1. 數(shù)列的第5項為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將代入計算即可得結果.
【詳解】解：數(shù)列的第5項為.
故選：C
2. 某生物實驗室對某種動物注射某種麻醉藥物，下表是注射劑量（單位：ml）與注射4h后單位體積血液藥物含量相對應的樣本數(shù)據(jù)，得到變量與的線性回歸方程為，則的值為（ ）
A. 12.2B. 12.5C. 12.8D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】利用樣本點的中心在回歸直線上，列方程即可求得的值.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)，得，而樣本點的中心在回歸直線上，
則，所以，解得，
故選：C.
3. 數(shù)列滿足，且對任意的都有，則數(shù)列的前100項的和為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用累加法求出，再利用裂項相消法求解.
【詳解】∵，
∴，
又，
∴
∴，
∴數(shù)列的前100項的和為：．
故選B．
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查裂項相消求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 計算機是將信息轉換成二進制數(shù)進行處理的，二進制即“逢二進一”.如表示二進制的數(shù)，將它轉換成十進制的形式是，那么將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二進制的定義結合等比數(shù)列的前項和公式求解即可.
【詳解】由題意可知
，
故選：D
5. 若數(shù)列的前項和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】
必要性顯然成立；由，，得①，同理可得②，綜合①，②，得，充分性得證，即可得到本題答案.
【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，
若，所以當時，，
所以，化簡得①，
所以當時，②，
①②得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.
6. 如圖，作邊長為3的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，則前n個內(nèi)切圓的面積和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】從第二個正三角形開始，每個正三角形的邊長是前一個的，每個正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的，則可得內(nèi)切圓半徑是以為首項，為公比的等比數(shù)列，利用數(shù)列通項、求和公式，即可得答案.
【詳解】設第n個正三角形的內(nèi)切圓半徑為，
因為從第二個正三角形開始，每個正三角形的邊長是前一個的，每個正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的，
所以，，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，
設前n個內(nèi)切圓的面積和為，
則=，
故選：B
【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、求和公式的靈活應用，考查分析理解，求值計算，數(shù)形結合的能力，屬中檔題.
7. 若數(shù)列滿足，（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項和，則不正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列的通項，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯誤；先放縮，再利用裂項相消求和可證明D正確.
【詳解】，故A正確；
由知，，
兩式相減得，
故，故當時，為常數(shù)列，
故，故，故，故B正確；
當時，，
滿足上式，所以，故C錯誤；
，
故，故D正確.
故選：C
8. 下列說法不正確的是（ ）
A. 已知數(shù)列滿足，，其前項和為，若，則
B. 等差數(shù)列中，已知公差，且，則
C. 已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則
D. 設數(shù)列的前項和為，若，且，則
【答案】D
【解析】
【分析】構造數(shù)列后由等比數(shù)列的求和公式可得A正確；由等差數(shù)列下標的性質(zhì)可得B正確；由等差中項結合等差數(shù)列的求和公式可得C正確；由遞推公式得到為等差數(shù)列，再利用和的關系求出等差數(shù)列的通項可得D錯誤.
【詳解】對于A，由可得，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
，解得，故A正確；
對于B，等差數(shù)列中，，
所以，故B正確；
對于C，由題意可得，
又，即，故C正確；
對于D，，
因為，所以，所以，
所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，即，
所以，故D錯誤.
故選：D
二.多選題（共3小題，每小題6分）
9. 下列結論中正確的是（ ）
A. 由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過點
B. 樣本相關系數(shù)越大，兩個變量的線性相關程度越強，反之，線性相關程度越弱
C. 若變量與之間的相關系數(shù)，則與正相關
D. 若樣本數(shù)據(jù)的對應樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為－1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)判斷A；根據(jù)線性相關系數(shù)的概念和性質(zhì)判斷B；根據(jù)正相關、負相關的概念判斷C；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)都在直線上，可得，再由負相關得.
【詳解】對于A，回歸直線必過點，故A正確；
對于B，越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，越接近0，線性相關程度越弱，故B錯誤；
對于C，若變量與之間的相關系數(shù)，則與正相關，故C正確；
對于D，樣本數(shù)據(jù)的對應樣本點都在直線上，說明是負相關且為線性函數(shù)，所以這組樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為－1，故D正確．
故選：
10. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（ ）
A. 數(shù)列，，成等比數(shù)列
B. 數(shù)列，，成等比數(shù)列
C. 數(shù)列，，成等比數(shù)列
D. 數(shù)列，，成等比數(shù)列
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)比數(shù)列的定義，逐一判斷選項.
【詳解】設等比數(shù)列公比為，
A.由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，當時，，故A錯誤；
B.可知數(shù)列，，每項都不為0，且，故B正確．
C.當數(shù)列為1，，1，，1……時，，故C錯誤；
D.數(shù)列，，的每一項都不為0，且，故D正確.
故選：BD
11. 設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，若，，且，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 最大值是D. 最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題可得為正項遞減數(shù)列.對于A，利用時，可判斷選項正誤；對于B，由，可得，然后由可判斷選項正誤；對于C，由B可得隨著n增大變化情況，據(jù)此可判斷選項正誤；對于D，由為正項遞減數(shù)列，舉反例可判斷選項正誤.
【詳解】因，且，則an=a1qn?1>0，an=a1qn?1>a1qn?1q=an+1，則為正項遞減數(shù)列.
對于A，，故A正確；
對于B，因，則與，一個小于1，一個大于1，
又，則，則，故B正確；
對于C，由B分析可知， 當時，；時，.
則時，隨著n增大而增大，在時，隨著n增大而減小，故最大值是，故C正確；
對于D，因為正項遞減數(shù)列，則隨著n增大而增大，則，故最大值不為，故D錯誤.
