一、選擇題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分，給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.根據(jù)等式的性質(zhì)，若等式可以變形得到，則a，b應(yīng)滿足的條件是( )
A.a、b互為相反數(shù)B.a、b互為倒數(shù)C.D.
2.已知是關(guān)于x的一元一次方程的解，則關(guān)于y的一元一次方程的解是( )
A.B.C.D.
3.下列方程變形中，正確的是( )
A.方程，移項(xiàng)得，；
B.方程，去括號(hào)得，；
C.方程，系數(shù)化為1得，；
D.方程，去分母得，.
4.某同學(xué)去面包店買面包，面包有A，B兩種包裝，每個(gè)面包品質(zhì)相同，且只能整盒購(gòu)買，商品信息如下：
若該同學(xué)正好買了40個(gè)面包，則他最少需要花費(fèi)( )
A.50元B.49元C.52元D.51元
5.我們定義一種運(yùn)算：.例如，，.按照這種定義的運(yùn)算，當(dāng)時(shí)，( )
A.B.C.D.
6.某班為獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)異的同學(xué),花費(fèi)48元錢購(gòu)買了甲、乙兩種獎(jiǎng)品,每種獎(jiǎng)品至少購(gòu)買1件,其中甲種獎(jiǎng)品每件4元,乙種獎(jiǎng)品每件3元,則購(gòu)買方案種類有( )
A.1種B.2種C.3種D.4種
7.某中學(xué)學(xué)生軍訓(xùn)，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進(jìn)，每時(shí)走4.5千米.一列火車以每時(shí)120千米的速度迎面開來，測(cè)得從火車頭與隊(duì)首學(xué)生相遇，到車尾與隊(duì)末學(xué)生相遇，共經(jīng)過12秒.如果隊(duì)伍長(zhǎng)150米，那么火車長(zhǎng)( )
A.150米B.215米C.265米D.310米
8.如圖，若三角形面積為1，，，求陰影四邊形的面積( )
A.B.C.D.
9.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”,豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活,計(jì)劃出資500元全部用于采購(gòu)A,B,C三種圖書,A種每本30元,B種每本25元,C種每本20元,其中A種圖書至少買5本,最多買6本(三種圖書都要買),此次采購(gòu)的方案有( )
A.5種B.6種C.7種D.8種
10.若x、y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則等于( )
A.B.C.D.
11.將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，…，按如圖所示方式排列.圖中的T字框框住了四個(gè)數(shù)，若將T字框上下左右移動(dòng)，按同樣的方式可框住另外的四個(gè)數(shù)，則框住的四個(gè)數(shù)的和不可能是( )
A.22B.70C.182D.206
12.對(duì)x,y定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定：(其中a,b均為非零常數(shù)),這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算.例如：,若,則下列結(jié)論正確的有( )
①,；
②若,則；
③若,則m,n有且僅有2組整數(shù)解；
④若無論k取何值時(shí),的值均不變,則；
⑤若對(duì)任意有理數(shù)x,y都成立,則.
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
二、填空題（每小題3分，共15分）
13.某書店把一本新書按標(biāo)價(jià)的八折出售，仍獲利30%，若該書的進(jìn)價(jià)為40元，則標(biāo)價(jià)為____元.
14.古代中國(guó)的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國(guó)1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲___________斤.
15.已知關(guān)于x的方程的解是，那么關(guān)于y的一元一次方程的解是_________.
16.是關(guān)于x,y的二元一次方程組,則的值為______.
17.我們規(guī)定：若一個(gè)四位正整數(shù)能寫成兩個(gè)正整數(shù)的平方差,則稱M為“智慧數(shù)”.例如：因?yàn)?所以1000是“智慧數(shù)”.按照這個(gè)規(guī)定,1002______“智慧數(shù)”(填“是”或者“不是”).若智慧數(shù)M是偶數(shù),,,且滿足兩位數(shù)與兩位數(shù)的和為完全平方數(shù),則滿足條件的正整數(shù)M的值為____________.
三、解答題（本大題共6小題，共計(jì)57分，解答題應(yīng)寫出演算步驟或證明過程）
18.（6分）方程的解與關(guān)于x的方程的解互為倒數(shù)，求k的值.
