一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．如圖，由觀測數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，
，則（ ）
A．B．C．1D．．
3．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡稱）的會(huì)徽圖案，會(huì)徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第個(gè)三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．下列說法中正確的有（ ）
A．已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；
B．若A、B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)；
C．設(shè)隨機(jī)變量，則；
D．某人參加一次游戲，游戲有三個(gè)題目，每個(gè)題目答對的概率都為0.5，答對題數(shù)多于答錯(cuò)題數(shù)可得4分，否則得2分，則某人參加游戲得分的期望為3
5．已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件互為對立事件B．
C．D．事件與事件相互不獨(dú)立
7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列
B．成等差數(shù)列，公差為－9
C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D．時(shí)，的最大值為33
8．設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，，則使的最大正整數(shù)的值為15
B．若是等比數(shù)列，（為常數(shù)），則必有
C．若是等比數(shù)列，則
D．若，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列
10．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約去電影院看春節(jié)檔熱映的《熱辣滾燙》、《飛馳人生、《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部．記事件為“恰有兩名同學(xué)所看電影相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人看《飛馳人生”，則（ ）
A．四名同學(xué)看電影情況共有種
B．“每部電影都有人看”的情況共有72種
C．．
D．“四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是
11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且
B．令，則函數(shù)無零點(diǎn)
C．若恒成立，則
D．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使的最小正整數(shù)的值是______．
13．函數(shù)．對于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．
14．已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．甲從A盒、乙從B盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入B盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，B盒中恰有7個(gè)球的概率是_______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（15分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
①求；
②若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．（15分）某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了解學(xué)生參加活動(dòng)的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在假期每周鍛煉的時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加鍛煉的數(shù)據(jù)，整理如下列聯(lián)表：
注：將一周參加鍛煉時(shí)間不小于3小時(shí)的稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．
（1）請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）將一周參加鍛煉為0小時(shí)的稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學(xué)中有5人“極度缺乏鍛煉”．以樣本頻率估計(jì)概率．若在全校抽取20名同學(xué)，設(shè)“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差；
（3）將一周參加鍛煉6小時(shí)以上的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”．在抽取的60名同學(xué)中有10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”，其中有7名男生，3名女生．為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
18．（17分）已知函數(shù)，常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值-2，求函數(shù)的極大值．
（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)為的“類優(yōu)點(diǎn)”，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，
①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
②求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（17分）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”．
（1）已知等比數(shù)列滿足：．求證：數(shù)列為“數(shù)列”；
（2）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)為正整數(shù)，若存在“-數(shù)列”（），對任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求的最大值．
高二數(shù)學(xué)聯(lián)考試題參考答案
一、單選題
二、多選題
三，填空題
15.【詳解】（1）由題意得，，
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，在上恒成立。
即在上恒成立．
令，當(dāng)時(shí)，，
所以，在上單調(diào)遞增，。
所以，，解得，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16.【詳解】（1）等差數(shù)列中，設(shè)公差為，
則
數(shù)列中的前項(xiàng)和為，且，①
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，②
②-①得：，
故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以．
（2）數(shù)列中，，
則，
所以，
對恒成立，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為．
17.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；
零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1．
（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，
易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，
故，
．
（3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值為，
且服從超幾何分布：
故所求分布列為
可得
18.【詳解】（1）由題意，，得，
此時(shí)
令，得或，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在與上單調(diào)遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，有極大值
（2）①
，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
②若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，
令常數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，恒有，
又，且
令，得或
則當(dāng)時(shí)，在上遞增。
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，恒有成立
當(dāng)時(shí)，由，得，
在上遞減，。
所以在，不成立。
當(dāng)時(shí)，由，得，
在上遞減，
所以在，不成立。
綜上可知，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)
19.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以
由，得，解得，
因此數(shù)列為“—數(shù)列”；
（2）①由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
整理得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
②由①知，，
因?yàn)閿?shù)列為“—數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，
因?yàn)?，所以，其中?br>當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)，則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>取，當(dāng)時(shí)，，即，
令，則，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，則，
即在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，
則，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分別取，得，且，從而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值為5．性別
不經(jīng)常鍛煉
經(jīng)常鍛煉
合計(jì)
男生
7
女生
16
30
合計(jì)
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
A
C
D
C
9
10
11
BD
ACD
ABD
12
13
14
10
性別
不經(jīng)常鍛煉
經(jīng)常鍛煉
合計(jì)
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合計(jì)
21
39
60
0
1
2
3

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