數(shù)學試題
一、單選題（此題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A. 與B. 與，
C. 與D. 與
【答案】C
【解析】
【分析】判斷向量是否共線，即可判斷向量是否作為基底．
【詳解】、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，
與，不共線，可以作為基底，
與，不共線，可以作為基底，
，故與共線，不可以作為基底，
與，不共線，可以作為基底，
故選：C．
2. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先由函數(shù)在上單調(diào)遞增求出此時的范圍，進一步結(jié)合必要不充分條件的定義即可求解.
【詳解】解：由題意易知或，
且開口向上，且對稱軸為，
結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，
所以當時不能得出在上單調(diào)遞增，即不滿足充分性；
而函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，
顯然成立，滿足必要性.
故選：B.
3. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象結(jié)合五點法可得，即可得函數(shù)解析式.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，
由圖可知，，即，且，所以，
此時，將代入得，
即，且，則，
可得，解得，所以.
故選：D.
4. 在中，是BC上一點，是線段AD上一點，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)已知向量關(guān)系得出,再應用待定系數(shù)法求參即可.
【詳解】.
，
由是線段AD上一點，設(shè)，其中，
所以解得
故選：D.
5. 已知的圖象為，為了得到的圖象，只要把上所有的點（ ）
A. 向右平行移動個單位長度B. 向左平行移動個單位長度
C. 向右平行移動個單位長度D. 向左平行移動個單位長度
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合誘導公式，直接求解三角函數(shù)圖像平移即可.
【詳解】因為，
即圖像上所有的點向右平移個單位，
又，
即上述圖像再次向右平移個單位，
綜上，為了得到的圖象，
只要把上所有的點向右平行移動個單位長度.
故選：C
6. （ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為并展開即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：B.
7. 在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，則的形狀為（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理變化角及三角形的內(nèi)角和定理，再利用誘導公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍和三角方程即可求解.
【詳解】由及正弦定理，得
,
所以,
所以,
即，
即，解得或,
當時，又，,所以或（舍），所以為等腰三角形;
當時，又，所以，所以為直角三角形;
綜上所述，為等腰或直角三角形.
故選：D.
8. 在中，角所對應的邊分別為，設(shè)的面積為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面積公式和余弦定理，基本不等式對進行變形，得到關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，列出關(guān)于t的不等式，求出最大值.
【詳解】，，
則設(shè)
所以，即
，
故選：A.
【點睛】三角函數(shù)最值問題，要充分使用題干中的條件及一些工具，比如正余弦定理，面積公式，基本不等式等對不等式進行變形，這道題目的難點在于使用了三角函數(shù)的有界性，輔助角公式來求解最值.
9. 已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B. 若，則
C. 在方向上的投影向量為
D. 若，則與的夾角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量的數(shù)量積定義式和數(shù)量積運算律計算可依次判斷A,B,D,利用投影向量概念和公式可判斷C.
【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，所以，因為，故B正確；
對于C：在方向上的投影向量為，故C錯誤；
對于D：因為，所以，
因為，所以與的夾角為，故D正確.
故選：ABD.
二、多選題（此題共3小題，每小題6分，共18分）
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞增B. 在上單調(diào)遞減
C. 是的一個周期D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)時，，知A錯誤；當時，，由正弦型函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知B正確；由知C正確；分類討論可求得在每段區(qū)間上的值域，由此可知D錯誤.
【詳解】對于A，當時，，此時不單調(diào)遞增，A錯誤；
對于B，當時，，
若，則，此時單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，B正確；
對于C，，
是的一個周期，C正確；
對于D，當時，，此時；
當時，；
當時，，此時；
當時，；
綜上所述：的最小值為，D錯誤.
故選：BC.
11. 已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，下列敘述正確的是（ ）
A. 存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個不相等的實數(shù)根
B. 當時，恒有
C. 若當時，的最小值為1，則
D. 若關(guān)于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)，利用已知定義域的解析式，可得到對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項的正誤，即可確定答案
【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，故在R上的解析式為：
繪制該函數(shù)的圖象如所示：
對A：如下圖所示直線與該函數(shù)有7個交點，故A正確；
對B：當時，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯誤；
對C：如下圖直線，與函數(shù)圖交于，
故當?shù)淖钚≈禐?時有，故C正確
對D：時，函數(shù)的零點有、、；
若使得其與的所有零點之和為0，
則或，如圖直線、，故D錯誤
故選：AC
【點睛】本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)的圖象分析命題是否成立
三、填空題（此題共3小題，每小題6分，共18分）
12. 已知扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為______．
【答案】
【解析】
分析】利用扇形弧長和面積公式直接求解即可.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則弧長，解得：，扇形面積.
故答案為：.
