一、單選題
1．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)除法幾何意義求復(fù)數(shù)的模.
【詳解】由.
故選：B
2．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函數(shù)定義域、解一元二次方程求集合，由集合交運算求.
【詳解】由題設(shè)，，或，
所以.
故選：A
3．已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中項判定數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，
所以，所以.
故選：C．
4．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進行求解即可.
【詳解】由，得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，則函數(shù)其中一個的單調(diào)遞減區(qū)間為：
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
則滿足，得，所以的取值范圍是.
故選：D.
5．某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團，學(xué)生們都能積極選擇自己喜歡的社團．目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用排列計算出總的種數(shù)，再計算出甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的種數(shù)，最后代入古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】4名同學(xué)分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有種，
其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有種，
由古典概型的概率計算公式可得，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為，
故選：C.
6．已知正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，點P為此三棱錐各頂點所在球面上的一點，則點P到平面SAB的距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】畫圖分析，構(gòu)造三角形求出相應(yīng)的量，利用正弦定理和余弦定理求相應(yīng)的量，分析點P到平面SAB的距離的最大值即可.
【詳解】如圖1，
設(shè)正三棱錐的底面外接圓的圓心為，外接球的球心為，
為的中點，的外接圓的圓心為，
所以在正三棱錐中有：平面，平面，
因為為等邊三角形，
所以為的重心，且邊長為3，
所以，
因為平面，平面，
所以，
所以在中，，
設(shè)，
所以在中，，
所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得：，
又平面，平面，
所以，
所以在中，
，
由圖2：
當(dāng)共線時，點P到平面SAB的距離有最大值為：
，
故選：B.
7．若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)根據(jù)單調(diào)性可得，再利用不等式的性質(zhì)可得，設(shè)，確定其的單調(diào)性，即可得，從而可得答案．
【詳解】設(shè)，則恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，
所以，于是有，即；
設(shè)，，時，，
設(shè)，則，時，，
所以是減函數(shù)，所以恒成立，
所以在時是減函數(shù)，并且，
所以時，，所以．
綜上，．
故選：A．
8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.
【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，
圓O：，圓心為，半徑為，
設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，
過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，
同理，，由，
四邊形AMBN的面積為，
，化簡得，則有，則C的離心率.
故選：D
二、多選題
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位數(shù)為79
B．若隨機變量服從二項分布，則
C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則
D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人
【答案】BCD
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷A，根據(jù)二項分布的定義判斷B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷C，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A，將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列可得，
因為，所以樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，A錯誤；
對于B，因為服從二項分布，所以，B正確；
對于C，服從正態(tài)分布，因為，所以，
所以，C正確；
對于D，設(shè)從高二抽取人，由分層抽樣性質(zhì)可得，所以，
所以高三應(yīng)抽取的人數(shù)為（人），D正確；
故選：BCD.
10．已知a，b為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A錯誤；由基本不等式的應(yīng)用計算可得B正確；利用作差法可知選項C正確；根據(jù)基本不等式計算可得當(dāng)時，成立，但顯然，即D錯誤.
【詳解】對于A，由，可知，，
且，由不等式性質(zhì)可得，所以，即A錯誤．
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，B正確．
對于C，作差可得，
所以，C正確．
對于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，顯然取不到等號，D錯誤．
故選：BC．
11．函數(shù)與的定義域為，且.若的圖像關(guān)于點對稱.則（ ）
A．的圖像關(guān)于直線對稱B．
C．的一個周期為4D．的圖像關(guān)于點對稱
【答案】AC
【分析】根據(jù)條件可得，即可判斷A，然后可得，即可判斷B，由條件可得，即可判斷C，舉特例可判斷D.
【詳解】A選項：由，得，又，
所以的圖像關(guān)于對稱，A選項正確；
B選項：由的圖像關(guān)于點對稱，得，由選項結(jié)論知，
所以，從而，故，
即的一個周期為4，
因為，
所以B選項錯誤；
C選項：由，及，
則，得，函數(shù)的周期為C選項正確；
D選項：取，又，
與的圖像關(guān)于點對稱矛盾，D選項錯誤，
故選：AC.
12．已知正方體的棱長為2，棱AB的中點為M，點N在正方體的內(nèi)部及其表面運動，使得平面，則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)最大時，MN與BC所成的角為
C．正方體的每個面與點N的軌跡所在平面所成角都相等
D．若，則點N的軌跡長度為
【答案】ACD
【分析】首先利用平面的基本性質(zhì)確定點所在平面，且面面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的一個法向量，應(yīng)用向量法求到面的距離，進而求三棱錐的體積判斷A；找到最大時MN與BC所成角的平面角即可判斷B；判斷，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可判斷C；N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，進而求周長判斷D.
