注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)，考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 若集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?， ，
所以 .
故選：C.
2. 已知 ，則 （ ）
A. 10 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過(guò) 求解即可；
【詳解】解法一： ，
第 1頁(yè)/共 20頁(yè)
解法二：因?yàn)?，所以 ，
故選：A.
3. 已知向量 ， ，若 ，則 （ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩個(gè)垂直向量的數(shù)量積為 0，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可得解.
【詳解】解法一：因?yàn)?，所以 ，
， ， ，
故 ，解得 ；
解法二：因?yàn)?， ，
由 得 ，解得 .
故選：B.
4. 在 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，且滿足 ，則 的形狀為（ ）
A. 直角三角形 B. 鈍角三角形 C. 銳角三角形 D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理可得 ，從而可判斷三角形的形狀.
【詳解】由余弦定理得 ，
化簡(jiǎn)得 ，故 ，
從而 的形狀為鈍角三角形，
故選：B.
5. 將 3 個(gè) 1 和 2 個(gè) 0 隨機(jī)排成一個(gè)五位數(shù)，則 2 個(gè) 0 不相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第 2頁(yè)/共 20頁(yè)
【解析】
【分析】通過(guò)插空法確定基本事件個(gè)數(shù)，再由古典概型概率公式求解即可；
【詳解】將 3 個(gè) 1 和 2 個(gè) 0 隨機(jī)排成一行，可利用插空法.
首先萬(wàn)位必須是 1，則余下的 2 個(gè) 1 產(chǎn)生 3 個(gè)空，
若 2 個(gè) 0 相鄰，則有 3 種排法；若 2 個(gè) 0 不相鄰，則有 種排法.
故 2 個(gè) 0 不相鄰的概率為 ，
故選：C.
6. 若函數(shù) 在 上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合根據(jù) 的圖像，判斷 的范圍求解即可.
【詳解】當(dāng) 時(shí)， ，若 在 上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則由
的圖像可得 ，解得 .
故選：C
7. 已知等比數(shù)列 的公比為 q，且 ，則 的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出滿足 成立的充要條件是 ，然后根據(jù)等比數(shù)列基本量運(yùn)算
及充分條件、必要條件的概念逐項(xiàng)判斷即可.
第 3頁(yè)/共 20頁(yè)
【詳解】根據(jù)題意， 成立時(shí)，有 ，
結(jié)合 ，得 ，即 .
①當(dāng) 時(shí)，可得 ，所以 ，即 .
②當(dāng) 時(shí)，若 為偶數(shù)，則 ，可得 ，所以 ；
若 為奇數(shù)，則 ，可得 ，所以 .
因此不存在 滿足 成立.
綜上所述， 成立的充要條件是 .
對(duì)于 A，因?yàn)?，所以 ，則 ，故是充要條件，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，因?yàn)?，所以 ，則 或 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分條件，B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，因?yàn)?，即 ，所以 ，
顯然“ ”是“ ”的必要不充分條件，C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，因?yàn)?，由 得 ，
顯然“ ”是“ ”的充分不必要條件，所以 D 正確.
故選：D.
8. 若函數(shù) 滿足對(duì)任意 ，恒有 ，且 ，則 的
最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 推 導(dǎo) 出 ， 令 ， 可 得 出
，利用賦值法推導(dǎo)出 ，進(jìn)而可得出 ，由此可求得
第 4頁(yè)/共 20頁(yè)
的最小值.
【詳解】因?yàn)?，
所以 .
設(shè) ，那么 ，
因此 ，
對(duì)任意的 ， ，則 ，
因此 ，
所以 ，所以 的最小值是 ，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于令 ，根據(jù)題意得出 ，
進(jìn)而結(jié)合賦值法推導(dǎo)出 ，進(jìn)而求解.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若 A，B 是兩個(gè)隨機(jī)事件，則
B. 若隨機(jī)變量 ，則
C. 相關(guān)系數(shù) r 越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
D. 數(shù)據(jù) 1，2，5，7，9，11 的上四分位數(shù)是 9
