一、單選題（本大題共8小題）
1．已知拋物線，則其焦點到準線的距離為（ ）
A．B．C．1D．4
2．如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．已知，則方程與在同一坐標系內(nèi)的圖形可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函數(shù)有兩個零點，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．小梁同學(xué)將個完全相同的球放入個不同的盒子中有種放法，小郅同學(xué)將個完全不同的球放入個相同的盒子中有種放法.若每個盒子中至少有一個球，則（ ）.
A．B．C．D．
7．如圖，直三棱柱的所有棱長均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點，若點P到平面的距離，則點P的軌跡是（ ）
A．圓的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
8．設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點B．若，則或2
C．當時，與的距離為D．若不經(jīng)過第三象限，則
10．已知圓，直線與交于兩點，點為弦的中點，，則（ ）
A．弦有最小值為B．有最小值為
C．面積的最大值為D．的最大值為9
11．已知正方體棱長為1，為棱中心，為正方形上的動點，則（ ）
A．滿足平面的點的軌跡長度為
B．滿足的點的軌跡長度為
C．存在點，使得平面經(jīng)過點
D．存在點滿足
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標
13．已知直線l經(jīng)過點P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是 ．
14．已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點分別為，，點A的坐標為，P為雙曲線右支上一動點，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在二項式的展開式中，第3項和第4項的系數(shù)比為．
(1)求n的值及展開式中的常數(shù)項是第幾項；
(2)展開式中系數(shù)最大的項是第幾項？
16．已知點A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在直線l：x-2y+2=0上.
(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；
(2)求△ABC的面積.
17．如圖，正方體的棱長為2，點E為的中點．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點到平面的距離．
18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且，點在棱上（不與點，重合）.

