2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)講義第28講利用“將軍飲馬”解決線段最值問題（含解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2，1)， B?32,在x軸上找一點 P，使. PA+PB的值最小，求此時點P的坐標.
2.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1),B(2,4),在直線 x=3上找一點 P，使得 |PA?PB|的值最大，求 |PA?PB|的最大值.
3.如圖，在平面直角坐標系中， A?20,B13,，已知點 C是直線l:y=x上一動點,當 y=x AC+BC取得最小值時，求點 C的坐標.
4.如圖，已知直線 y=?x+4與y軸、x軸分別交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1).點 D,E分別是線段OB,AB上的動點,求 △CDE周長的最小值.
5.如圖，在平面直角坐標系中， A?3?1,B?1?3,,若D 是x軸上一動點，C 是y軸上一動點，求四邊形 ABCD 周長的最小值.
設(shè)問進階練
例如圖，拋物線 y=?x2+4x+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線l，頂點為點 D，點 C關(guān)于直線l的對稱點為點 E.
(1)如圖①，若點P是y軸上一動點，當. BP+PE取得最小值時，求點P的坐標；
(2)如圖②,連接CD,點Q是x軸上一動點,連接CQ,DQ,求 △CDQ周長的最小值；
(3)如圖③，若點M為y軸上一動點，點N為x軸上一動點，求四邊形 DENM 周長的最小值.

綜合強化練
1.如圖，拋物線 y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A,B(3,0)兩點(點A 在點B的左側(cè)),且. AB=4,與y軸交于點 C，拋物線的頂點為 D.
(1)求拋物線的解析式；
(2)求證: BC⊥CD;
(3)若點M為OB上一動點，點N為DB上一動點，是否存在點M，N使得 △CMN的周長最小?若存在，請求出點M，N的坐標及. △CMN周長的最小值；若不存在，請說明理由.
作圖區(qū) 答題區(qū)
2.如圖①,拋物線 y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于點A,B(1,0)(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，且 OA=3OC.
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖②,連接AC,BC,點M為 △ABC內(nèi)一點，連接MA，MC，分別以AM，AC為邊，在它們的上方作等邊 △AME,等邊 △ACF,連接EF,求證: EF=CM;
(3)在直線 BC上是否存在一點 P，使得 PA+PD的值最小?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
作圖區(qū) 答題區(qū)

考向3 利用“將軍飲馬”解決線段最值問題
一階方法突破練
1.解：作圖，確定線段和最小時動點的位置，如解圖，作點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A',連接 BA'交 x 軸于點P,點 P 即為所求,連接AP.
∵ 點 A 與點 A'關(guān)于x軸對稱,
∴AP=A'P,
∴PA+PB=PA'+PB=A'B.
此時 PA+PB 的值最小.
利用直線解析式求坐標.
∵A(2,1),∴A'(2,-1).
∵ B(-3,2),∴直線 BA'的解析式為 y=?35x+15.當y=0時,則 0=?35x+15,解得 x=13.
∴當PA+PB取得最小值時，點P的坐標為(( 13,0).
2.解：作圖，確定線段差最大時動點的位置.如解圖，連接 AB 并延長與直線x=3交于點P，點 P即為所求，此時|PA-PB|的值最大,最大值為AB的長，
利用勾股定理求線段的長.
∵A(1,1),B(2,4),
∴AB=1?22+1?42=10.
∴ |PA-PB|的最大值為 10.
3.解：如解圖，作點 A 關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B,交直線l于點 C',連接A'C,則 AC+BC=A'C+BC≥A'B,∴ 當 A',C,B 三點共線時,AC+BC的值最小，最小值為A'B 的長,此時點 C 與點 C'重合.
∵ 點 A 與點 A'關(guān)于直線 l:y=x對稱,A(-2,0),
∴A'(0,-2).
∵ B(1,3),∴直線A'B的解析式為y=5x-2.
聯(lián)立 y=5x?2y=x,解得 x=12y=12
∴當AC+BC取得最小值時，點C的坐標為 1212.4. 解:如解圖,作點C關(guān)于AB,OB的對稱點C',C",連接AC',C'E,C"D,C'C",C'C"分別交AB,OB 于點E',D',
則CE=C'E,CD=C"D,△CDE 的周長為 CE+CD+ DE=C'E+C''D+DE≥C'C''
∴當C',E,D,C''四點共線時,△CDE 的周長取得最小值,此時點 E 與點 E'重合,點 D 與點 D'重合,
∴△CDE周長的最小值即為C'C"的長.
