一、單選題（每小題3分，計24分）
1. 如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng) 的顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向黃色區(qū)域的概率是 ( )
A. B.
C. D.
2. 如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）
A. 圓柱體B. 圓錐體C. 正方體D. 球體
3. 下面對關(guān)于一元二次方程的表述錯誤的是（ ）
A. 判別式的值為16B. 方程有一根是1
C. a不等于0D. a不等于2
4. 已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是（ ）
A. 圖像位于第一、第三象限B. 圖像必經(jīng)過點（4，）
C. 圖像不可能與坐標(biāo)軸相交D. y隨x的增大而減小
5. 如圖，點是菱形邊的中點，點在邊上，連接，過點作交對角線于點，交于點．若，，則線段的長為（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形陰影部分片備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)分別為（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7. 如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，且AB＝OB，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 22.5°
8. 如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．當(dāng)AB=1時，L2016等于（ ）
A B. C. D. ．
二、填空題（每小題3分，計30分）
9. 設(shè)，分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．
10. 二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為___________．
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數(shù)圖像上，則的值是______．
12. 我國數(shù)學(xué)家祖沖之是第一個將圓周率計算精確到小數(shù)點后七位的人，他將圓周率精確到3.1415926．若從該數(shù)據(jù)的8個數(shù)字中隨機抽取一個數(shù)字，則所抽到的數(shù)字是1的概率是_______．
13. 如圖，在直角△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1，則∠A1OB= °．
14. 如圖所示，點A、B在直線上，，、的半徑均為，以每秒的速度自右向左運動，與此同時，的半徑不斷增大，其半徑r（）與時間t（秒）之間的關(guān)系為（），則當(dāng)點出發(fā)后______秒兩圓相切．
15. 如果關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，那么的值是______，方程的根是______．
16. 已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有實根，則k的取值范圍為_____．
17. 如圖，在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與關(guān)于直線對稱，點G是上一點，連接交、于點K、H，，，若，則的長為_______________．
18. 如圖，雙曲線與線段交于點、兩點，點坐標(biāo)為，連接，的面積為6，則______．
三、解答題（共9題，計96分）
19. 計算：tan30°
20. 小鳴想每天多做幾套數(shù)學(xué)題，媽媽想通過一個游戲決定小鳴多做題的數(shù)量：在一個不透明的盒子中放入三張卡片，每張卡片上寫著一個實數(shù)，分別為3，，2（每張卡片除了上面的實數(shù)不同以外其余均相同），媽媽讓小鳴從中任意取一張卡片，如果抽到的卡片上的數(shù)是有理數(shù)，就讓小鳴每天做五套，否則就多做十套．
（1）請你直接寫出按照媽媽的規(guī)則小鳴每天做五套數(shù)學(xué)題的概率；
（2）小鳴想和媽媽重新約定游戲規(guī)則：自己從盒子中隨機抽取兩次，每次抽取一張卡片，第一次抽取后記下卡片上的數(shù)，再將卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的兩數(shù)之積是有理數(shù)，自己每天做五套數(shù)學(xué)題，否則每天做十套．用列表法或樹狀圖法求按此規(guī)則小鳴每天做十套數(shù)學(xué)題的概率．
21. 如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個標(biāo)記，當(dāng)他站在離鏡子處1.4m的處時，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標(biāo)記重合．已知，，在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度m，m，求鐘塔的高度．
22. 釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當(dāng)舉措．如圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點D處測得與斜坡坡腳點C的距離為140米，測得島礁頂端A的仰角為，以及該斜坡的坡度，求該島礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）．（結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，）
23. 在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，的三個頂點都在格點上．畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的（點、的對應(yīng)點分別為、），并求出線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．（結(jié)果保留）
24. 在一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，從袋子中隨機摸出一個小球，把小球上的數(shù)字記為x，然后放回；再摸出一個小球，把小球上的數(shù)字記為y．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）若把x作為一個兩位數(shù)的十位數(shù)字，把y作為這個兩位數(shù)的個位數(shù)字，求這個兩位數(shù)大于20的概率．
25. 定義：對于y關(guān)于x的函數(shù)，函數(shù)在 范圍內(nèi)的最大值，記作 如函數(shù)，在范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6， 即，．
請根據(jù)以上信息，完成以下問題：
已知函數(shù) （a為常數(shù)）
（1）若．
