
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
則，
設(shè)外接圓圓心為，外接圓圓心為，
則，即，
且三棱柱外接球球心為中點(diǎn)，
則外接球半徑，
表面積為，
故選：.
7. 蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義求得橢圓的蒙日?qǐng)A方程，根據(jù)為銳角可知直線與蒙日?qǐng)A相離，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系可求得范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.
【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，
直線，與橢圓都相切，
，所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，
為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足為銳角，
點(diǎn)在圓外，又動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線與圓相離，，解得：，
又，；
橢圓離心率，，.
故選：B.
8. 已知的三條邊上的高分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)的面積為，由題意可得，利用三角形三邊關(guān)系可求解.
【詳解】設(shè)的面積為，由題意可得，又因?yàn)椋?br>所以，由三邊關(guān)系定理可得，
所以，所以，所以，
所以，所以的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8
B. 對(duì)于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立
C. 若隨機(jī)變量，，若最大，則
D. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用百分位數(shù)的定義判斷即可；對(duì)于B，利用對(duì)立事件和條件概率的公式，結(jié)合獨(dú)立事件的定義判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)隨機(jī)變量的均值與方差公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；對(duì)于D，利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，把數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因?yàn)椋?br>則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，又，所以，即事件與相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故，又，當(dāng)最大時(shí)，；又，
此時(shí)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)?，所以，所以，故D正確.
故選：BCD.
10. 在直棱柱中，底面為正方形，，為線段上動(dòng)點(diǎn)，，分別為和的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的直棱柱的截面為四邊形
B. 直線與所成角的余弦值為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的截面，判斷A的真假；作出異面直線與所成的角，利用等腰三角形的性質(zhì)，求角的余弦，判斷B的真假；判斷點(diǎn)到平面的距離是否為定值，可判斷C的真假；轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間線段最短，并求出最小值，可判斷D的真假.
【詳解】對(duì)A：如圖：
直線交直線于，設(shè).
因?yàn)椋?br>因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，因?yàn)?，所?
所以點(diǎn)在線段上.
設(shè)射線與射線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).
在線段上取點(diǎn)，使；在線段上取點(diǎn)，使.
依次連接，可得經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的直棱柱的截面，可見(jiàn)截面不是四邊形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：如圖：
因?yàn)?，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.
在中，，，所以，故B正確；
對(duì)C：易知平面平面，平面，所以平面.
點(diǎn)，所以到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值.故C正確；
對(duì)D：如圖
將繞旋轉(zhuǎn)，使共面，則.
過(guò)作與直線垂直，垂足為.
在中，，，，所以，，，
所以.故D正確.
故選：BCD
11. 雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支， 在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位， 同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美. 雙紐線的圖形輪廓像 “ ”，是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素. 已知在平面直角坐標(biāo)系中， ，滿足 的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為曲線 . 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 曲線 既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形
B. 曲線 上滿足 的點(diǎn) 有 2 個(gè)
C.
D. 曲線 上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意中等式結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式表示出曲線方程可得A正確；由可得這樣的 點(diǎn)只有 1 個(gè)，即為原點(diǎn)可得B錯(cuò)誤；由曲線方程整理出可得C正確；由圖象觀察可得D正確；也可由導(dǎo)數(shù)的意義求出.
【詳解】對(duì)于A，設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為則曲線 ，故 正確；
對(duì)于 ，若 ，則 ，這樣的 點(diǎn)只有 1 個(gè)，即為原點(diǎn)， 故 錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由 得，
整理得， ，所以 ，故C正確；
對(duì)于D，從雙紐線的圖形上，可以觀察有四個(gè)點(diǎn)處切線的斜率為 0，
另外，由 得 ，則 ，
令 或 0，經(jīng)計(jì)算曲線 在原點(diǎn)處的切線方程為 ，故D 正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是能利用曲線方程整理出兩點(diǎn)間公式，再求出范圍.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)，則________________．
【答案】17
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)即可.
【詳解】二項(xiàng)式 展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以，
故答案為：17
13. 若直線為曲線的一條切線，則的最大值為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.
【詳解】設(shè)，則，
設(shè)切點(diǎn)為，則，
則切線方程為，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)直線為曲線的一條切線，求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.
14. 已知 為正整數(shù)，有窮數(shù)列 中所有可能的乘積 的和記為 . 例如，當(dāng) 時(shí)， . 數(shù)列 的前 項(xiàng)和為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出，令，最后利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前 項(xiàng)和即可.
【詳解】根據(jù)題意有：
，
令，所以，
則的前 項(xiàng)和為，則有：
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題的方法和技巧：
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，，．
（1）求；
（2）記為的中點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正余弦定理以及兩角和正弦公式計(jì)算得出，進(jìn)而可求角；
（2）結(jié)合正弦定理及余弦定理，再應(yīng)用銳角三角形求出，最后結(jié)合正切值域及二次函數(shù)值域得出范圍.
【1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>由，
則，，
則，
整理得，
且，，故，
又，故．
【2詳解】
在中，由余弦定理可得，
又，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
解得．所以，
所以．
故的取值范圍為．
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）記函數(shù)，已知只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．
【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；
（2）求導(dǎo)，通過(guò)討論函數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成成立即可.
【1詳解】
當(dāng)時(shí)， ，，
則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．
【2詳解】
，
，
因?yàn)椋?，則或．
當(dāng)時(shí)，
由，可得或，
由，可得：
所以上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，，
又，因只有1個(gè)零點(diǎn)，需使．
令，求導(dǎo)得：，
又，，易得
可知在上單調(diào)遞減；
又時(shí)，，，
即存在，使得，
因，，又因，故．
17. 如圖，是斜三棱柱的高，，，點(diǎn)，在線段上，其中是的中點(diǎn)，.
（1）證明:;
（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可得，即可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解，
（2）建立空間之間坐標(biāo)系，根據(jù)體積可得，即可求解兩平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角求解.
【1詳解】
由于，平面,
故,因此，
故在的垂直平分線上，
由于，是的中點(diǎn)，故
【2詳解】
由于平面，
故點(diǎn)到平面的距離與到平面的距離相等，
故,解得，因此,
因此是三角形的重心，
如圖：連接,過(guò)作的垂線，垂線所在的直線作為軸，所在的直線作為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
故,
則,
,,
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
,,
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
故
由于二面角的平面角為銳角，故余弦值為
18. 已知圓的圓心在拋物線上，且圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.如圖，過(guò)拋物線上的三個(gè)不同點(diǎn)(在之間)，作拋物線的三條切線，分別兩兩相交于點(diǎn).