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)即可求解 A，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解 B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可求解 C，
根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解 D.
【詳解】對(duì)于 A, ，A 正確，
對(duì)于 B，正態(tài)分布曲線關(guān)于直線 對(duì)稱，故 B 正確.
第 5頁(yè)/共 20頁(yè)
對(duì)于 C, 的值越大，相關(guān)性越強(qiáng)，故 C 不正確.
對(duì)于 D： ，上四分位數(shù)是第 5 個(gè)數(shù) 9，故 D 正確.
故選:ABD.
10. 若方程 所表示的曲線為 C，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若 ，則曲線 C 的長(zhǎng)度為 B. 若 C 為雙曲線，則 或
C. 若 C 為橢圓，且焦點(diǎn)在 軸上，則 D. 若 C 為橢圓，則焦距為 4
【答案】AB
【解析】
【分析】確定軸線形狀并求出長(zhǎng)度判斷 A；由曲線表示雙曲線、橢圓列出不等式求解判斷 BC；求出焦點(diǎn)在
軸上的橢圓焦距判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，當(dāng) 時(shí)，曲線 C： 是圓心在原點(diǎn)，半徑為 1 的圓，軌跡長(zhǎng)度為 ，A 正確；
對(duì)于 B，若 C 為雙曲線，則 ，解得 或 ，B 正確；
對(duì)于 C，若 C 為橢圓，且焦點(diǎn)在 軸上，則 ，解得 ，C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，若 C 為焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則焦距為 ，
D 錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 F，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 的準(zhǔn)線上，那么
（ ）
A. B.
C. 的最小值為 10 D. 若 PA 與 C 相切，則 PB 也與 C 相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于 A，借助判定 ；對(duì)于 C，可證明 ，運(yùn)用基本不等式求得
判定；對(duì)于 D，直曲聯(lián)立得到過(guò) 的拋物線的
第 6頁(yè)/共 20頁(yè)
切線方程 ，同理得過(guò)的拋物線的切線方程為 ，求出兩切線的交點(diǎn)，設(shè)直線 AB
的方程，直曲聯(lián)立求兩切線的交點(diǎn) Q 在拋物線的準(zhǔn)線上，得解；對(duì)于 B，設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D，求出 和
，進(jìn)而得點(diǎn) D 到準(zhǔn)線的距離判定以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，得解.
【詳解】對(duì)于 A，在拋物線 中， ，所以焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線方程為 .
設(shè)直線 l 方程為 ， ，
聯(lián)立 ，將 代入 可得 ：
根據(jù)韋達(dá)定理，所以 ，則 .
所以 ，
則 .所以 ，故 A 正確；
對(duì)于 C，由拋物線的定義可知， ，
又因?yàn)?，
，
將 ，代入上式可得： .
即 ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取“ ”，滿足題意，故 C 錯(cuò)誤；
第 7頁(yè)/共 20頁(yè)
對(duì)于 D，設(shè) ， ，依題意可得過(guò)點(diǎn) A，B 的拋物線的切線不與坐標(biāo)軸垂直，
不妨設(shè)過(guò) 的拋物線的切線方程為 ，即 ，
由 有 ，
所以 ，又 ，整理得 ，
解得 ，
所以過(guò) 的拋物線的切線方程為 ，整理得 ，
過(guò) 的拋物線的切線方程為 ，整理得 ，
設(shè)兩切線的交點(diǎn)為 ，由 ，
可得 ，
設(shè)直線 AB 的方程為 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，即兩切線的交點(diǎn) Q 在拋物線的準(zhǔn)線上，
所以若 PA 與 C 相切，則 PB 也與 C 相切，故 D 正確；
對(duì)于 B，設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D，由 ，得 ，
則 ，又 ，
第 8頁(yè)/共 20頁(yè)
所以點(diǎn) D 到準(zhǔn)線的距離 ，
所以以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，
又點(diǎn) P 在 C 的準(zhǔn)線上，所以 ，故 B 正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于 x（或 y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算 ；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為 的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 在 的展開式中， 項(xiàng)的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）