①直接寫出該函數(shù)的表達式，并求 的值；
②已知 求p的值．
（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點， 且， 求k的值．
26. 如圖，方格中，每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．
（1）畫出將△ABC向右平移2個單位得到△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1與△A2B2C2重合部分的面積．
27. 如圖（1），在矩形中，．
（1）____；
（2）若點P是線段上一點，當(dāng)是等腰三角形時，求的長；
（3）如圖（2），點E是邊上一點，且，則：①=_____；
②如圖（3）分別以為邊作矩形，若，求長．
二〇二五年初中畢業(yè)與升學(xué)考試
第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題（每小題3分，計24分）
1. 如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng) 的顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向黃色區(qū)域的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】解：∵轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，
而黃色區(qū)域占其中的一個，
∴指針指向黃色區(qū)域的概率=．
故選A．
2. 如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）
A. 圓柱體B. 圓錐體C. 正方體D. 球體
【答案】A
【解析】
【詳解】解：∵三視圖中有兩個視圖為矩形，
∴這個幾何體為柱體，
∵第3個視圖的形狀為圓，
∴這個幾何體為圓柱體，
故選A．
3. 下面對關(guān)于的一元二次方程的表述錯誤的是（ ）
A. 判別式值為16B. 方程有一根是1
C. a不等于0D. a不等于2
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程的定義得到，即，求出的值，對方程進行驗根，即可得到結(jié)論.
【詳解】可化為：，
方程是一元二次方程，
，
即
，
把代入，
則方程的左右兩邊相等，
故、、正確.
故選：
【點睛】此題考查了一元二次方程（、、是常數(shù)且）的根的判別式.當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；.當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；.當(dāng)，方程沒有實數(shù)根.同時考查了一元二次方程的定義.
4. 已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是（ ）
A. 圖像位于第一、第三象限B. 圖像必經(jīng)過點（4，）
C. 圖像不可能與坐標(biāo)軸相交D. y隨x的增大而減小
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對各項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、∵k=4＞0，
∴圖象位于第一、第三象限，故該選項正確，不符合題意；
B、∵4×1=4=k，
∴圖象必經(jīng)過點（4，1），故該選項正確，不符合題意；
C、∵x≠0，∴y≠0，
∴圖象不可能與坐標(biāo)軸相交，故該選項正確，不符合題意；
D、∵k=4＞0，
∴在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故該選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，點是菱形邊的中點，點在邊上，連接，過點作交對角線于點，交于點．若，，則線段的長為（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)得，，再證是中位線，得，然后證是的中位線，得，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是菱形，，
，，
是菱形邊的中點，，
∴
是的中點，
是中位線，
，
，
，
，
，
∴
是的中點，
是的中位線，
，
，
故選：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形陰影部分片備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)分別為（ ）
A. ，
B ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，直角梯形的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值問題．過點D作，垂足為點H，與相交于點M．證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到．再利用矩形的面積公式得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖，過點D作，垂足為點H，與相交于點M．
∵，四邊形為矩形，
∴四邊形為矩形，四邊形為矩形．
∴，，．
∴，，．
∵，
∴，．
∴，
∴，即．
∴．
∴．
∴當(dāng)時，矩形的面積最大，此時．
所以，矩形兩邊長x，y值為15，12．
故選：D．
7. 如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，且AB＝OB，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 22.5°
【答案】C
【解析】
【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等邊三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠ACB的度數(shù)．
【詳解】解：∵AB＝OB，OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°．
故選C．
【點睛】此題考查了圓周角定理與等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用．
8. 如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．當(dāng)AB=1時，L2016等于（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】B
【解析】
【詳解】根據(jù)題意得：l1== ，
l2==，
l3===π，
則L2016=，
故選B．
點睛：用弧長公式，分別計算出l1，l2，l3，…的長，能根據(jù)所得尋找其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，計30分）
9. 設(shè)，分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解，先由方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出，，將其代入原式計算可得．