19.（8分）閱讀以下內(nèi)容：
已知實(shí)數(shù)m，n滿足，且求k的值，
三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：
甲同學(xué)：先解關(guān)于m，n的方程組，再求k的值、
乙同學(xué)：將原方程組中的兩個(gè)方程相加，再求k的值
丙同學(xué)：先解方程組，再求k的值
(1)試選擇其中一名同學(xué)的思路，解答此題
(2)試說明在關(guān)于x、y的方程組中，不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變.
20.（8分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某汽車銷售公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽氣車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元.
（1）求A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少方元？
（2）若該公司計(jì)劃正好用200萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能汽車(兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買)，請(qǐng)你幫助該公司設(shè)計(jì)購(gòu)買方案
21.（10分）如圖,長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系中,其中,,點(diǎn)E是的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng),最終到達(dá)點(diǎn)E,若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒.
(1)當(dāng)秒時(shí),求的面積；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求x的值.
22.（12分）已知：有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且.
(1)若，，c的相反數(shù)是30，求a、b、c的值；
(2)在(1)的條件下，a、b、c分別是A、B、C點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)，
①線段AC的長(zhǎng)是________，將數(shù)軸折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，則折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是__________
②數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離加上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離減去P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為50，即?若存在，求出P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
③點(diǎn)C，B分別以4個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得為定值，若存在，請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
23.（13分）規(guī)定：關(guān)于，y的二元一次方程有無數(shù)組解，每組解記為，稱點(diǎn)為“坐標(biāo)點(diǎn)”，將這些“坐標(biāo)點(diǎn)”連接新得到一條直線，稱這條直線是“坐標(biāo)點(diǎn)”的“關(guān)聯(lián)線”，回答下列問題：
(1)已知，，，則是“關(guān)聯(lián)線”的“坐標(biāo)點(diǎn)”的________；
(2)若，是“關(guān)聯(lián)線”的“坐標(biāo)點(diǎn)”，求，b的值；
(3)已如m，是實(shí)數(shù)，且，若是“關(guān)聯(lián)線”的一個(gè)“坐標(biāo)點(diǎn)”，用等式表示與m之間的關(guān)系，并求出的最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：且，
，
即，
a與b互為相反數(shù)，
故選：A.
2.答案：B
解析：∵是關(guān)于x的一元一次方程的解，
∴關(guān)于y的一元一次方程的解是，解得：.
故選：B.
3.答案：D
解析：A.方程，移項(xiàng)，得，故A選項(xiàng)不符合題意；
B.方程，去括號(hào)，得，故B選項(xiàng)不符合題意；
C.方程，系數(shù)化為1，得，故C選項(xiàng)不符合題意；
D.方程，去分母得，故D選項(xiàng)符合題意.
故選：D.
4.答案：A
解析：設(shè)購(gòu)買A包裝面包x盒，B包裝面包y盒.
由題意，得，且x，y均為非負(fù)整數(shù)，
或或或
當(dāng)，時(shí)，費(fèi)用為（元）；
當(dāng)，時(shí)，費(fèi)用為（元）；
當(dāng)，時(shí)，費(fèi)用為（元）；
當(dāng)，時(shí)，費(fèi)用為（元）.
，
他最少需要花費(fèi)50元.
5.答案：A
解析：因?yàn)椋?，，所以，解?故選A.
6.答案：C
解析：設(shè)：購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品x件,乙種獎(jiǎng)品y件,
,解得,
∵,且x,y都是正整數(shù),
∴y是4的整數(shù)倍,
∴時(shí),,
時(shí),,
時(shí),,
時(shí),,不符合題意,
故有3種購(gòu)買方案,
故選：C.
7.答案：C
解析：12秒時(shí)，150米千米.設(shè)火車長(zhǎng)x千米.根據(jù)題意得，解得，0.265千米米.故火車長(zhǎng)265米.故選C.
8.答案：C
解析：如圖，設(shè)與交于N，與交于P，連接，，，，設(shè)的面積為x，的面積為y，則有的面積為2x，的面積為2y，
面積為1，，，
、的面積是，的面積是，
，解得，
的面積是，
設(shè)的面積為u，的面積為v，，
即，即四邊形的面積是，
陰影四邊形的面積=.
故選：C.
