考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)定義域可化簡(jiǎn)集合B，然后由交集定義可得答案.
【詳解】.
則.
故選：B
2. 已知i為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
3. 已知兩個(gè)變量x和y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由它計(jì)算出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差為0.12（殘差=觀測(cè)值-預(yù)測(cè)值），則（ ）
A. 0.28B. 0.56C. 0.34D. 0.48
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)回歸直線估計(jì)得出預(yù)測(cè)值，再殘差計(jì)算求解計(jì)算求參.
【詳解】因?yàn)閥關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
所以預(yù)測(cè)值為，又因?yàn)闅埐?觀測(cè)值-預(yù)測(cè)值，
所以，
所以.
故選：B.
4. 若直線：與直線：平行，則這兩條直線間的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直線平行求出參數(shù)k，再由兩平行直線的距離公式即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，
所以，所以，
所以直線：即，
所以這兩條直線間的距離為.
故選：B.
5. 已知等比數(shù)列的公比為q，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列列方程，由此求得的值.
【詳解】由于，
若，則，
而，則，所以不符合題意.
當(dāng)且時(shí)，，
即，
即，
則.
故選：A
6. 記為的內(nèi)角的對(duì)邊，則“為直角三角形”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦化簡(jiǎn)確定三角形形狀，再利用充分條件、必要條件的定義判斷.
【詳解】在中，由及正弦定理，得
，則，
而，則，兩邊平方整理得，而，
于是，，因此為直角三角形；
反之，為直角三角形，或或，
所以“為直角三角形”是“”的必要不充分條件，B正確.
故選：B
7. 2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國(guó)歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合以獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由獨(dú)立重復(fù)事件概率公式即可求解；
【詳解】由題意“莎頭”組合以獲勝，即前四局勝三局，負(fù)一局，第五局獲勝，
所以獲勝概率為：，
故選：D
8. 已知過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn).若A，B的橫坐標(biāo)分別為.則（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去并寫出韋達(dá)定理，代入所求代數(shù)式，可得答案.
【詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立可得，消去可得，
由，
則，，
所以.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面平行性質(zhì)可得A正確，再由線面垂直、面面垂直性質(zhì)可得B正確，根據(jù)線面平行性質(zhì)可判斷C錯(cuò)誤，D正確.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得若，則，即A正確；
對(duì)于B，易知若可得或，又可知，即B正確；
對(duì)于C，若，則或，因此C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如果直線平行于平面和，且和的交線為，那么直線必須平行于；
假設(shè)不平行于，它必將與其中一個(gè)平面相交，這與平行于兩個(gè)平面的條件相互矛盾，
所以若，則，故D正確。
故選：ABD
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（ ）
A. 的最小值為
B. 的最大值為2
C. 的最大值為
D. 的最小值為
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式結(jié)合相關(guān)變式即可求解.
【詳解】由，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
則的最小值為，故A正確；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則的最大值為2，故B正確；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則的最大值為1，故C錯(cuò)誤；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則的最小值為2，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是的一個(gè)周期
B. 是非奇非偶函數(shù)
C. 的最小值為
D. 關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的周期性檢驗(yàn)，可得A的正誤；結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性檢驗(yàn)，可得B的正誤；根據(jù)三角函數(shù)取得最值得條件檢驗(yàn)，可得C的正誤；先對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，可得D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，由
，則不是函數(shù)的一個(gè)周期，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，則其定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號(hào)成立；
，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號(hào)成立，
由，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，
則，
可得，整理可得，
解得或，，
化簡(jiǎn)可得或，，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知隨機(jī)變量與服從正態(tài)分布，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由正態(tài)分布的特征求解即可.
【詳解】解：設(shè)，
則，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得.
故答案：
13. 若非零向量與單位向量共線，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線得，將兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)求出即可求解.
【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄颗c單位向量共線，則，且，
因?yàn)?，則，即，
整理得，解得（舍）或，
所以.
故答案為：.
14. 如圖，已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體的體積為四面體體積的，則______，的最小值為______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)體積關(guān)系可得的面積，由三角形面積公式和余弦定理，使用基本不等式可得.