【答案】80
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令 的指數(shù)為 2 求解即可.
【詳解】展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 ， ，
令 ，解得 ，所以 ，所以 項(xiàng)的系數(shù)為 80.
故答案為：80
13. 已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)是下底面邊長(zhǎng)的一半，側(cè)棱長(zhǎng)為 2，過(guò)側(cè)棱中點(diǎn)且平行于底面的截面的邊長(zhǎng)
為 3，則正三棱臺(tái)的體積為________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】將該正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，結(jié)合題意可得三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)，則可得正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，
再計(jì)算出三棱錐的高后結(jié)合體積公式計(jì)算即可得解.
第 9頁(yè)/共 20頁(yè)
【詳解】如圖，延長(zhǎng)三棱臺(tái) 的側(cè)棱交于一點(diǎn) O，可以得到正三棱錐 ，
設(shè)三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為 ，下底面邊長(zhǎng)為 ，
則有 ，即 ，則正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為 ，
過(guò)點(diǎn) O 作 平面 ABC，交平面 于點(diǎn) ，
記 的中點(diǎn)為 ，則 ，
故三棱錐 的高為 ，
故三棱臺(tái)的體積為 .
故答案為： .
14. 已知函數(shù) ，設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線與 軸的交點(diǎn)為
， ， ，則 ________；設(shè) 是函數(shù) 的零點(diǎn)， ，
則數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根據(jù) 求出 ，根據(jù) 的遞推關(guān)系可得 的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義可求 的
通項(xiàng)，從而可求 .
【詳解】因?yàn)?，所以 .
第 10頁(yè)/共 20頁(yè)
因?yàn)?， ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .
令 ，得 ，即 .
因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，所以 ， ，所以 .
因?yàn)?， 故 ，
而 ，故 為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為 1，公比為 2，
所以 ，故 .
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)時(shí)，可對(duì)原遞推關(guān)系適當(dāng)變形，從而運(yùn)用等差或等比數(shù)
列的通項(xiàng)公式的求法求出新數(shù)列的通項(xiàng)從而得到原數(shù)列的通項(xiàng).
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在 中，角 的對(duì)邊分別為 ，已知 .
（1）求角 A 的大?。?br>（2）若 BC 邊上的高為 3，求 面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理角化邊，再由余弦定理即可求解；
第 11頁(yè)/共 20頁(yè)
（2）由面積公式得到 ，再由 得到 ，求得 的范圍即
可求解；
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
又 ，所以
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)?BC 邊上的高為 3，所以 ，
又因?yàn)?，所以 .
由（1）知 ，所以 ，得
所以 .
16. 如圖，在三棱錐 中， 平面 ABC， 為銳角，動(dòng)點(diǎn) D 在 的邊 AC 上，
， ， ，三棱錐 的體積為 .
（1）證明：平面 平面 PAB.
（2）當(dāng)點(diǎn) P 到直線 BD 距離為 時(shí)，求 PD 與平面 ABC 所成的角.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
第 12頁(yè)/共 20頁(yè)
【 分 析 】（ 1） 根 據(jù) 線 面 垂 直 的 性 質(zhì) 結(jié) 合 勾 股 定 理 可 得 ， 再 根 據(jù) 三 棱 錐 的 體 積 公 式 可 得
，再根據(jù)余弦定理結(jié)合勾股定理可得 ，再根據(jù)線面垂直的判定與面面垂直的
判定證明即可；
（2）以 為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，根據(jù)點(diǎn)到面 距離公式與線面
