考點(diǎn)梳理
1. 代數(shù)式(6年6考)
2. 整式的有關(guān)概念(6年2考)
(1)整式有關(guān)概念
(2)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的③ 也相同的項(xiàng).所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)
3. 整式的運(yùn)算(6年4考)
(1)冪的運(yùn)算
(2)整式的運(yùn)算
①整式的加減，可歸結(jié)為去括號與合并同類項(xiàng)
②單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為積的因式
③多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(3)乘法公式平方差公式:(a＋b)(a－b)＝④ 完全平方公式:(a±b)2＝⑤
4. 因式分解(6年2考)
(1)概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式
(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2
5. 非負(fù)數(shù)(6年2考)
(1)常見的非負(fù)數(shù)類型有a2，｜b｜，c(c≥0)
(2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0，如：若a2＋｜b｜＋c＝0，則有a2＝0，｜b｜＝0，c＝0，即a＝b＝c＝0
練考點(diǎn)
1. 下列對代數(shù)式－3x的意義表述正確的是( )
A. －3與x的和
B. －3與x的差
C. －3與x的積
D. －3與x的商
2. (1)已知x＝－1，則x2＋2x＝ ；
(2)已知2a－b＝1，則代數(shù)式8a－4b＋2的值為 .
3. 已知一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是2，次數(shù)是3，則這個(gè)單項(xiàng)式可以是( )
A. 3x2 B. 2 m3n
C. －2x2y D. 2a3
4. 13x3y2是 次單項(xiàng)式.
5. 計(jì)算：
(1)－2x＋x＝ ；
2x3－x3＝ ；
(2)x·x3＝ ；
x8÷x2＝ ；
(3)(－2x2)3＝ ；
(4)2x2·(x－1)＝ ；
(5)(x－1)(2x＋1)＝ ；
(6)(x＋2)2＝ ；
(x＋2)(x－2)＝ .
6. 分解因式：
(1)x2－xy＝ ；
(2)2x2－8＝ ；
(3)x2＋4x＋4＝ .
7. (1)若｜x－1｜＋y－1＝0，則x＋2y的值為 ；
(2)若x2＋1＋y+2＝1，則xy的值為 ；
(3)2－x＋x－2＝0，則x的值為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 列代數(shù)式及求值(6年6考)
例1 (人教七上習(xí)題改編)根據(jù)題意列代數(shù)式：
(1)原量a增加10％為 ；比原量a的n倍多m為 ；
(2)原價(jià)a的8折為 ；
(3)x個(gè)單價(jià)為a元的商品與y個(gè)單價(jià)為b元的商品總價(jià)為 元；
(4)每天完成的工作量為a，則要完成m的工作量所需天數(shù)為 ；
(5)一月份的產(chǎn)值為a萬元，二月份的產(chǎn)值比一月份減少了m％，三月份的產(chǎn)值比二月份增加了n％，則三月份的產(chǎn)值為 萬元.
例2 求下列代數(shù)式的值：
(1)已知x2＋x－2＝0，則2x2＋2x的值 ；
(2)已知x＋y＝3，xy＝2，則(x－y)2的值為 ；
(3)(2024成都)若m，n為實(shí)數(shù)，且(m＋4)2＋n－5＝0，則(m＋n)2 的值為 .
考點(diǎn)2 整式的有關(guān)概念(6年2考)
例3 (2024佛山南海區(qū)一模)單項(xiàng)式43πr3表示球的體積，其中π表示圓周率，r表示球的半徑，下列說法正確的是( )
A. 系數(shù)是43，次數(shù)是3 B. 系數(shù)是43π，次數(shù)是3
C. 系數(shù)是43，次數(shù)是4 D. 系數(shù)是43π，次數(shù)是4
變式1 (2024廣元)如果單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)(m，n)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
考點(diǎn)3 整式的運(yùn)算(6年4考)
例4 (2024煙臺)下列計(jì)算結(jié)果為a6的是( )
A. a2 ·a3 B. a12÷a2 C. a3＋a3 D. (a2)3
例5 (人教七上習(xí)題改編)計(jì)算：
(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；
已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.
考點(diǎn)4 因式分解(6年2考)
例6 (北師七上習(xí)題改編)因式分解：
(1)4ax2－ay2＝ ；
(2)4xy2－4x2y－y3＝ ；
(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝ .
變式2 (2024中山模擬)下列因式分解正確的是( )
A. x2－x＝x(x＋1) B. a2－3a－4＝a(a－3)－4
C. a2＋b2－2ab＝(a＋b)2 D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
考點(diǎn)5 規(guī)律探索(2019.16)
例7 根據(jù)下列數(shù)式規(guī)律，回答問題：
(1)等差類有一列數(shù)1，3，5，7，9，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是 ；
(2)等比類有一列數(shù)3，9，27，81，243，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是 ；
(3)遞增類有一列數(shù)1，2，4，7，11，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是 ；
(4)周期類有一列數(shù)－1，1，－1，1，－1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是 ；
(5)平方類按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，4a3，9a4，16a5，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是 .