【詳解】過中點作與交，作與交，重復(fù)上述步驟，
依次作的平行線與分別交于（注意各交點均為各棱上的中點），
最后依次連接各交點，得到如下圖示的正六邊形，
因為，面，面，
所以面，同理可得面，
因為，面，所以面面，
所以面中直線都平行于面，又面，且平面，
所以面，即面，
根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，且，，，，，，
A：由上分析知：面任意一點到面的距離，即為到面的距離，
而，，若為面的一個法向量，
所以，令，則，而，
所以到面的距離，即到面的距離為，
又△為等邊三角形，則，
所以三棱錐的體積為定值，正確；
B：由圖知：當(dāng)與重合時最大為，且，
所以MN與BC所成的角，即為，錯誤；
C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可，
又，同理可得，
所以正方體的每個面與點N的軌跡所在平面所成角都相等，正確；
D：若，則點N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，
因為面面，故也是面的法向量，而，
所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，
故點N的軌跡長度為，正確.
故選：ACD
三、填空題
13．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為______cm.
【答案】
【分析】以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到點的坐標(biāo)，代入求出參數(shù)的值，即可得解.
【詳解】如圖，以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.
故該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為cm.
故答案為：
14．萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為上的一點，則的最小值為______．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算及向量數(shù)量積的運算將所求式子表示為，再利用三角形的幾何意義求解即可.
【詳解】設(shè)為的中點，為的中點，如圖所示，
則
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以的最小值為：
.
故答案為：.
15．2022年12月7日為該年第21個節(jié)氣“大雪”．“大雪”標(biāo)志著仲冬時節(jié)正式開始，該節(jié)氣的特點是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷．“大雪”節(jié)氣的民俗活動有打雪仗、賞雪景等．東北某學(xué)生小張滾了一個半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對它進行切割，制作一個正六棱柱模型，設(shè)M為的中點，當(dāng)削去的雪最少時，平面ACM截該正六棱柱所得的截面面積為______平方分米．
【答案】
【分析】設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h，表示出球的內(nèi)接正六棱柱體積,利用導(dǎo)數(shù)求體積最大值,求得，，利用圖形找到截面，求截面面積.
【詳解】設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h．
若要使該正六棱柱的體積最大，正六棱柱應(yīng)為球的內(nèi)接正六棱柱中體積最大者，
所以，即，又，
所以該正六棱柱的體積為．
設(shè)，，則，令，得．
，解得，，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，時V取得最大值．
過M作，交于點P，交于點Q，則P，Q分別是，的中點，
又，所以，則矩形ACQP即為平面ACM截該正六棱柱所得的截面．
因為，且，
所以矩形ACQP的面積為．
故答案為：
16．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為______.
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得為周期為4的偶函數(shù)，進而有，目標(biāo)不等式化為，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可求解集.
【詳解】由為偶函數(shù)知：，又，
所以，即，故為周期為4的偶函數(shù)，
所以，
由可化為，
令，則，故在R上遞減，又即，
所以，可得解集為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先要推出為周期為4的偶函數(shù)，再將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性為關(guān)鍵.
四、解答題
17．在中，角的對邊分別為，已知，且.
(1)求的外接圓半徑；
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.
【詳解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因為，所以.
（2）由（1）可知：，則.
則.
在中，由正弦定理，
，所以，
則
，
又，所以，
所以，
，所以.
18．如圖，在三棱錐中，為的內(nèi)心，直線與交于，，.
(1)證明：平面平面；
(2)若，，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，先證明，從而可證得，從而可得點為的內(nèi)心，即兩點重合，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，再利用勾股定理求得，即可得的坐標(biāo)，再利用向量法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，
因為平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因為平面，所以平面，
又平面，所以，
在和中，因為，
所以，所以，
在和中，，
所以，所以，
即點到的距離相等，
同理點到的距離相等，
所以點為的內(nèi)心，所以兩點重合，
所以平面，
又因平面，
所以平面平面；
（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則
即，解得，
故，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，可取，
設(shè)平面的法向量，
則，可取，
則，
由圖可得二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
19．隨著國民旅游消費能力的提升，選擇在春節(jié)假期放松出行的消費者數(shù)量越來越多．伴隨著我國疫情防控形勢趨向平穩(wěn)，被“壓抑”已久的出行需求持續(xù)釋放，“周邊游”、“鄉(xiāng)村游”等新旅游業(yè)態(tài)火爆，為旅游行業(yè)發(fā)展注入新活力，旅游預(yù)訂人數(shù)也開始增多，為了調(diào)查游客預(yù)訂與年齡是否有關(guān)，調(diào)查組對400名不同年齡段的游客進行了問卷調(diào)查，其中有200名游客預(yù)定了，這200名游客中各年齡段所占百分比見圖：
已知在所有調(diào)查游客中隨機抽取1人，抽到不預(yù)訂的且在19~35歲年齡段的游客概率為．
(1)請將下列2×2列聯(lián)表補充完整．
能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為旅游預(yù)訂與年齡有關(guān)？請說明理由．
(2)將上述調(diào)查中的頻率視為概率，按照分層抽樣的方法，從預(yù)訂旅游客群中選取5人，在從這5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35歲年齡段的概率．
附：，其中．
【答案】(1)表格見解析，能在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為旅游頇訂與年齡有關(guān)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求，并與臨界值比較分析；
（2）根據(jù)分層抽樣求每層抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型運算求解.