∵ 直線y=-x+4,點 C(0,1),
∴AO=4,OC=1,∠OAB=45°,
∴AC=3,
∵ 點 C 關(guān)于 AB 的對稱點為點C',
∴∠C'AB=45°,AC'=AC=3,
∴∠CAC'=90°,
∵ 點 C 關(guān)于 OB 的對稱點為點 C",
∴CC"=2,
∴AC"=5,
∴ 在 Rt△C'AC"中, C'C''=AC'2+AC''2=34.
∴△CDE周長的最小值為 34.
5.解：如解圖，分別作點A關(guān)于x軸的對稱點E、點B關(guān)于y軸的對稱點 F，連接EF 交x軸于點 D'，交y軸于點 C',連接AD',BC'.在x軸,y軸上分別任取一點D,C,連接AD,BC,CD,則AD'=D'E,BC'=C'F,∴ AB + BC + CD + AD ≥ AB+BC'+C'D'+AD'=AB+ C'F+C'D'+D'E=AB+EF,∴ 當點 D,C 分別與點D',C'重合時,四邊形 ABCD的周長有最小值，最小值為AB+EF,
∵A(-3,-1),B(-1,-3),
∴E(-3,1),F(1,-3),
∴AB=22,EF=42,
∴AB+EF=62,
∴ 四邊形ABCD 周長的最小值為6 2.
二階設(shè)問進階練
例解：(1)如解圖①，作點E關(guān)于y軸的對稱點 E'，連接E'B 與 y 軸交于點 P,此時 BP+PE 取得最小值,為BE'的長,
根據(jù)題意,令x=0,則y=2,
∴C(0,2),令y=0,
解得 x=2+6或 x=2?6,
∴B2+60,
∵拋物線的對稱軸為直線 x=?42×?1=2,點 C 與點 E 關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴E(4,2),∴E'(-4,2),
∴直線BE'的解析式為 y=?6+615x+6+4615,當x=0時, y=6+4615,
∴當BP+PE 取得最小值時,點 P 的坐標為(0, 6+4615);
【一題多解】如解圖②，作點 B關(guān)于y軸的對稱點B',連接B'E 與y軸交于點 P,此時BP+PE 取得最小值,為 B'E 的長,根據(jù)題意,令x=0,則y=2,∴C(0,2),令y=0,解得. x=2+6或 x=2?6, ∴B2+60,∵ 拋物線的對稱軸為直線 x = ?42×?1=2,點 C 與點 E 關(guān)于拋物線對稱軸對稱,∴E(4,2),∵ 點 B 與點 B'關(guān)于 y 軸對稱, ∴B'?2?60,∴ 直線 B' E 的解析式為 y = 6?615x+6+4615,當x=0時. y=6+4615,：當 BP+PE取得最小值時，點P的坐標為 06+4615.
(2)∵CD長為定值,
∴當CQ+DQ 的值最小時,△CDQ的周長最小.
如解圖③，作點 C 關(guān)于x軸的對稱點 C'，連接C'D交x軸于點Q,連接CQ,此時CQ+DQ 的值最小,為C'D 的長,過點 D 作 DF⊥y軸于點 F.
由拋物線解析式可知頂點D(2，6)，
∴CF=4,DF=2,∴CD=CF2+DF2=25.
∵點 C 與點 C'關(guān)于x軸對稱,∴CQ=C'Q.
∴CQ+DQ=C'Q+DQ=C'D,
∵C(0,2),∴C'(0,-2),∴C'F=8.
∴C'D=C'F2+DF2=217,
∴△CDQ周長的最小值為 25+217;
【一題多解】∵ CD 長為定值,∴當CQ+DQ 的值最小時，△CDQ的周長最小.如解圖④，作點 D關(guān)于x軸的對稱點 D',連接 CD'交 x 軸于點 Q,連接DQ,此時,CQ+DQ 的值最小,為CD'的長,過點C作CH⊥DD'于點 H，由拋物線解析式可知頂點D(2,6),∴ D'(2,-6),∴CH=2,HD'=8,∴ CD'=CH2+HD'2=217,CD=CH2+DH2=2 5,∴△CDQ 周長的最小值為 25+217.