（1）求圓和拋物線的方程；
（2）是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，以為直角頂點(diǎn)，作拋物線的兩個(gè)內(nèi)接及，求線段的交點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）圓的方程為，拋物線的方程為
（2）存在，使得，理由見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)，代入拋物線方程，再結(jié)合圓與拋物線準(zhǔn)線相切求出的值，從而得到圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，進(jìn)而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再通過(guò)向量運(yùn)算可得答案；
（3）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用直角三角形條件得到方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo).
【1詳解】
圓的圓心，
因?yàn)閳A心在拋物線上，所以，即，
因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以，
解得，，
所以圓的方程為，
拋物線的方程為；
【2詳解】
存在常數(shù)，使得，理由如下，
設(shè)，，
則在點(diǎn)處的坐切線方程為，即，
在點(diǎn)處的坐切線方程為，即,
由，解得，所以，
同理可得，，，，
，
，
所以
，
，
，可得，
所以存在，使得；
【3詳解】
因?yàn)?、是拋物線的兩個(gè)內(nèi)接三角形，
所以直線的斜率存在且不為0，
當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為4時(shí)，代入得，所以，
設(shè)，
由為直角頂點(diǎn)，
設(shè)，則，
則直線的方程為，與聯(lián)立得
，則,
，可得，
同理可得，
所以直線的方程為
，
整理得，即，
設(shè)，則，
則直線的方程為，與聯(lián)立得
，則,
，可得，
同理可得，
所以直線的方程為
，
整理得，
由得，
所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在探究拋物線切線相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)，凸顯出導(dǎo)數(shù)作為工具在解析幾何中確定圖形的關(guān)鍵.
19. 馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，在人工智能、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為:假設(shè)我們的序列狀態(tài)是，，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黃球和1個(gè)黑球，乙盒子中裝有1個(gè)黃球和2個(gè)黑球(6個(gè)球的大小形狀完全相同).記操作:從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中.在重復(fù)次操作后，記甲盒子中黃球個(gè)數(shù)為，恰有3個(gè)黃球的概率為，恰有2個(gè)黃球的概率為，并記的數(shù)學(xué)期望為.
（1）求;
（2）求;
（3）證明:.
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)組合公式和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）分析得的所有可能得取值為3，2，1，0，再寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望公式即可得到答案；
（3）分別計(jì)算，構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，再取倒數(shù)，求和放縮即可.
【1詳解】
分別表示操作一次后，甲盒子中恰有3個(gè)、2個(gè)黃球的概率，
由題可知:.
【2詳解】
記重復(fù)次操作后，甲盒子中恰有1個(gè)黃球的概率為，
易得
由題易得的所有可能得取值為3，2，1，0，
且，
，
，
，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為.
【3詳解】
記重復(fù)次操作后，甲盒子中恰有1個(gè)黃球的概率為，
由題，可得，
而，
，
，
于是，，
也即，
因此是等比數(shù)列，公比為，
首項(xiàng)為，
所以.
因此:，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造等比數(shù)列，再求出，最后求和即可.
3
2
1
0

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2024～2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)高二下開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(含答案)：

這是一份2024～2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)高二下開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共7頁(yè)。

河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上期12月測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題-A4：

這是一份河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上期12月測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題-A4，共4頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024～2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)高二(上)12月測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試卷(含答案)：

這是一份2024～2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)高二(上)12月測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共8頁(yè)。

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