夾角公式求解即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
證明：因?yàn)?平面 ABC， 平面 ABC，
所以 ， ， ，
所以 ，同理得 .
又因?yàn)?，
所以 .
因?yàn)?為銳角三角形，所以 .
由余弦定理，可知 ，
所以 ，所以 ，
又因?yàn)?， ，PA， 平面 PAB，
所以 平面 PAB，所以平面 平面 PAB.
【小問(wèn) 2 詳解】
如圖，以 為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
第 13頁(yè)/共 20頁(yè)
則 ， ， .
設(shè) ，則 .
由 ，
解得 或 （負(fù)值舍去），所以 .
由（1）知 PD 與平面 ABC 所成的角為 ，所以 ，
所以 ，即 PD 與平面 ABC 所成的角為 .
17. 甲，乙兩人進(jìn)行投籃比賽，有兩種投籃方式：方式一，投兩分球 3 次，進(jìn)一球積 2 分；方式二，投三分
球 2 次，進(jìn)一球積 3 分.甲和乙投進(jìn)兩分球的概率分別為 和 ，投進(jìn)三分球的概率分別為 和 ，且兩人
投籃互不影響.先上場(chǎng)者可以任意選擇一種投籃方式，后上場(chǎng)者只能選擇另一種投籃方式，最終積分高者獲
勝.已知兩人都會(huì)優(yōu)先選擇理論上平均積分更高的投籃方式.
（1）試判斷甲，乙兩人會(huì)分別優(yōu)先選擇何種投籃方式；
（2）現(xiàn)在由裁判隨機(jī)選擇上場(chǎng)順序，在最終結(jié)果為甲獲勝的條件下，求乙以一分之差惜敗的概率.
【答案】（1）甲，乙兩人都會(huì)優(yōu)先選擇方式一
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲選擇方式一獲得的積分為 ，選擇方式二獲得的積分為 ；乙選擇方式一獲得的積分
為 ，選擇方式二獲得的積分為 .分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的期望即可判斷；
（2）結(jié)合（1），最終結(jié)果為甲獲勝為事件 A，乙以一分之差惜敗為事件 B.由
， ，再由條件概
率計(jì)算公式求解即可；
【小問(wèn) 1 詳解】
設(shè)甲選擇方式一獲得的積分為 ，選擇方式二獲得的積分為 ；
乙選擇方式一獲得的積分為 ，選擇方式二獲得的積分為 .
可分別求出隨機(jī)變量 ， ， ， 的分布列.
第 14頁(yè)/共 20頁(yè)
，
，
0 2 4 6
所以 .
同理可得
0 3 6
0 2 4 6
0 3 6
所以 ， .
因 ， ，所以甲，乙兩人都會(huì)優(yōu)先選擇方式一.
【小問(wèn) 2 詳解】
記最終結(jié)果為甲獲勝為事件 A，乙以一分之差惜敗為事件 B.
由
，
得 .
由 ，
第 15頁(yè)/共 20頁(yè)
得 .
又 ，
，
所以 ，
即在最終結(jié)果為甲獲勝的條件下，乙以一分之差惜敗的概率為 .
18. 已知函數(shù) ， .
（1）直接判斷 與 的大小關(guān)系；
（2）若 ，函數(shù) 與 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求 b 的取值范圍；
（3）若 ， ，求出函數(shù) 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用 作為中間變量可判定；
（2）轉(zhuǎn)化為方程 的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù) ， 利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究求得；
（3）構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2.
【小問(wèn) 1 詳解】
證明： , 正確，所以 ;
，這最后是正確的，所以 ,
所以 .
第 16頁(yè)/共 20頁(yè)
【小問(wèn) 2 詳解】
第一步，研究函數(shù) 與 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件.
由題意可知，其等價(jià)于 時(shí)，方程 的解的個(gè)數(shù).
不妨設(shè)函數(shù) ， .
，
令 且 單調(diào)遞減，
當(dāng) ，即 時(shí)，有 ，解得 .
可知當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減,
故 .
又因?yàn)楹瘮?shù) 與 存在兩個(gè)交點(diǎn)，即 ， ，
則 ，故 ，必要性得以說(shuō)明.
后研究條件 的充分性，即證明當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn).
①函數(shù) 在 上單調(diào)遞增， ， ，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) 在 上存在唯一零點(diǎn)；
②函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， ，取點(diǎn) ，
則 ，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) 在 上存在唯一零點(diǎn).（充分性得證）
綜上，函數(shù) 與 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件為 .
第 17頁(yè)/共 20頁(yè)