(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),
如解圖⑤，作點E關(guān)于x軸的對稱點 E'，作點 D 關(guān)于y軸的對稱點 D',連接D'E'交y軸于點 M',交x軸于 N',連接 DM',EN',則 DM' = D'M',EN'=E'N',∴D'(-2,6),E'(4,-2),
∵四邊形 DENM 的周長= DM+MN+NE+DE≥ DM'+M'N'+N'E+DE=D'M'+M'N'+N'E'+DE,
∴ 當點 M 在 M',點 N 在 N'時四邊形 DENM 的周長取得最小值,最小值為 D'E'+DE的長，
∵D'E'=10,DE=
2?42+6?22=25,
∴四邊形 DENM 周長的最小值為 10+25.
三階綜合強化練
1. (1)解:∵ 拋物線 y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于B(3,0),AB=4,∴A(-1,0),
∴將A，B兩點的坐標代入拋物線的解析式，
得 a?b+3=09a+3b+3=0,解得 a=?1b=2,
∴ 拋物線的解析式為 y=?x2+2x+3;
(2)證明：由(1)得拋物線的解析式為 y=?x2+2x+3,
∴ 拋物線的對稱軸為直線 x=?22×?1=1,C03,
∴拋物線頂點 D 的坐標為(1,4),
∴CD=1?02+4?32=2,
BC=3?02+0?32=32,
BD=1?32+4?02=25,
∴CD2+BC2=BD2,△BCD為直角三角形，
∴∠BCD=90°,∴BC⊥CD;
(3)解:存在.
如解圖，作點 C關(guān)于x軸的對稱點 C'，點 C 關(guān)于 BD的對稱點 C",CC"交 BD 于點 E,連接 C'C",分別交OB,BD于點M,N,
此時△CMN 周長最小,最小值為 CN+MN+MC= C''N+MN+C'M=C'C'',
由(2)得C(0,3),D(1,4),
∵B(3,0),
∴直線 BD的解析式為y=-2x+6①,
∴ 直線 CC"的解析式為 y=12x+3circle2,
聯(lián)立①②,得 ?2x+6=12x+3,
解得 x=65,∴y=185,
∴E65185,∴C''125215,
∵ 點 C 與點 C'關(guān)于x軸對稱,
∴C'0?3,∴C'C''=1252+215+32=12105,直線 C'C"的解析式為y=3x-3③,令y=0,解得x=1,∴M(1,0).
聯(lián)立①③得,-2x+6=3x-3,解得 x=95,∴y=125, ∴N95125.
綜上所述,當M(1,0),,N? 95 15,)時,此時△CMN的周長最小，最小值為 12105.
2. (1)解:∵拋物線 y=ax2+bx?3a≠0,
∴令x=0,解得 y=?3,∴C0?3,OC=3,
∵OA= 3OC,∴OA=3,∴A(-3,0),
∵B(1,0),
∴將A，B 兩點的坐標代入拋物線解析式，
得 9a?3b?3=0a+b?3=0,解得 a=33b=233
∴拋物線的解析式為 y=33x2+233x?3;
(2)證明:∵△AME 和△ACF為等邊三角形,
∴AE=AM,AF=AC,∠EAM=∠FAC=60°,
∴∠EAM-∠FAM=∠FAC-∠FAM,
∴∠EAF=∠MAC,∴△AEF≌△AMC,
∴EF=CM;
(3)解:存在.
如解圖，作點 A 關(guān)于直線 BC的對稱點A'，連接A'D，與直線BC 交于點 P,點 P 即為所求,連接PA,此時PA+PD 取得最小值，最小值為A'D 的長.
在Rt△AOC中,( OC=3,OA=3,∴∠ACO=60°,
在 Rt△BOC中,OC= 3,OB=1,
∴∠BCO=30°,
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°,
∴點A 和點 A'關(guān)于點 C對稱,∴A'(3,-2 3).
∵B(1,0),C(0,- 3),
∴直線 BC的解析式為 y=3x?3,
∵y=33x2+233x?3=33x+12?433,
∴ 點 D 的坐標為 ?1?433,
∴ 直線A'D 的解析式為 y=?36x?332,
聯(lián)立 y=?36x?332,y=3x?3 解得 x=?37y=1037
∴點P 的坐標為 ?371037.

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