例8 根據(jù)下列圖形規(guī)律，回答問題：
(1)圖形個(gè)數(shù)固定累加把白色正方形按圖①所示的規(guī)律拼圖案，則第5個(gè)圖案中白色正方形的個(gè)數(shù)是 ；
例8題圖①
(2)圖形個(gè)數(shù)遞增累加如圖②都是由同樣大小的圓點(diǎn)按一定規(guī)律組成，則第8個(gè)圖形中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ；
例8題圖②
(3)圖形個(gè)數(shù)為兩種變化之和如圖③都是由同樣大小的正三角形按照一定規(guī)律組成，則第n個(gè)圖形中正三角形的個(gè)數(shù)是 .
例8題圖③
真題及變式
命題點(diǎn)1 代數(shù)式求值(6年5考)
1. (2021廣東5題3分)若｜a－3｜＋9a2－12ab+4b2＝0，則ab＝( )
A. 3 B. 92 C. 43 C. 9
2. (2020廣東13題4分)若a－2＋｜b＋1｜＝0，則(a＋b)2 020＝ .
3. (2020廣東14題4分·人教八上習(xí)題改編)已知x＝5－y，xy＝2.計(jì)算3x＋3y－4xy的值為 .
4. (2021廣東15題4分·北師八下習(xí)題改編)若x＋1x＝136且0＜x＜1，則x2－1x2＝ .
變式
4.1 變思維方式——直接平方變?yōu)榛喓笳w帶入
已知1y－1x＝1x－y，那么yx＋xy的值為 .
命題點(diǎn)2 整式的有關(guān)概念(6年2考)
5. (2022廣東12題3分)單項(xiàng)式3xy的系數(shù)為 .
6. (2020廣東12題4分)如果單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，那么m＋n＝ .
命題點(diǎn)3 整式的運(yùn)算(6年4考)
7. (2024廣東5題3分)下列計(jì)算正確的是( )
A. a2·a5＝a10 B. a8÷a2＝a4
C. －2a＋5a＝7a D. (a2)5＝a10
8. (2021廣東4題3分·人教八上習(xí)題改編)已知9m＝3，27n＝4，則32m＋3n＝( )
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. (2020廣東18題6分·人教八上習(xí)題改編)先化簡，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝2，y＝3.
命題點(diǎn)4 因式分解(6年2考)
10. (2023廣東11題3分)因式分解：x2－1＝ .
11. (2020廣東11題4分)分解因式：xy－x＝ .
命題點(diǎn)5 規(guī)律探索(2019.16)
12. (2019廣東16題4分)如圖①所示的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長度如圖所示，小明按圖②所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖形(圖①)拼出來的圖形的總長度是 (結(jié)果用含a，b代數(shù)式表示).
第12題圖
拓展訓(xùn)練
13. (2024東莞模擬)如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…，在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A2019B2019A2020的邊長為 .
第13題圖
新考法
14. [代數(shù)推理](2024珠海模擬)杰杰是一位密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分別對應(yīng)下列六個(gè)字：海、愛、我、珠、麗、美，現(xiàn)將(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是( )
A. 我愛美 B. 珠海美麗 C. 愛我珠海 D. 美我珠海
15. [數(shù)形結(jié)合](北師七下復(fù)習(xí)題改編)如圖①，有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖②所示，將A，B并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖③所示.若圖②和圖③中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為( )
第15題圖
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
16. [跨信息技術(shù)學(xué)科] 日常生活中我們常使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，而計(jì)算機(jī)程序使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)(只有數(shù)碼0和1)，它們兩者之間可以互相換算，如將二進(jìn)制數(shù)1 001記為(1 001)2，換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9，按此方式，將二進(jìn)制(101)2換算成十進(jìn)制數(shù)為 .
考點(diǎn)精講
①乘積 ②3 ③指數(shù) ④a2－b2 ⑤a2±2ab＋b2
練考點(diǎn)
1. C
2. (1)－1；(2)6
3. D
4. 5
5. (1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；x2－4
6. (1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2
7. (1)3；(2)0；(3)2
高頻考點(diǎn)
例1 (1)a(1＋10％)；an＋m；
(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4)ma；
(5)a(1－m％)(1＋n％)
例2 (1)4； 【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2＝4.
(2)1； 【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴當(dāng)x＋y＝3，xy＝2時(shí)，原式＝32－4×2＝9－8＝1.
(3)1 【解析】∵(m＋4)2＋n－5＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1.
