一、單選題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知向量a=(?1,2),b=(1,?2λ)，若a/?/(a?b)，則實數(shù)λ的值為( )
A. 1B. 0C. 43D. ?23
2.已知向量a和b的夾角為60°，|a|=3，|b|=4，則(2a?b)?a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
3.設(shè)向量a=(x,1)，b=(1,? 3)，且a⊥b，則向量a? 3b與b的夾角為( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
4.已知|a|= 2，且a?b=?2，則向量b在向量a上的投影向量為( )
A. 12aB. 12bC. ?aD. ?b
5.滿足條件a=4,b=3 2,A=45°的三角形的個數(shù)是( )
A. 1個B. 2個C. 無數(shù)個D. 不存在
6.已知△ABC中，(BA+BC)?AC=0，|AB|AB|+AC|AC||= 3，則此三角形為( )
A. 直角三角形B. 等邊三角形C. 鈍角三角形D. 等腰直角三角形
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
7.下列說法不正確的是( )
A. 若a≠0,b≠0,a//b，則a與b的方向相同或者相反
B. 若a，b為非零向量，且a|a|=b|b|，則a與b共線
C. 若a//b，則存在唯一的實數(shù)λ使得a=λb
D. 若e1,e2是兩個單位向量，且|e1?e2|=1，則|e1+e2|= 2
8.如圖，在長方形ABCD中，AB=6，AD=4，點P滿足DP=λDC，其中λ∈[0,23]，則|PA+PB|的取值可以是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
9.如圖，在△ABC中，BD=λBC，其中λ∈[0,1],B=π6,AB=4,BC=5，則( )
A. 當(dāng)λ=23時，AD=23AC+13AB
B. 當(dāng)AB?BD=?2 3時，λ=15
C. 當(dāng)λ=1時，△ABD的面積最大
D. 當(dāng)λ=35時，AD⊥BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
10.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b與λa?b垂直，則λ等于______．
11.已知向量a=(1,0),b=(0,1).若向量ka+b與a+2b的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍為______．
12.正方形ABCD的面積為16，AM=MB，點N在線段CD上.若AM?AN=43|AM|2，則|AN|= ______．
四、解答題：本題共4小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
13.(本小題12分)
如圖所示，已知△AOB中，點C與點B關(guān)于點A對稱，OD=2DB，DC和OA交于點E，設(shè)OA=a，OB=b．
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE=λOA，求實數(shù)λ的值．
14.(本小題12分)
如圖，在長方形ABCD中，E為邊DC的中點，F(xiàn)為邊BC上一點，且CFCB=23.設(shè)AB=a,AD=b．
(Ⅰ)試用基底{a,b}，表示AE,EF；
(Ⅱ)若G為長方形ABCD內(nèi)部一點，且AG=34a+23b.求證：E，G，F(xiàn)三點共線．
15.(本小題12分)
已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且2b=c+2acsC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面積為4 33，a=3，求△ABC的周長．
16.(本小題12分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2),b=(csx2,?sinx2),x∈[0,π2]
(1)用含x的式子表示a?b及|a+b|；
(2)求函數(shù)f(x)=a?b?4|a+b|的值域；
(3)設(shè)g(x)=a?b+t|a+b|，若關(guān)于x的方程g(x)+2=0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．
參考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.CD
8.ABC
9.ABC
10.32
11.{k|k>?2，且k≠12}
12.4 133
13.解：(1)∵點C與點B關(guān)于點A對稱，
∴點A是線段BC的中點，
∴OA=12(OB+OC)，
即a=12(b+OC)，
解得OC=2a?b．
DC=DO+OC=?23OB+OC
=?23b+2a?b=2a?53b．
(2)∵C，E，D三點共線，
∴存在實數(shù)m使得
OE=mOC+(1?m)OD
=m(2a?b)+(1?m)?23b
=2ma+2?5m3b．
又OE=λOA=λa，
∴2m=λ2?5m3=0,
解得λ=45．
14.解：(Ⅰ)由題，AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a，
EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB?23AD=12a?23b．
(Ⅱ)AF=AB+BF=AB+13AD=a+13b，
AG=34a+23b=12(b+12a)+12(a+13b)=12AE+12AF，
∵12+12=1，
∴E，G，F(xiàn)三點共線．
15.解：(1)在△ABC中，2b=c+2acsC，由正弦定理得：2sinB=sinC+2sinAcsC，
而sinB=sin(π?A?C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
于是2sinAcsC+2csAsinC=sinC+2sinAcsC，即sinC=2csAsinC，
又C為三角形內(nèi)角，有sinC≠0，解得csA=12，A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)依題意，S△ABC=12bcsinA=12bc? 32=4 33，于是bc=163，
由余弦定理得，a2=b2+c2?2bccsA=(b+c)2?2bc?2bccsA，
即9=(b+c)2?3×163，解得b+c=5，
所以△ABC的周長為a+b+c=8．
16.

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