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.
19．已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在橢圓上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P，Q在橢圓上，O為坐標原點，且直線，的斜率之積為，求證：為定值；
（3）直線l過點且與橢圓交于A，B兩點，問在x軸上是否存在定點M，使得為常數(shù)？若存在，求出點M坐標以及此常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由題意，拋物線，即，解得，
即焦點到準線的距離是
故選：B
2．【答案】B
【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，則，而，，
于是得，
因此，，
所以與所成角的大小為.
故選：B
3．【答案】B
【詳解】由方程表示橢圓，可得，解得，
因為，
所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.
故選：B.
4．【答案】A
【詳解】解：由題意，當，時，方程表示焦點在軸上的橢圓，方程表示開口向左的拋物線，故排除選項C、D；
當，時，方程表示焦點在軸上的雙曲線，方程表示開口向右的拋物線，故排除選項B，而選項A符合題意，
故選：A.
5．【答案】C
【詳解】由題意可得，有兩個根，
由得，
所以曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），
直線過定點，
當直線與相切時，
圓心到直線的距離，
解得或（舍去），
當直線過點時，
直線斜率為，
結(jié)合圖形可得實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
6．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意將個完全相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子中至少有一個球，
利用隔板法共有種放法，所以；
將個完全不同的球放入個相同的盒子中，每個盒子中至少有一個球，
可以將個球分成組，有和兩種分組方法，
按分組時，有種放法，按分組時，有種放法，
所以，所以.
故選：B
7．【答案】D
【詳解】如圖，作，做，連接.
因幾何體為直三棱柱，則平面，又平面，
則，又平面，平面，
，則平面.
又由題可得平面，則.
因，，則.
又平面EPD，平面EPD，，
平面，平面，，
則平面EPD平面.
因平面平面EPD，平面平面，則.
故，結(jié)合平面，平面，可得
，則.又，則.
由題又有，結(jié)合，則，即為點P到直線距離.故點P到定點距離等于點P到直線距離，則點P軌跡為拋物線的一部分.
故選：D
8．【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，.進而在中，由余弦定理變形可得，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合已知，求解即可得出答案.
【詳解】
根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，
所以.
在中，，由余弦定理可得
，
整理可得，，
兩邊同時除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因為，所以，
所以，所以，，，
所以，.
則，
故.
故選：C.
9．【答案】ABC
【詳解】A.由得，
由得，直線始終過定點，選項A正確.
B.由得，解得或2，選項B正確.
C. 當時，：，即，：，
與的距離為，選項C正確.
D.當時，：，不經(jīng)過第三象限，選項D錯誤.
故選：ABC.
10．【答案】BCD
【詳解】圓的圓心，半徑，
直線過定點，
因為，所以點在圓內(nèi)，
所以直線與圓一定相交，
當點為弦的中點時，有最小值，
此時直線的斜率不存在，而直線的斜率一定存在，
所以，故A錯誤；
因為點為弦的中點，所以，即，
所以點的軌跡是以為直徑的圓(去除），圓心為，半徑為，
所以軌跡方程為，
因為，所以點在圓外，
所以的最小值為，故B正確；
對于C，，
要使面積取得最大值，只要點到直線的距離最大即可，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
所以點到直線的距離最大值為，
所以面積的最大值為，故C正確；
對于D，設(shè)，
聯(lián)立，得，
則，故，
所以點的坐標為，
則，
當時，，
當時，，
當時，，
當且僅當，即時，取等號，
綜上所述的最大值為9，故D正確.
故選：BCD.
11．【答案】ABD
【分析】對于A，利用線面平行的判定定理找出P的軌跡，進而求解判斷即可；
對于B，建立空間直角坐標系，找出A、M的坐標，設(shè)，由得，找出P的軌跡，進而求解判斷即可；
對于C，連接BM，取的中點H，連接AH、HM，得到平面ABM截正方體所得截面與正方形沒有交點，即可判斷；
對于D，借助空間直角坐標系，求得的最小值，即可判斷.
【詳解】如圖，以D原點，以所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則，設(shè)，()，
所以.
A：取的中點Q，的中點N，如圖，
因為點M為的中點，由正方體的性質(zhì)知，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又平面，
所以平面平面，由平面，得平面，
所以點P的軌跡為線段NQ，其長度為，故A正確；
B：由得，即，
又，所以點P的軌跡為線段EF，且，
則，即點P的軌跡長度為，故B正確；
C：如圖，連接BM，取的中點H，連接AH、HM，
則平面ABM截正方體所得截面為ABMH，與正方形沒有交點，
所以不存在點P，使得平面AMP經(jīng)過點B，故C錯誤；
D：由B知，點M關(guān)于平面的對稱點為，
所以當P、A、M三點共線時最小，即，
又，所以存在點P滿足，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】立體幾何中關(guān)于動點軌跡問題，常常結(jié)合線、面的判定定理和性質(zhì)尋求，或借助空間直角坐標系進行輔助計算求解.
12．【答案】
【詳解】空間向量，
則，，
則向量在向量上的投影向量的坐標為.
故答案為：.
13．【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0
【詳解】由已知條件知圓心(－1，－2)，半徑r＝5，弦長m＝8.
設(shè)弦心距是d，則由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝－4，圓心到直線的距離是3，符合題意．若l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，則d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，則直線l的方程為4x＋3y＋25＝0.所以直線l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.
14．【答案】
【詳解】解：如圖所示，
由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，
所以，，
即，，
所以雙曲線的方程為：，
所以，，，
由雙曲線定義得，
所以
，
當三點共線時，最小為
故.
故答案為：.
15．【答案】(1)，第17項
(2)第7項和第8項
【詳解】（1）二項式展開式的通項公式為．
因為第3項和第4項的系數(shù)比為，所以，
化簡得，解得，所以．
令，得，所以常數(shù)項為第17項．
（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，
解得．
因為，所以或，所以展開式中系數(shù)最大的項是第7項和第8項．
16．【答案】(1)
(2)2
【詳解】（1）解：由題意可知，為的中點，因為，，所以，，所以，
所在直線方程為，即．

（2）解：由 解得，所以，所以平行于軸，平行于軸，即，
，
．
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）如圖以點D為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
所以，
所以．
（2）設(shè)平面的一個法向量為，
又，，
則，
令，則，
又，則，
所以直線與平面的正弦值為．
（3）點到平面的距離為，
所以點到平面的距離為．
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)不能，理由見解析
【詳解】（1）因為平面，所以，，
又，則以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A0,0,0，B1,0,0，，D0,1,0，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，
所以平面平面.

（2）由（1）知是平面的一個法向量，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，即，
令，則，，所以，
所以，
又由圖可知二面角的平面角為銳角，
所以二面角的平面角的余弦值為.
（3）由（1）得，，，，
設(shè)，則，可得，
所以，
由（2）知是平面的一個法向量，
若平面，可得，則，該方程無解，
所以直線不能與平面垂直.
19．【答案】（1）； （2）20； （3），.
【詳解】（1）因為點T在橢圓上且，所以，；
將點代入橢圓得，解得，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，得，
所以，
又直線：，類似的可得
故而，為定值；
（3）當直線l與x軸不垂直時，設(shè)l：，設(shè)，，，
由得
又，
令得，此時，
當l與x軸垂直時，l：，，，又，有，
綜上，，.

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