【詳解】（1）預(yù)定旅游中，19－35歲年齡段的人數(shù)為：人，
18歲以下及36歲以上人數(shù)為人．
在所有調(diào)查對象中隨機抽取1人，抽到不預(yù)訂的旅游客群在19~35歲年齡段的人的概率為，
故不預(yù)訂旅游客群19~35歲年齡段的人為：人，
18歲以下及36歲以上人數(shù)為人．
所以列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)為：
，
則能在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為旅游頇訂與年齡有關(guān)．
（2）按分層抽樣，從預(yù)定旅游客群中選取5人，
其中在19－35歲年齡段的人數(shù)為，分別記為：A，B，C；18歲以下及36歲以上人數(shù)為2人，分別記為：a，b．
從5人中任取2人，則有：，共有10種情況
其中恰有1人是19－35歲年齡段的有：，共 6種情況，
故2人中恰有1人是19-35歲年齡段的概率為：．
20．已知數(shù)列的首項，前n項和為，且滿足．
(1)求及；
(2)若滿足，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）利用退位相減法，求得數(shù)列的遞推關(guān)系，進而判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，從而求得通項公式（2）利用（1）的結(jié)論，可求得以及，化簡，即可求解
【詳解】（1）由，得．
因為，所以．
又①，②，
①②得 即．
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
故．
（2）由（1）可得，
所以．
因此．令，得，
即，所以且，故的最大值為5．
21．已知函數(shù)
(1)若是的一個極值點，求的最小值；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最小值；
（2）方法一：求出的解析式，即可求出導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依題意可得，，即可得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍；
方法二：依題意可得有兩個解，利用同構(gòu)式，設(shè)函數(shù)，問題等價于方程有兩個解，由導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程有兩個解，設(shè)，，即有兩個解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以，
因為是函數(shù)的一個極值點，
所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，
所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，有極小值即最小值；
（2）方法一：因為，
所以，則在上單調(diào)遞增，
記，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
記，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以存在唯一的，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)有兩個零點，只需，
即，
又，即，
則，
設(shè)，則為增函數(shù)，，所以當(dāng)時，，
則，即，
令，，
則在上單增，由得，
所以，
所以的取值范圍是
方法二：若有兩個零點，
即有兩個解，
即有兩個解，
利用同構(gòu)式，設(shè)函數(shù)，
問題等價于方程有兩個解，
恒成立，即單調(diào)遞增，
所以，
問題等價于方程有兩個解，
即有兩個解，
設(shè)，，
即有兩個解，
令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點，
因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上遞增，在上遞減，
為了使有兩個零點，只需，
解得，即，解得，
由于，
所以在和內(nèi)各有一個零點．
綜上知的取值范圍是
【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
22．已知橢圓的離心率為，三點中恰有兩個點在橢圓上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若C的上頂點為E，右焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩點（與橢圓頂點不重合），直線EA，EB分別交直線于P，Q兩點，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對稱性得到和在C上，得到，再根據(jù)離心率得到答案；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算的橫坐標(biāo)，得到，設(shè)，，，計算最值即可.
【詳解】（1）由橢圓的對稱性可知點和在C上，代入方程得．
設(shè)C的半焦距為，則離心率為，所以，
所以，解得，以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，，，設(shè)直線．
由消去x得，
所以，
設(shè)點，直線EA的方程為，
由與聯(lián)立得，
同理可得．
所以
．
整理得，
因為點到直線的距離，
所以．
設(shè)，則，
所以，
當(dāng)，即時，．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了求橢圓方程，橢圓中的面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用換元法求最值是解題的關(guān)鍵.
預(yù)訂旅游
不預(yù)訂旅游
合計
19-35歲
18歲以下及36歲以上
合計
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
預(yù)訂旅游
不預(yù)訂旅游
合計
19~35歲
120
75
195
18歲以下及36歲以上
80
125
205
合計
200
200
400

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