1.已知向量OA=(3,2)，OB=(2,4)，OC=(?1,?3)，則AB?AC=( )
A. 6B. 4C. ?6D. ?4
2.已知a=(1, 3)，b=(2,0)，則a在b上的投影向量為( )
A. (1,0)B. ( 3,0)C. (12, 32)D. ( 32,32)
3.已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=4，a?b=5，則向量a與a?b的夾角的余弦值為( )
A. ? 1020B. 1020C. ?3 3020D. 3 3020
4.在三角形ABC中，M、N分別在邊AB、AC上，且AB=2AM，AC=4AN，D在邊BC上(不包含端點(diǎn)).若AD=xAM+yAN，則1x+2y的最小值是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC=1，則PA?PB的取值范圍是( )
A. [?5,3]B. [?3,5]C. [?6,4]D. [?4,6]
6.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，若asinA+C2=bsinA,6S= 3AB?AC，則△ABC的形狀是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
7.如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，在B處測得C對于山坡的斜度為45°.若CD=50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則csθ等于( )
A. 32B. 22C. 3?1D. 2?1
8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2asinA?bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面積，則Sb2的最大值為( )
A. 74B. 106C. 2 33D. 52
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m?1)，其中n，m∈R，則下列說法正確的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，則a/?/b
B. 若a=?2b，則與b同向的單位向量為( 22,? 22)
C. 若n=1，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(12,+∞)
D. 若a⊥b，則z=2n+4m的最小值為4
10.已知P為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是( )
A. 若AP=λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，則動點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心
B. 若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=13(OA+OB+OC)，則點(diǎn)P為△ABC的重心
C. 若P為△ABC的垂心，AB?AC=2，則AP?AB=2
D. 若P為銳角△ABC的外心，AP=xAB+yAC且x+2y=1，則AB=BC
11.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M為線段BC的中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個動點(diǎn)( )
A. AN=35AB+25AD
B. 向量AD與CN共線
C. S△BCN：S△ACN：S△ABN=1：2：2
D. 若AP=λAB+μAD，則λ+μ最大值為32
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在△ABC中，已知AB=x,BC=2 2,C=π4，若存在兩個這樣的三角形ABC，則x的取值范圍是______．
13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcsC+ccsB=2acsA，若△ABC的中線AD= 3，且b+c=4，則△ABC的面積為______．
14.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+32?mPC(m為常數(shù))，則CD的長度是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=(1,2)．
(Ⅰ)若c=(2,λ)，且c//a，求|c|；
(Ⅱ)若b=(1,1)，且ma?b與2a?b垂直，求實(shí)數(shù)m的值
16.(本小題15分)
已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)．
(1)設(shè)CA=a，CD=b，當(dāng)AE=23AB，請用a，b來表示AB，CE．
(2)當(dāng)AE=3EB時，判斷AD是否垂直CE.若成立，給出證明，若不成立，說明理由．
17.(本小題15分)
設(shè)向量m=( 3sinx,sinx+csx)，n=(2csx,sinx?csx)，f(x)=m?n．
(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)=1，a=2，sinB+sinC= 62，求△ABC的面積．
18.(本小題17分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，csinB+ 3b?csC= 3a，b= 3．
(1)求角B；
(2)若a+c=2，求邊AC上的角平分線BD長；
(3)若△ABC為銳角三角形，求邊AC上的中線BE的取值范圍．
19.(本小題17分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，(a?2c)csB+bcsA=0．
(1)求角B的大??；
(2)若a=2,b= 19，且BA，CA邊上的兩條中線CM，BN相交于點(diǎn)G，求∠MGN的余弦值；
(3)若△ABC為銳角三角形，且c>a，記△ABC的外心和垂心分別為O，H，連接OH的直線與線段AB，BC都相交，求證：線段OH的長度為c?a．
參考答案
1.C
2.A
3.A
4.A
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.(2,2 2)
13. 3
14.0/185
15.解：(Ⅰ)∵c//a；
∴4?λ=0；
∴λ=4；
∴c=(2,4)；
∴|c|= 4+16=2 5；
(Ⅱ)ma?b=(m?1,2m?1)，2a?b=(1,3)；
∵ma?b與2a?b垂直；
∴(ma?b)?(2a?b)=m?1+3(2m?1)=0；
解得m=47．
16.解：(1)由題意可得，AB=CB?CA=2CD?CA=2b?a，
因為AE=23AB，
所以CE?CA=23(CB?CA)，
故CE=13CA+23CB=13a+43b；
(2)AD與CE不垂直．證明如下：
由AE=3EB，可得CE?CA=3(CB?CE)，
所以CE=14CA+34CB=14a+32b，
AD=b?a，AD?CE=(b?a)?(14a+32b)=32b2?14a2，
又因為CA=CB，
所以|a|=2|b|，
則AD?CE=32b2?14a2=32b2?b2=12b2≠0，
所以AD與CE不垂直．
17.

18.解：(1)因為csinB+ 3bcsC= 3a，
由正弦定理得：sinBsinC+ 3sinBcsC= 3sinA
因為 3sinA= 3sin(B+C)= 3sinBcsC+ 3csBsinC，
所以sinBsinC= 3csBsinC，
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以tanB= 3，
又B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因為B=π3，b= 3，所以由余弦定理得3=c2+a2?ac=(c+a)2?3ac，
又a+c=2，解得ac=13，
由S△ABC=S△ABD+S△BDC，得12acsinB=12c?BD?sinB2+12a?BD?sinB2，
即acsinπ3=BD?(c+a)sinπ6，則13× 32=BD×2×12，所以BD= 36．
(3)因為△ABC為銳角三角形，所以0

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