1. 函數(shù)在處的瞬時變化率為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)瞬時變化率定義計算即可.
【詳解】增量為．
函數(shù)的平均變化率為，
而．．
故答案為：.
2. 若時，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得答案.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得
解得
故答案為：
3. 若向量是直線l的一個法向量，則直線l的傾斜角為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)法向量的定義，以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．
【詳解】因為向量是直線l的一個法向量，
所以直線l的斜率，設(shè)直線l的傾斜角為，
則，又，
所以直線l的傾斜角.
故答案為：.
4. 若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，求解即可.
【詳解】由方程表示焦點在軸上的雙曲線，
所以，解得，所以的取值范圍是．
故答案為：.
5. 若關(guān)于的不等式對于一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出分段函數(shù)的解析式，即可求出其最小值.
【詳解】時，，
時，，
時，，
則，
故，
故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
6. 若在上的最大值為，則實數(shù)的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】解方程可得出，分、兩種情況討論，結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍，即可得解.
【詳解】由可得，解得或，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由題意可得，此時，.
綜上，，因此，實數(shù)的最大值為.
故答案為：.
7. 若，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義求值.
【詳解】由題意：，
所以.
故答案為：
8. 已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，求出拋物線的方程，再利用拋物線的定義，即可求解.
【詳解】因為點在拋物線上，
所以，解得，
所以拋物線，其準線方程為，
所以點到拋物線焦點的距離是，
故答案為：.
9. 已知點，，若直線：上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由點到的軌跡為圓，問題轉(zhuǎn)換成直線與圓有交點即可求解；
【詳解】解：設(shè)點，
點，，，
，整理得，即點在圓 上，
又直線上存在點使得，
圓與直線有交點，
圓心到直線的距離，解得，即.
故答案為：
10. 若方程有且僅有一個實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_________.
【答案】或，
【解析】
【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導得函數(shù)的單調(diào)性，即可作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】由可得，
記，則，
故當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
又，且當，時，
故作出的大致圖象如下：
故有且僅有一個實數(shù)，則或，
故答案為：或，
11. “曼哈頓距離”是人工智能中常用的一種測距方式．定義平面上兩點，之間的“曼哈頓距離”為．對于平面上兩定點，，若動點滿足．記的軌跡為，則的面積為______．
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合對稱性只研究，，作出圖形即可得面積.
【詳解】由可得，即，
將代換，方程不變，可知曲線關(guān)于軸對稱；
將代換，方程不變，可知曲線關(guān)于軸對稱；
根據(jù)，對稱性可知，只需討論，即可．
此時，所以，
可得軌跡在第一象限內(nèi)與軸和軸所圍成的面積為，
所以的面積為．
故答案為：10.
點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)方程研究其對稱性，這樣只需研究，即可，分別理解和計算.
12. 已知復數(shù)滿足，（其中是虛數(shù)單位），則的最小值為______
【答案】6
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得點的軌跡是以為焦點的橢圓；設(shè)，則點的軌跡為射線，如圖，結(jié)合圖形可知取得最小值滿足題意，結(jié)合兩點坐標求距離即可求解.
【詳解】設(shè)，（其中是虛數(shù)單位），在復平面的對應(yīng)點，
則
，
即點的軌跡是以為焦點的橢圓，
且該橢圓的長軸在直線上，短軸在直線上．
長半軸長為，半焦距，短半軸長為．
因為，所以（當且僅當即時等號成立）．
設(shè)在復平面的對應(yīng)點為．
即點的軌跡為射線．如圖，

若使得最小，則需取得最小值，
即點為橢圓在第一象限內(nèi)的短軸端點，點為射線的端點時，最?。?br>．
故答案為：6
二、選擇題（第13、14題每題４分，第15、16題每題5分，滿分18分）
13. ，且下列式子有意義，則下列代數(shù)式中最小值為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.
【詳解】對于選項A，當時，，所以選項A錯誤，
對于選項B，易知，因為，
當且僅當，即時取等號，所以選項B正確，
對于選項C，易知，所以，則，
當且僅當，即時取等號，所以選項C錯誤，
對于選項D，易知，又，
當且僅當取等號，但無解，
所以，故選項D錯誤，
故選：B.
14. 若函數(shù)，則等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用復合函數(shù)求導法則求出導數(shù)，再代入求出導數(shù)值.
詳解】依題意，，所以.
故選：D
15. 如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根據(jù)對稱性排除CD，令，解方程排除B.
【詳解】顯然圖象關(guān)于y軸對稱，即把x換成方程不變，可知CD錯誤；
對于B：令，可得，解得或，不合題意；
故選：A.
16. 已知雙曲線，圓與軸的交點分別為的一個頂點和一個焦點，設(shè)分別為的左，右焦點，若為右支上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出雙曲線方程，令，根據(jù)雙曲線定義可得：，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.