【詳解】解：∵m，n分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴
．
故答案為：2022．
10. 二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)為，
故答案為：．
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數(shù)圖像上，則的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】將點向下平移5個單位長度得到點，再把點B代入反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法進行求解即可．
【詳解】將點向下平移5個單位長度得到點，則，
∵點恰好在反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
12. 我國數(shù)學(xué)家祖沖之是第一個將圓周率的計算精確到小數(shù)點后七位的人，他將圓周率精確到3.1415926．若從該數(shù)據(jù)的8個數(shù)字中隨機抽取一個數(shù)字，則所抽到的數(shù)字是1的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【詳解】解：所抽到的數(shù)字是1的概率是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在直角△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1，則∠A1OB= °．
【答案】70
【解析】
【詳解】∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
14. 如圖所示，點A、B在直線上，，、的半徑均為，以每秒的速度自右向左運動，與此同時，的半徑不斷增大，其半徑r（）與時間t（秒）之間的關(guān)系為（），則當(dāng)點出發(fā)后______秒兩圓相切．
【答案】，，，
【解析】
【分析】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)兩圓相切時，兩圓的半徑與圓心距的關(guān)系，分兩次首次外切，首次內(nèi)切，再次內(nèi)切，最后外切四種情況考慮，即可作答．
【詳解】①當(dāng)首次外切時，如圖，
有，
解得：；
②當(dāng)首次內(nèi)切時，如圖，
有，
解得：；
③當(dāng)再次內(nèi)切時，如圖，
有，
解得：；
④當(dāng)再次外切時，如圖，
有，
解得：；
∴當(dāng)點B出發(fā)后秒、秒、秒和秒時，兩圓相切.
故答案為：，，，．
15. 如果關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，那么的值是______，方程的根是______．
【答案】 ①. 9 ②. -3
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判別式與其根的關(guān)系可知： ，代入列方程，求出m值，再求根即可．
【詳解】∵關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴可得∶ ，
即： ，
解得：m=9，
則原方程為：，
，
，
故答案為：m=9，方程的根為-3．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與根之間的關(guān)系： 方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， 方程有兩個相等的實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根，方程有實數(shù)根，以及解一元二次方程，正確運用元二次方程根的判別式與根之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16. 已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有實根，則k的取值范圍為_____．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有實根，則根的判別式△=b2-4ac≥0，且k-5≠0，建立關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍．
【詳解】解：∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-5）=44-8k≥0，且k-5≠0，
解得：k≤且k≠5，
故答案為k≤且k≠5．
【點睛】此題考查根的判別式問題，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
17. 如圖，在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與關(guān)于直線對稱，點G是上一點，連接交、于點K、H，，，若，則的長為_______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)可得，從而可得，設(shè)，則，，，再解直角三角形可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，解直角三角形可得，根據(jù)線段和差可得，據(jù)此可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
，，
與關(guān)于直線對稱，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
解得，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
18. 如圖，雙曲線與線段交于點、兩點，點坐標(biāo)為，連接，的面積為6，則______．
【答案】．
【解析】
【分析】將已知點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，得到，通過三角形面積的表示得到關(guān)于a的一元二次方程，求解出a和k的值，得到反比例函數(shù)解析式以及A、B點的坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法求出直線AB解析式，進一步求得交點坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點間距離公式求得對應(yīng)線段長再求解即可．
【詳解】解：將點代入中，得，
線段的長度，
設(shè)的高為h，
則，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴雙曲線，，，
設(shè)直線的解析式為： ，
∴ ，解得，
則直線的解析式為：，
令，
得： ，
令代入中，
得：，∴，
∴，
，
則．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解一元二次方程與二元一次方程組等知識點，其中利用三角形的面積求解出系數(shù)k的值是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共9題，計96分）
19. 計算：tan30°
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分別進行判斷，即可得到答案.