【詳解】因?yàn)?，則，
記，
因?yàn)椋础?br>又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).
所以a的最小值為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)
（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求a與b的值；
（2）若在處有極值，求a與b的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，由函數(shù)解析式求得切點(diǎn)，根據(jù)切線方程，建立方程組，可得答案；
（2）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式，建立方程組，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，，
因?yàn)榍芯€方程為，
所以，解得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)在處有極值
且或
恒成立，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，
此時(shí)1是極值點(diǎn)，滿足題意，
所以.
16. 如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，M為棱PC的中點(diǎn).
（1）證明：平面PAD；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位線與平行四邊形的性質(zhì)，可得線線平行，根據(jù)線面平行的判定，可得答案；
（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：
為棱的中點(diǎn)，，
，
四邊形是平行四邊形，，
又平面平面，
平面.
【小問(wèn)2詳解】
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
，又，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：
則，
為棱的中點(diǎn)，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，,
平面的一個(gè)法向量為，
，
則二面角的正弦值為.
17. 隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對(duì)AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取了200名教師，對(duì)使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計(jì)如下：
在上述樣本所有使用3種AI大模型40人中，統(tǒng)計(jì)使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
用頻率估計(jì)概率.
（1）從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，估計(jì)至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
（2）從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機(jī)選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（3）從該地區(qū)男，女教師中各隨機(jī)選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為，比較的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【答案】（1）
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
（3）
【解析】
【分析】（1）用樣本頻率估計(jì)總體概率即可求解；
（2）用樣本頻率估計(jì)概率，求出“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機(jī)選1人，該人使用模型B”的概率為，則被抽取的人數(shù)，由二項(xiàng)分布概率公式即可求解；
（3）求出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，利用期望公式分別求出的數(shù)學(xué)期望，再比較大小即可.
【小問(wèn)1詳解】
記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，至少使用兩種AI大模型”，
則估計(jì).
【小問(wèn)2詳解】
記事件為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機(jī)選1人，該人使用模型B”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，.
的可能取值為，
，
，
．
.
的分布列為
.
小問(wèn)3詳解】
由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120，
則易求，
，故.
18. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求C的方程；
（2）若斜率為1的直線與C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求l的方程；
（3）橢圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)與外接圓的半徑分別為，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得，結(jié)合離心率算出a、b即可求解；
（2）設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解即可；
（3）設(shè)直線PA的方程為，直線PB的方程為，進(jìn)而求出，再由正弦定理知，，再結(jié)合基本不等式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，將代入橢圓方程得，
又，解得，
故橢圓的方程為
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)l的方程為，則.
聯(lián)立方程組，整理得，
則，即，
所以，
則，
解得，滿足題設(shè)，
所以l的方程為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)直線PA的方程為，則直線PB的方程為.
令，得，同理得，則.
在中，由正弦定理知，
同理可得.
因?yàn)?，所以?br>從而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.
19. 若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù).
（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)積為，即，求；
（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求使的n的最小值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3），n的最小值為2025.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“平方遞推數(shù)列”的定義列方程，再結(jié)合對(duì)于運(yùn)算以及等比數(shù)列的知識(shí)來(lái)證得結(jié)論成立.
（2）先求得，然后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式來(lái)求得.
（3）先求得，利用分組求和法求得，由此化簡(jiǎn)不等式來(lái)求得的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得：，即，則是“平方遞推數(shù)列”.
對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
.
【小問(wèn)3詳解】
，
，
又，即，
又，所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：遇到證明數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，先根據(jù)已知條件找到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，再通過(guò)變形和相關(guān)定義進(jìn)行證明.
求對(duì)數(shù)形式的數(shù)列前項(xiàng)積的對(duì)數(shù)，先將其轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的和，再結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)和求和公式計(jì)算.
對(duì)于由等差數(shù)列和等比數(shù)列組成的數(shù)列求和，采用分組求和法，求解不等式時(shí)結(jié)合數(shù)列特點(diǎn)和取值范圍確定的值.使用AI大模型的種數(shù)
性別
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
AI大模型種類
A
B
C
D
人次
32
30
30
28
0
1
2
3

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