學(xué)校:_________姓名：_________班級：_________考號：__________
一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，
所以.
故選：A
2. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算判斷A，B，C，應(yīng)用乘法求導(dǎo)運(yùn)算判斷D.
【詳解】因?yàn)樗訟選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以D選項(xiàng)正確.
故選：D.
3. （ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算即可求解.
【詳解】.
故選：B
4. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識從而得到的圖像，從而求解.
【詳解】由題意知與軸有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，
當(dāng)，，當(dāng)，,
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，故A、C錯(cuò)誤；
在區(qū)間,單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤，故D正確.
故選：D.
5. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在上恒非負(fù)，根據(jù)恒成立的問題的辦法解決.
【詳解】，又在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，而時(shí)，易見，只需要即可，故.
故選：B.
6. 如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（ ）

A. 120B. 180C. 221D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色兩種情況討論，結(jié)合分布乘法原理即可得解.
【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，
Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，
Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法，
綜上共有種不同的著色方法.
故選：B.
7. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是其?dǎo)函數(shù)，若，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，求出，利用條件知，所以單調(diào)遞增，將轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】令，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而可化為，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，注意構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
8. 已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為
A. B. 或C. 或D. 或或
【答案】A
【解析】
【詳解】在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：
令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對任意，方程均有個(gè)根，故選A.
【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 .
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，則說法正確的是（ ）
A. A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法
B. A與同學(xué)不相鄰，共有種站法
C. A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法
D. A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法
【答案】ABD
【解析】
【分析】由定序排列即可判斷A；由插空法即可判斷B；由捆綁法即可判斷C；分類討論A的位置即可判斷D．
【詳解】對于A，將三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，
故A正確；
對于B，先排，共有種站法，A與同學(xué)插空站，有種站法，
故共有種站法，故B正確；
對于C，將三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，
捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)在排尾時(shí)，隨意站，則有種站法；
當(dāng)不在排頭也不在排尾時(shí)，有種，有種，剩下同學(xué)隨意站有種，
共有種，
故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；
故選：ABD．
10. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根據(jù)奇偶性定義分析函數(shù)的奇偶性，然后再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此作出判斷即可.
【詳解】對于選項(xiàng)A，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故為奇函數(shù)，
又，所以在上單調(diào)遞增，故滿足；
對于選項(xiàng)B，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，故為奇函數(shù)，
又，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增，故滿足；
對于選項(xiàng)C，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，故為偶函數(shù)，不滿足；
對于選項(xiàng)D，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，為奇函數(shù)，
又，所以在上單調(diào)遞增，故滿足．
故選：ABD．
11. 不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)非常重要的定理，其應(yīng)用非常廣泛．對于函數(shù)，定義方程的根稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. B. 的不動(dòng)點(diǎn)為
C. 極大值為2D. 極小值為1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為有唯一解，令，求得函數(shù) 的單調(diào)性和最大值，結(jié)合，可得，求得，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)性和極值.
【詳解】由方程有唯一解，即有唯一解，
令，可得，解得，
當(dāng)，可得；當(dāng)，；
所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在在單調(diào)遞減，
所以，
且當(dāng)趨近于0或時(shí)，趨近于，
由題意可知：，可得，此時(shí)，故AB正確；
此時(shí)，可得，
當(dāng)，可得；當(dāng)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以的極大值為，無極小值，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分.
12. 曲線在點(diǎn)處的切線的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】求出，可求得的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線的方程
【詳解】由，則，且，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，
故答案為：
13. 某中學(xué)藝術(shù)節(jié)第二章節(jié)目中有個(gè)節(jié)目已排，現(xiàn)在要緊急插入個(gè)節(jié)目，并要求這個(gè)節(jié)目不相鄰，并且原來的個(gè)節(jié)目順序不變，則排列的種數(shù)為__________
【答案】20
【解析】
【分析】利用插空法求結(jié)論即可.
【詳解】在個(gè)節(jié)目中插入個(gè)節(jié)目，使得所插入個(gè)節(jié)目不相鄰，原來的個(gè)節(jié)目順序不變的方法數(shù)為.
故答案：.
14. 已知函數(shù)，，若對任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最值，即可求解.
【詳解】由題意知，
由題意，且的對稱軸為直線，
所以當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則，所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
又，所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
四、解答題：本題共4小題，共38分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 3月11日，2024年廣西“二月二”侗族大歌節(jié)在三江侗族自治縣梅林鄉(xiāng)梅林村榕江河畔舉行，上萬名群眾歡聚一堂，以非遺巡游、千人侗族大歌、多耶等活動(dòng)，盡展非遺多姿風(fēng)采.某地計(jì)劃在來年的侗族大歌節(jié)安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動(dòng)的舉辦順序.
（1）共有多少種不同的安排方案?
（2）若要求第一個(gè)舉辦的活動(dòng)不能是千人侗族大歌，共有多少種不同的安排方案?
（3）若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，共有多少種不同的安排方案?
【答案】（1）120 （2）96
（3）48
【解析】
【分析】（1）將5項(xiàng)活動(dòng)進(jìn)行全排列，即可求得答案；
（2）先從其余四個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目中選一個(gè)排在第一個(gè)舉行，其余全排列，即可求得答案；
（3）利用捆綁法，即可求得答案.
【小問1詳解】
安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動(dòng)的舉辦順序，
共有種不同的安排方案；
【小問2詳解】
若要求第一個(gè)舉辦的活動(dòng)不能是千人侗族大歌，則從其余四個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目中選一個(gè)排在第一個(gè)舉行，
則共有種不同的安排方案；
【小問3詳解】
若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，則將這兩項(xiàng)活動(dòng)捆綁，看作一項(xiàng)活動(dòng)，
內(nèi)部全排列，然后和其余活動(dòng)全排列，
則共有種不同的安排方案.
16. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義及點(diǎn)在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
由題意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，
所以；
【小問2詳解】
由（1）知，
令，則，解得，或，
當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取的極大值為，
當(dāng)時(shí)，取得極小值為，
又，，
所以，．
17. 喀什二中擬在高二年段舉行手工制作書柜比賽，現(xiàn)有一邊長為的正方形硬紙板，紙板的四角截去四個(gè)邊長為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方柜，
（1）試把方柜的容積表示為的函數(shù)？
（2）多大時(shí)，方柜的容積最大？并求最大容積．
【答案】（1），；
（2）時(shí)，容積最大，最大容積為.
【解析】
【分析】（1）表達(dá)出關(guān)于的函數(shù)并得到定義域；
（2）求導(dǎo)，得到關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出時(shí)，方柜的容積最大，并求出容積的最大值.
【小問1詳解】
，
又，解得，
故關(guān)于的函數(shù)為，；
【小問2詳解】
，令，解得（舍去）或，
令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)，方柜的容積最大，最大容積為.
18. 已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）5
【解析】
【分析】
（1）先求導(dǎo)，將代入，求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)增減性即可；
（2）先將分離參數(shù)得，設(shè)，，則所求問題轉(zhuǎn)化為求，求得，令，求得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，求得，，可判斷導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)位于，可得，
，再由即可求出的最小整數(shù)；
【詳解】（1）由題意可知，，，
當(dāng)時(shí)，令，或；
時(shí)，，在單調(diào)遞增；
時(shí)，，在單調(diào)遞減；
綜上所述，的增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）原式等價(jià)于，
即存在，使成立．
設(shè)，，則，
設(shè)，則，∴上單調(diào)遞增．
又，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知在上有唯一零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，則，且，即，
∴
由題意可知，又，，
∴a的最小值為5．
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法求解存在性問題，屬于難題

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