例3 B 【解析】43πr3的系數(shù)是43π，次數(shù)是3.
變式1 D 【解析】∵單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，∴單項(xiàng)式－x2my3與單項(xiàng)式2x4y2－n是同類項(xiàng)，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝－1，∴點(diǎn)(m，n)在第四象限.
例4 D 【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A選項(xiàng)不符合題意；B.a12÷a2＝a12－2＝a10，故B選項(xiàng)不符合題意；C.a3＋a3＝2a3，故C選項(xiàng)不符合題意；D.(a2)3＝a2×3＝a6，故D選項(xiàng)符合題意.
例5 解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x
＝1＋2x；
(2)原式＝y(tǒng)2－2x2＋2x2－xy＝y(tǒng)2－xy，
∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.
例6 (1)a(2x＋y)(2x－y)；
(2)－y(2x－y)2；
(3)(p＋2)(p－2)
【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).
變式2 D 【解析】A.原式＝x(x－1)，故本選項(xiàng)不符合題意；B.原式＝(a－4)(a＋1)，故本選項(xiàng)不符合題意；C.原式＝(a－b)2，故本選項(xiàng)不符合題意；D.原式＝(x＋y)·(x－y)，故本選項(xiàng)符合題意.
例7 (1)2n－1；(2)3n；(3)12n2－12n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1
例8 (1)18；(2)36；(3)3n＋2
真題及變式
1. B 【解析】∵｜a－3｜＋9a2－12ab+4b2＝｜a－3｜＋(3a－2b)2＝0，∴a－3=03a－2b=0，解得a＝3b＝332，∴ab＝3×332＝92.
2. 1 【解析】∵a－2＋｜b＋1｜＝0，∴a－2=0b+1=0，解得a=2b＝－1，∴(a＋b)2 020＝(2－1)2 020＝1.
3. 7 【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
4. －6536 【解析】∵x＋1x＝136，∴(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝(136)2－4＝2536，∵0＜x＜1，∴x－1x＜0，∴x－1x＝－56，∴x2－1x2＝(x＋1x)(x－1x)＝136×(－56)＝－6536.
變式4.1 3 【解析】∵1y－1x＝1x－y，∴x－yxy＝1x－y，∴xy＝(x－y)2，∴yx＋xy＝x2＋y2xy＝(x－y)2+2xyxy＝3xyxy＝3.
5. 3
6. 4 【解析】∵單項(xiàng)式3xmy與－5x3yn是同類項(xiàng)，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. D 【解析】逐項(xiàng)分析如下：
8. D 【解析】32m＋3n＝32m·33n＝9m·27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，
當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，
原式＝2×2×3＝26.
10. (x－1)(x＋1)
11. x(y－1)
12. a＋8b 【解析】觀察圖形可知，2個(gè)基礎(chǔ)圖形拼接時(shí)，總長度是2a－(a－b)，3個(gè)基礎(chǔ)圖形拼接時(shí)，總長度是3a－2(a－b)，4個(gè)基礎(chǔ)圖形拼接時(shí)，總長度是4a－3(a－b)，…，∴9個(gè)基礎(chǔ)圖形拼接時(shí)，總長度是9a－8(a－b)＝a＋8b.
13. 22018 【解析】∵△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，均為等邊三角形，OA1＝1，∴△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，邊長分別為20，21，22，…，∴△A2019B2019A2020的邊長為22018.
14. C 【解析】原式＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)，由題意可知，(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)可以表示為愛我珠海.
15. C 【解析】設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，則題圖②中陰影部分的面積為(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在題圖③中陰影部分的面積為(a＋b)2－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
16. 5 【解析】(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝5.
代數(shù)式的概念
用加、減、乘、除及乘方等運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式
列代數(shù)式
找出問題中的數(shù)量關(guān)系及公式，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示
代數(shù)式求值
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值
(2)整體代入法(整體思想)：①觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系；
②將所求代數(shù)式變形后與已知代數(shù)式成倍數(shù)關(guān)系，一般會用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
單項(xiàng)式
概念：由數(shù)字與字母或字母的① 所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式；
單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；
單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和
多項(xiàng)式
概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；
多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如2x＋x2y的次數(shù)是②
運(yùn)算
文字表達(dá)
符號表示
同底數(shù)冪相乘
底數(shù)不變，指數(shù)相加
am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))
同底數(shù)冪相除
底數(shù)不變，指數(shù)相減
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)
冪的乘方
底數(shù)不變，指數(shù)相乘
(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))
積的乘方
積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘
(ab)n＝anbn(n為正整數(shù))
選項(xiàng)
逐項(xiàng)分析
正誤
A
a2·a5＝a2＋5＝a7≠a10
?
B
a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4
?
C
－2a＋5a＝3a≠7a
?
D
(a2)5＝a2×5＝a10
√

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