考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．橢圓：的焦點在軸上，其離心率為，則（ ）
A．橢圓的短軸長為B．橢圓的長軸長為4
C．橢圓的焦距為4D．
2．設(shè)，則等于（ ）
A．1B．2C．D．5
3．為支援邊遠(yuǎn)地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生主動要求赴西部某地區(qū)三所不同的學(xué)校去支教，每個學(xué)校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有
A．180種B．150種C．90種D．114種
4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則等于（ ）
A．45B．60C．75D．90
5．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（ ）
A．B．C．D．
6．盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個，則概率是的事件為（ ）
A．恰有1個是壞的B．4個全是好的
C．恰有2個是好的D．至多有2個是壞的
7．盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)記為，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列分別如下，則( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．若(a+b)n（）的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則的可能取值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．事件與事件相互獨立D．、、兩兩互斥
11．2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標(biāo)賽，是揚州首次承辦高規(guī)格、大規(guī)模的國際體育賽事.運動會組織委員會欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊的隊長，下列說法正確的有（ ）
A．設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A，則
B．設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件B，則
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．某同學(xué)10次考試的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x如下表所示．
已知y與x線性相關(guān)，且y關(guān)于x的回歸直線方程為，則下列說法正確的是 ．
①；②y與x正相關(guān)；③y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)；④若數(shù)學(xué)成績每提高5分，則物理成績估計能提高5.5分．
13．甲、乙兩人同時參加當(dāng)?shù)匾粋€勞動實踐活動，該活動有任務(wù)需要完成，甲、乙完成任務(wù)的概率分別為0.7，0.8，且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)藬?shù)為，則 .
14．某學(xué)校有，兩家餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，某班學(xué)生第1天午餐時選擇餐廳和選擇餐的概率均為.如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，則某同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為 ；假設(shè)班內(nèi)各位同學(xué)的選擇相互獨立，隨機(jī)變量為該班3名同學(xué)中第2天選擇餐廳的人數(shù)，則隨機(jī)變量的均值 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知數(shù)列的前項和為
(1)當(dāng)取最小值時，求的值； (2)求出的通項公式.
16．（15分）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（3）如果其中某2道工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？
（4）如果其中某2道工序不能相鄰，那么有多少種加工順序？
17．（15分）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園?場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風(fēng)景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)？
(2)現(xiàn)從50歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于5小時，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，再從這8人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于5小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
18．（17分）袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球．某人進(jìn)行摸球游戲，一輪摸球游戲規(guī)則如下：①每次從袋中摸取一個小球，若摸到紅球則放回袋中，充分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時本輪摸球游戲結(jié)束．
(1)求一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次的概率；
(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結(jié)束時，此人總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．（17分）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，右頂點為A，且，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)已知點，M，N是曲線C上兩點（點M，N不同于點A），直線分別交直線于P，Q兩點，若，證明：直線過定點.
撫順一中2024-2025學(xué)年度高二年級下學(xué)期期初測試
數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
12．①②④
13．1.5
14．
15．（1）因為，
所以，又，
所以或時，取最小值時，最小值為；……………………………………5分
（2）因為，
所以，當(dāng)時，，
所以.……………………………………………………8分
當(dāng)時，，
所以.……………………………………………………13分
16．（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序.……………………………………………………3分
（2）先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，有種不同的排法，再將剩余的3道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序.……………………………………………………7分
（3）先排這2道工序，有種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有種不同的排法，故共有種加工順序；.………………………11分
（4）先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空，有種不同的排法，所以共有種加工順序，.…………………………… 15分
17．（1）零假設(shè)周平均鍛煉時長與年齡無關(guān)聯(lián).
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，.……………………………………5分
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01..……………7分
（2）解：抽取的8人中，周平均鍛煉時長少于5小時的有人，不少于5小時的有人，則所有可能的取值為，.………………………………………8分
所以；.……………11分
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望.……………………………………15分
18．（1）設(shè)一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次為事件A，記第i次（，2，3）摸到紅球為事件，
則事件，
顯然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因為每次摸到紅球后放回，所以，，，
所以，..………………………………………………8分
（用對立事件計算也可）
（2）依題意，X的可能取值為2，3，4，5，
，.……………………………………………………9分
.……………………………………………………10分
.…………………………11分
，.……………………………………………12分
所以，一輪摸球游戲結(jié)束時，此人總得分X的分布列為：
.………………………………………………17分
19．（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意得，
解得，
故C的方程為..……………………………………………………5分
（2）證明：由題意可知直線的斜率不為0，否則將位于x軸同側(cè)，，不合題意；
設(shè)的方程為（），代入，
得，
由，得，
設(shè)，，則，，.………………………………………8分
所以，
，
直線AM的方程為，令，得，故，
同理可求，.……………………………………………………10分
所以，，
由，得，
即，
所以，.……………………………………………………15分
所以，解得，（舍），
所以直線MN的方程為，故直線MN過定點..……………………………17分
0
1
2
P
0
1
2
P
數(shù)學(xué)成績x
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
物理成績y
80
87
75
a
100
79
93
68
85
77
周平均鍛煉時間少于5小時
周平均鍛煉時間不少于5小時
合計
50歲以下
80
120
200
50歲以上（含50）
50
150
200
合計
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
B
C
C
A
ABC
BD
題號
11









答案
BD









1
2
3
X
2
3
4
5
P

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