第二步，由于 ，函數(shù) 與 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以 .
【小問(wèn) 3 詳解】
構(gòu)造函數(shù) ， ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減.
因?yàn)?，整理得 ，所以 ，
由（2）可知此時(shí)函數(shù) 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為一個(gè)
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
19. 設(shè)集合 ，其中 ， 且 ，將 A 中每個(gè)子集的元素和按照不減的順
序排列（空集 的元素和記為 0），可以得到一組整數(shù) ， ， ，…， 其對(duì)應(yīng)的子集分別為 ， ，
，…， ，并定義 （ 表示 中元素的和， .
（1）若 .
①求 ， ， ， ；
②證明： 是等差數(shù)列.
（2）若 且 ，證明： .
【答案】（1）① ， ， ， ；②證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)定義可求 的值；②先證明 彼此不同，根據(jù) 中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)
可證 是等差數(shù)列.
（ 2） 就 、 及 既 不 是 的 子 集 ， 而 也 不 是 的 子 集 分 類 討 論 ， 后 者 可 設(shè)
第 18頁(yè)/共 20頁(yè)
，其中 ，結(jié)合等比數(shù)列的
求和公式和放縮法 ，從而可得 .
【小問(wèn) 1 詳解】
①解：由題意可知 為空集 ， ， ， ，
故 ， ， ， .
②證明：當(dāng) 時(shí)，證明 是等差數(shù)列分為兩步，如下：
第一步：證 ， ，
不妨設(shè) 對(duì)應(yīng)的子集 （具有 個(gè)元素），其中 ，
對(duì)應(yīng)的子集 （具有 個(gè)元素），其中 ，
由于 ，所以子集 ，可設(shè) 為 的最大下標(biāo).
若 ，則 ，
即有 .
若 ，則同理有 .故 ， .
第二步：由題意可知 為空集 ， ； ， .
又因?yàn)?， ，整數(shù) ，
所以 ，故 ， .
故 ,故 是等差數(shù)列.
【小問(wèn) 2 詳解】
證明：①若 ，則 ；
②若 ，則 ；
③若 既不是 的子集，而 也不是 的子集，
不妨設(shè) ， ，
故有 ， ， ，且 ， .
第 19頁(yè)/共 20頁(yè)
由 ，可知 .
繼而，設(shè) （具有 個(gè)元素），其中 ，
（具有 個(gè)元素），其中
由于 且 ，所以 ，
故有 ，又因?yàn)?， ，所以有 ，而 ，
故 ，從而得出 .
整理有 ，由于 ， ，
化簡(jiǎn)有 ．
結(jié)合①②③，證得 .
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列不等式的證明，注意當(dāng)公比滿足一定條件時(shí)，其前 項(xiàng)和
會(huì)小于第 項(xiàng)，證明時(shí)注意利用這個(gè)性質(zhì).

相關(guān)試卷

浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁(yè)， 歡迎下載使用。

浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題Word版無(wú)答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共36頁(yè)， 歡迎下載使用。

浙江省諸暨市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月診斷性考試（三模）試題（Word版附解析）：

這是一份浙江省諸暨市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月診斷性考試（三模）試題（Word版附解析），共26頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

浙江省紹興市諸暨市2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題（Word版附解析）

浙江省紹興市諸暨市2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題（Word版附解析）
浙江省諸暨市2023屆高三5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷+答案

浙江省諸暨市2023屆高三5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷+答案
浙江省諸暨市2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月適應(yīng)性考試試題（Word版附解析）

浙江省諸暨市2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月適應(yīng)性考試試題（Word版附解析）
浙江諸暨市諸暨市 2023年 五月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷及參考答案

浙江諸暨市諸暨市 2023年 五月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷及參考答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部