故選：ABC
三.填空題（共3小題，每小題5分）
12. 某校對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握判斷是否喜歡抖音和性別有關，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有_____人.
附：
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】設被調(diào)查的男女生為人，寫出列聯(lián)表，應用卡方公式求卡方值，結合求參數(shù)范圍，進而確定被調(diào)查的男生為，即可答案.
【詳解】由題意，設被調(diào)查的男女生為人，則男生喜歡抖音有人，女生喜歡抖音有人，
所以列聯(lián)表如下：
所以，則，
所以被調(diào)查的男生為，
又，則人數(shù)是5的整數(shù)倍，
所以大于等于45的5的整數(shù)倍都符合題意，即可能有人.
故答案為：（答案不唯一）
13. 設數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么_____
【答案】
【解析】
【分析】由等比數(shù)列下標的性質(zhì)將所給等式變形后可得.
【詳解】由題意可得，
所以.
故答案為：
14. 若等比數(shù)列中，首項為，公比為，則下列條件中，使數(shù)列遞減數(shù)列的充要條件是_____
【答案】，或，
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項公式寫出相鄰兩項的不等關系，然后移項合并同列項根據(jù)整式的正負分析首項和公比的取值范圍.
【詳解】因為等比數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，即，，
所以，所以，所以
所以，或，，必要性得證.
又因為當，或，，易知所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
充分性得證.
所以數(shù)列遞減數(shù)列的充要條件是：，或，，
故答案為：，或，
四、解答題（共5個題）
15. 已知正項等比數(shù)列滿足條件.
（1）求的通項公式；
（2）設，求的最大值及取最大值時的取值.
【答案】（1）
（2）；或11
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式進行求解即可.
（2）利用二次函數(shù)的思想求的最大值．
【小問1詳解】
設的公比為q，
由題意得，所以，
，
所以，．
所以．
【小問2詳解】
．
二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，
所以當或11時，取得最大值，且最大值為．
故的最大值為，取最大值時的取值為10或11.
16. 某運動服飾公司對產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：十萬元）與年銷售量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表：
（1）求和的樣本相關系數(shù)（精確到0.01），并推斷和的線性相關程度；（若，則線性相關程度很強；若，則線性相關程度一般；若，則線性相關程度很弱）
（2）求年銷售量關于年投資額的回歸直線方程，并據(jù)此預測年投資額為60萬元時的年銷售量．
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：相關系數(shù)；
回歸直線方程中，．
【答案】（1）0.98，變量和的線性相關程度很強；
（2），75.5萬件．
【解析】
【分析】（1）計算出相關系數(shù)所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式即可求出；
（2）根據(jù)公式即可求出與的值，即可得出回歸方程，令代入計算即可.
【小問1詳解】
由題可知，
，
所以，
因為，所以變量和的線性相關程度很強．
【小問2詳解】
，
．
所以關于的回歸直線方程為．
當時，，
所以研發(fā)的年投資額為60萬元時，預測產(chǎn)品的年銷售星為75.5萬件．
17. 在一次人才招聘會上，甲、乙兩家公司開出的工資標準分別為：甲公司：第一年月工資1000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加230元；乙公司：第一年月工資1500元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%.設某人年初想從甲、乙兩公司中選擇一家公司去工作.
（1）若此人分別在甲公司或乙公司連續(xù)工作n年，則他在兩公司第n年的月工資分別為多少？
（2）若此人在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報酬較多？（）
【答案】（1）答案見解析
（2）甲公司
【解析】
【分析】（1）該人在甲公司工作第年的月工資數(shù)是等差數(shù)列，在乙公司工作第年的月工資數(shù)是等比數(shù)列，寫其通項公式可求
（2）在一家公司連續(xù)工作年，比較甲、乙兩公司中年月工資之和,則從該家公司得到的報酬較多.
【小問1詳解】
在甲公司連續(xù)工作第年的月工資是，
在乙公司連續(xù)工作第年的月工資是；
【小問2詳解】
在甲公司連續(xù)工作年，得到的工資之和：；
在乙公司連續(xù)工作年，得到的工資之和： ，
所以從甲公司得到的報酬較多.
18. 設正項數(shù)列的前n項和為，已知，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)和得到，即可得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，然后求通項即可；
（2）利用裂項相消的方法求和即可.
【小問1詳解】
因為，所以①，
所以時，②．
由，得，即．
因為各項均為正數(shù)，所以，即，
因為，所以，，解得，，，
所以數(shù)列是公差為2等差數(shù)列，
所以．
【小問2詳解】
由（1）得．
當n為偶數(shù)時，
；
當n為奇數(shù)時，
．
所以
19. 已知數(shù)列前項和滿足：，數(shù)列滿足：對任意有.
（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和為，
（3）若，求的范圍
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)列的通項公式與前項和的關系求出數(shù)列的通項公式，然后化簡已知條件求出數(shù)列的通項公式．
（2）錯位相減法求和即可.
（3）計算并判斷其單調(diào)性，求出的最大值，可求出的范圍.
小問1詳解】
解：當時，，所以，
當時，，，
數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，；
，，
當時，
，驗證首項滿足，所以.
【小問2詳解】
，則，
，
錯位相減得：，
所以
【小問3詳解】
，，
令，則，
當時，，當時，，
即當時，，
所以若，則.
【點睛】易錯點點睛：知求的題型中要注意檢驗時是否成立，在求數(shù)列最大值時要判斷數(shù)列的單調(diào)性.
2
3
4
5
6
7
5
6.6
9
10.4
15
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
喜歡抖音
不喜歡抖音
總計
男生
女生
總計
1
2
3
4
5
35
40
50
55
70

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