【詳解】解：原式=2+ =；
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進行解題.
20. 小鳴想每天多做幾套數(shù)學(xué)題，媽媽想通過一個游戲決定小鳴多做題的數(shù)量：在一個不透明的盒子中放入三張卡片，每張卡片上寫著一個實數(shù)，分別為3，，2（每張卡片除了上面的實數(shù)不同以外其余均相同），媽媽讓小鳴從中任意取一張卡片，如果抽到的卡片上的數(shù)是有理數(shù)，就讓小鳴每天做五套，否則就多做十套．
（1）請你直接寫出按照媽媽的規(guī)則小鳴每天做五套數(shù)學(xué)題的概率；
（2）小鳴想和媽媽重新約定游戲規(guī)則：自己從盒子中隨機抽取兩次，每次抽取一張卡片，第一次抽取后記下卡片上的數(shù)，再將卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的兩數(shù)之積是有理數(shù)，自己每天做五套數(shù)學(xué)題，否則每天做十套．用列表法或樹狀圖法求按此規(guī)則小鳴每天做十套數(shù)學(xué)題的概率．
【答案】（1）；（2）列表見解析，則按此規(guī)則小鳴每天做十套數(shù)學(xué)題的概率是
【解析】
【分析】（1）先找出有理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出抽取的兩數(shù)之積為有理數(shù)的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【詳解】解：（1）按照媽媽的規(guī)則小鳴每天做五套數(shù)學(xué)題的概率是；
（2）列表如下：
所有等可能的情況有9種，其中抽取的兩數(shù)之積是有理數(shù)的情況有5種，
則按此規(guī)則小鳴每天做五套數(shù)學(xué)題的概率是，
則小鳴每天做十套數(shù)學(xué)題的概率是．
【點睛】本題考查的知識點是用列表法或樹狀圖法求事件的概率，比較簡單，易于掌握．
21. 如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個標(biāo)記，當(dāng)他站在離鏡子處1.4m的處時，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標(biāo)記重合．已知，，在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度m，m，求鐘塔的高度．
【答案】
【解析】
【分析】先證明，后利用相似三角形性質(zhì)求出即可.
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故鐘塔的高度為．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.
22. 釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當(dāng)舉措．如圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點D處測得與斜坡坡腳點C的距離為140米，測得島礁頂端A的仰角為，以及該斜坡的坡度，求該島礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）．（結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】該島礁的高為300米．
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，記島礁頂端A在海平面位置為，連接、，根據(jù)斜坡的坡度，可設(shè)米，米，繼而表示出的長度，再由，可列得關(guān)于的方程，解出即可得出答案．
【詳解】解：如圖，記島礁頂端A在海平面位置為，連接、，
斜坡的坡度，
，
故可設(shè)米，米，
在中，，米，
，
解得：（米），
經(jīng)檢驗，是方程的解，
（米），
答：該島礁的高為300米．
23. 在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，的三個頂點都在格點上．畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的（點、的對應(yīng)點分別為、），并求出線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．（結(jié)果保留）
【答案】圖見解析，
【解析】
【分析】根據(jù)要求畫出線段順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段，連接即可；根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出的長度，線段旋轉(zhuǎn)掃過的面積是扇形，根據(jù)扇形面積計算公式求解即可．
【詳解】解：如圖，即為所求．
，
線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；
故答案為：．
【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系圖形的變換及求扇形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出半徑，熟練掌握扇形面積計算公式：．
24. 在一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，從袋子中隨機摸出一個小球，把小球上的數(shù)字記為x，然后放回；再摸出一個小球，把小球上的數(shù)字記為y．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）若把x作為一個兩位數(shù)的十位數(shù)字，把y作為這個兩位數(shù)的個位數(shù)字，求這個兩位數(shù)大于20的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率，列表法或樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）畫出樹狀圖，即可求解，
（2）根據(jù)數(shù)狀圖，可得出大于20的數(shù)的個數(shù)，以及兩位數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求解，
【小問1詳解】
解：畫樹狀圖如下：
則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為
【小問2詳解】