【詳解】圓與軸的交點分別為
故，根據(jù)雙曲線定義得，即,
令，則，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
所以.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：先根據(jù)雙曲線定義得出，再換元令，得出所求式子關(guān)于參數(shù)t的表達式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果.
三、解答題（本大題共5題，滿分78分）
17. （1）已知關(guān)于，的方程組的解都為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
（2）已知，，，，試比較與大小，并說明理由.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)方程組將，的值解出來，再根據(jù)關(guān)于，的方程組的解都為正數(shù)，即可求出實數(shù)的取值范圍.
（2）利用做差，比較做差結(jié)果和0的大小關(guān)系，即可得到與的大小.
【詳解】（1）根據(jù)方程組，解得，
又因為關(guān)于，的方程組的解都為正數(shù)，
所以，解得，即，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（2）因為，，所以
又因為，，
所以，，，，
所以，即，
當且僅當時.
18. 已知函數(shù)，不等式的解集為.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若對，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由不等式與方程的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的解與系數(shù)關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值，可得答案.
【小問1詳解】
因為的解集為，
所以的兩根為和3，
所以解得.
【小問2詳解】
由（1）得，
，，即，
因為當時，單調(diào)遞增，
所以，即，解得.
19. 設(shè)為實數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求的值；
（2）求證：是增函數(shù)．
【答案】（1）2 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用，求出的值，驗證即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
【小問1詳解】
函數(shù)是奇函數(shù)，
則，解得，
經(jīng)檢驗，當時，，
則，則為奇函數(shù)，
所以的值為2.
小問2詳解】
由（1）可知，，設(shè)，
則，因為，
所以，，
故，即，
所以是上的增函數(shù).
20. 汽車的前燈、探照燈、反射式的天文望遠鏡以及日常生活中使用的手電筒，它們的反光鏡都是采用旋轉(zhuǎn)拋物面，即拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面. 這種反光鏡（拋物鏡面）有一個很好的光學特性：把光源放在拋物線的焦點處，經(jīng)鏡面反射后的光線變成了與對稱軸平行的光束.現(xiàn)用導數(shù)的幾何意義來證明這個性質(zhì). 如圖所示，不妨設(shè)拋物線的焦點為.
（1）求拋物線上任一點處的切線的方程，其中是該切線與軸的交點.
（2）證明：，并由此說明對于拋物鏡面來說，從焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)鏡面反射后的反射光線一定與該鏡面的對稱軸（軸）平行.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）通過求導確定切線斜率即可求出切線的方程.
（2）通過證明可得結(jié)論，利用角度轉(zhuǎn)化可得，即可說明從焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)鏡面反射后的反射光線一定與該鏡面的對稱軸（軸）平行.
【小問1詳解】
當點在軸上方時，由得，
∴，故在點P處切線的斜率為，
∴所求切線的方程為，
由得，.
當點在軸下方時，由得，
∴，故在點P處切線的斜率為，
∴所求切線的方程為，
由得，.
綜上得，當點在軸上方時，切線的方程為；當點在軸下方時，切線的方程為.
【小問2詳解】
不妨設(shè)點在軸上方，要證，即證.
在直線中，令，得，即，
∴，，
∴，故.
由鏡面反射得，，
∵，∴，
∴對于拋物鏡面來說，從焦點出發(fā)入射光線經(jīng)鏡面反射后的反射光線一定與該鏡面的對稱軸（軸）平行.
21. 已知拋物線的頂點為，過焦點的直線交拋物線于兩點．
（1）若，求線段中點到軸的距離；
（2）設(shè)點是線段上的動點，頂點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值；
（3）已知，過點作直線分別交拋物線于兩點，作直線分別交拋物線于兩點，且，設(shè)直線與直線的交點為，求直線的斜率．
【答案】（1）；
（2）16； （3）.
【解析】
【分析】(1) 由拋物線的定義及中點坐標公式即可求得；
(2) 由題可知和到直線的距離相等．聯(lián)立直線與拋物線方程，用韋達定理即可；
(3) 可設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，將其代入中即可得的方程，根據(jù)方程可看出直線恒過定點，同理直線也恒過定點，從而求得坐標，即可得斜率.
【小問1詳解】
設(shè)，因為過焦點的直線交拋物線于兩點，且，
所以由拋物線的性質(zhì)可得，即，
因此線段中點到軸的距離為.
【小問2詳解】
因為頂點關(guān)于點的對稱點為，所以和到直線的距離相等，
所以．
由題意可知直線的斜率不為，，設(shè)直線的方程為，
由得．
則，
因此，
故當時，四邊形面積取得最小值.
【小問3詳解】
由題意可知，直線的斜率不為，且點的橫坐標均不為，
設(shè)的方程為,
，整理得，
設(shè)，由韋達定理，
所以，同理，
因為，所以，
即，因此，
故的方程為，
從而直線恒過定點，同理，直線恒過定點，
所以，因此，即直線的斜率為.

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