13. 若“關(guān)于的方程在內(nèi)都有解”是真命題，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，在內(nèi)都有解，求出當時，的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為“關(guān)于的方程在內(nèi)都有解”是真命題，
所以在內(nèi)都有解．
由，得，所以，所以，
則的取值范圍是．
故答案：．
14. 若函數(shù)在上有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，將問題轉(zhuǎn)化為在上有且僅有四個不同實數(shù)解，根據(jù)的范圍，結(jié)合方程解的個數(shù)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【詳解】；
若在上有四個零點，則在上有且僅有四個不同實數(shù)解，
當時，，
，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題（此題共5小題，共77分）
15. 設(shè)是不共線的兩個非零向量．
（1）若，求證：三點共線；
（2）若與共線，求實數(shù)k的值，并指出與反向共線時k的取值
【答案】（1）證明見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.
【小問1詳解】
由，
得，
，
所以，且有公共點B，
所以三點共線.
【小問2詳解】
由與共線，
則存在實數(shù)，使得，
即，
又是不共線的兩個非零向量，因此，
解得，或，
實數(shù)k的值是.
當時，與反向共線
16. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，點在邊上，且滿足．
（1）若，證明：；
（2）若，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，在中，由得，在中，由得，結(jié)合可得結(jié)論；
（2）方法一：由條件結(jié)合正弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，結(jié)合可得關(guān)系式，由余弦定理可得答案．
方法二：因為，所以，平方可得．由余弦定理得，整理得．因為，由正弦定理得，從而可得關(guān)系式，由余弦定理可得答案．
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得，
因為，所以．
在中，由正弦定理得，
由題意得，所以．
因為，所以由正弦定理，得，
所以
【小問2詳解】
方法一：因為，所以由正弦定理得．
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得．
因為，所以．
所以，整理得，
所以，解得或．
當時，，所以；
當時，，所以．
所以或．
方法二：因為，
所以．
因為，所以，
即①．
由余弦定理，得②，
由①②整理得．
因為，所以由正弦定理，得．
所以，解得或．
當時，，所以；
當時，，所以．
綜上所述，或．
17. 某城市平面示意圖為四邊形（如圖所示），其中內(nèi)的區(qū)域為居民區(qū)，內(nèi)的區(qū)域為工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段和線段上分別選一處位置，分別記為點和點，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路，線段與線段交于點，段和段修建道路每公里的費用分別為10萬元和20萬元，已知線段長2公里，線段和線段長均為6公里，，設(shè).
（1）求修建道路的總費用（單位：萬元）與的關(guān)系式（不用求的范圍）；
（2）求修建道路的總費用的最小值.
【答案】（1）
（2）80萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得，，進而可得解析式；
（2）利用三角恒等變換整理可得，換元令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值.
【小問1詳解】
在中，因為，可得，
在中，可知，
由正弦定理，可得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：
，
因為，則，
令，則，
且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
當，即時，修建道路的總費用取到最小值萬元.
18. 已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷的單調(diào)性（不要求證明）；
（3）對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）函數(shù)是增函數(shù)
（3）
【解析】
分析】（1）利用可求出，再驗證即可；
（2）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得答案；
（3）整理得，令，轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求可得答案．
【小問1詳解】
函數(shù)是奇函數(shù)，
，即，
，所以，且，
，即是奇函數(shù)；
【小問2詳解】
函數(shù)是增函數(shù)，理由如下，
時，因為、單調(diào)遞增函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)是增函數(shù)，
又因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；
【小問3詳解】
函數(shù)是增函數(shù)也是奇函數(shù)，則，
，即時恒成立，
所以，即，整理得，
令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，與都是減函數(shù)，所以也是減函數(shù)，
原問題等價于在上恒成立，
所以，只需．
即實數(shù)的取值范圍是．
19. 設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得成立，則稱為的一個“準不動點”.已知函數(shù)
（1）若，求的“準不動點”：
（2）若為的一個“準不動點”，且，求實數(shù)的取值范圍：
（3）設(shè)函數(shù)若使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，利用換元法計算可得；
（2）依題意可得在上有解，參變分離可得在上有解，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍，即可得解；
（3）依題意可得，根據(jù)的單調(diào)性，求出的最值，即可得到，換元得到，參變分離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，計算可得.
【小問1詳解】
當時，由可得，，
令，則，解得或，
即或，解得或，
的“準不動點”為0或1；
【小問2詳解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，則在上有解，
故，當時，在上單調(diào)遞增，，則，解得，
的取值范圍；
【小問3詳解】
由得，，
即，則，
又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，，則，
即，
令，則，從而，則，
又在上均為增函數(shù)，則，，
，即，所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，.
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.

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