解：把x作為一個兩位數(shù)的十位數(shù)字，把y作為這個兩位數(shù)的個位數(shù)字，
則共有9個不同的兩位數(shù)，且大于20的數(shù)有6個，
則這個兩位數(shù)大于20的概率為：，
25. 定義：對于y關(guān)于x的函數(shù)，函數(shù)在 范圍內(nèi)的最大值，記作 如函數(shù)，在范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6， 即，．
請根據(jù)以上信息，完成以下問題：
已知函數(shù) （a為常數(shù)）
（1）若．
①直接寫出該函數(shù)的表達式，并求 的值；
②已知 求p的值．
（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點， 且， 求k的值．
【答案】（1）①；②
（2）的值是12，或2
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，a的正負(fù)判斷出二次函數(shù)開口方向，找到最大值是解答本題的關(guān)鍵．
（1）①先求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸，開口方向即可找到范圍內(nèi)的最大值，進而得出結(jié)果；
②根據(jù)二次函數(shù)對稱軸，開口方向即可知當(dāng)時，，即可求出p值；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點，得到，分兩種情況分別求解即可．
【小問1詳解】
解：①，
．
該函數(shù)的圖象對稱軸為直線，且開口向上，
在范圍內(nèi)，當(dāng)時，有最大值，
當(dāng)時，，即．
②，該函數(shù)的圖象對稱軸為直線，且開口向上，
又當(dāng)時，，
，解得，．
，
；
【小問2詳解】
函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，即，
當(dāng)，函數(shù)為正比例函數(shù)，隨的增大而減小，
，
，即；
當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線．當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。?br>，
若，則，解得，，
；
若，則，解得，
；
綜上所述，的值是12，或2．
26. 如圖，方格中，每個小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．
（1）畫出將△ABC向右平移2個單位得到△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1與△A2B2C2重合部分的面積．
【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）將△ABC向右平移2個單位即可得到△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°即可得到的△A2B2C2；
（3）B2C2與A1B1相交于點E，B2A2與A1B1相交于點F，如圖，求出直線A1B1，B2C2，A2B2，列出方程組求出點E、F坐標(biāo)即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；
（3）B2C2與A1B1相交于點E，B2A2與A1B1相交于點F，如圖，
∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），
設(shè)直線A1B1的解析式為y=kx+b，
，解得，
∴直線A1B1的解析式為y=5x-5，
同理直線B2C2的解析式為y=x+1，直線A2B2的解析式為y=-x+1，
由解得：，
∴點E（，），
由解得：，
∴點F（，），
∴，，
由平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A1B1⊥A2B2，
∴S△B2EF=，
∴△A1B1C1與△A2B2C2重合部分的面積為．
【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
27. 如圖（1），在矩形中，．
（1）____；
（2）若點P是線段上一點，當(dāng)是等腰三角形時，求的長；
（3）如圖（2），點E是邊上一點，且，則：①=_____；
②如圖（3）分別以為邊作矩形，若，求的長．
【答案】（1）8 （2）4或5或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)正弦的定義得出，設(shè)，再根據(jù)勾股定理計算即可；
（2）分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別計算即可；
（3）①設(shè)，過P作交于N、M，則，通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，進而證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
②連接，記與的交點為O，連接，
先證明，，進而得出，再通過證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
在矩形中，，，
∴，，
∴設(shè)，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴，
故答案是：8；
【小問2詳解】
由（1）知，，
在矩形中，，
要使是等腰三角形，有三種情況討論如下：
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③當(dāng)時，如圖（2），過點D作于Q，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，的值為4或5或；
【小問3詳解】
①設(shè)，如圖（3），過P作交于N、M，則．
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
故答案是：；
②如圖（3），連接，記與的交點為O，連接，

∵四邊形和是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等，熟練掌握知識點并添加適當(dāng)?shù)妮o助線，運用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
3
2
3
9
3
6
3
2
4
2
6
4
8

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