9.答案：B
解析：設(shè)采購(gòu)A種圖書x本,B種圖書y本,C種圖書z本,其中,,且x,y,z均為整數(shù),根據(jù)題意得,
,
整理得,,
①當(dāng)時(shí),,
∴,
∵,且y,z均為整數(shù),
∴當(dāng)時(shí),,∴；
當(dāng)時(shí),,∴；
當(dāng)時(shí),,∴；
②當(dāng)時(shí),,
∴,
∵,且y,z均為整數(shù),
∴當(dāng)時(shí),,∴；
當(dāng)時(shí),,∴；
當(dāng)時(shí),,∴；
綜上,此次共有6種采購(gòu)方案,
故選：B.
10.答案：C
解析：當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，解得，；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
綜上得，原方程組的解為：，
，
故選：C.
11.答案：D
解析：設(shè)T字框內(nèi)處于中間且靠上方的數(shù)為，則框內(nèi)該數(shù)左邊的數(shù)為，右邊的數(shù)為，下面的數(shù)為，所以T字框內(nèi)四個(gè)數(shù)的和為.A選項(xiàng)，令框住的四個(gè)數(shù)的和為22，則，解得，，故本選項(xiàng)不符合題意.B選項(xiàng)，令框住的四個(gè)數(shù)的和為70，則，解得，，故本選項(xiàng)不符合題意.C選項(xiàng)，令框住的四個(gè)數(shù)的和為182，則，解得，，故本選項(xiàng)不符合題意.D選項(xiàng)，令框住的四個(gè)數(shù)的和為206，則，解得.因?yàn)椋荒芴幵赥字框內(nèi)中間且靠上方的位置，所以框住的四個(gè)數(shù)的和不能為206，故本選項(xiàng)符合題意.
12.答案：C
解析：,
,
解得,故(1)正確；
,
,
,
,
,故(2)正確；
、n均取整數(shù),
,,,
∴,,(舍去),(舍去),(舍去),(舍去)
∴m,n有2組整數(shù)解,故(3)正確；
∵,無論k取何值時(shí),的值均不變,
,
∴或,故(4)不正確；
,
,
,
對(duì)任意有理數(shù)x、y都成立,
,故(5)正確；
綜上所述：(1)(2)(3)(5)正確,
故選：C.
13.答案：65
解析：設(shè)標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意有：
，
解得：.
故標(biāo)價(jià)為65元.
故答案為：65.
14.答案：
解析：設(shè)原有生絲x斤，3斤12兩斤，根據(jù)題意，得，解得.
15.答案：45
解析：因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，故答案?5.
16.答案：
解析：,
得：,即：,
將代入①可得：,
所以.
故答案為.
17.答案：不是1480
解析：假設(shè)1002是“智慧數(shù)”,則可設(shè)(m、n都是正整數(shù)),
∴,
∵,
∴或或或,
解得(舍去)或(舍去)或(舍去)或(舍去),
綜上所述,不存在正整數(shù)m、n使得,
∴1002不是“智慧數(shù)”；
∵,,
∴
,
∵M(jìn)為偶數(shù),
∴d為偶數(shù),
∴c為偶數(shù)且不為0,
當(dāng)時(shí),,則,
∵是完全平方數(shù),且,
∴當(dāng)時(shí),是平方數(shù),
∴,
∴此時(shí)M表示的數(shù)為1480,
∵,
∴此時(shí)M是“智慧數(shù)”,符合題意；
當(dāng)時(shí),,則,
∵是完全平方數(shù),且,
∴此時(shí)沒有滿足條件的b；
當(dāng)時(shí),,則,
∵是完全平方數(shù),且,
∴此時(shí)沒有滿足條件的b；
當(dāng)時(shí),,則,
∵是完全平方數(shù),且,
∴當(dāng)時(shí),是平方數(shù),
∴,
∴此時(shí)M表示的數(shù)為3226；
∵,
∴當(dāng)時(shí),則或,
解得或,
∴不存在正整數(shù)s、t使得成立,
∴3226不是“智慧數(shù)”；
綜上所述,M的值為1480,
故答案為：1480.
18.答案：1
解析：，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，
化系數(shù)為1，得.
∵的倒數(shù)是，
∴將代入方程，
則，
解得.
19.答案：(1)
(2)不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變
解析：(1)，
得到，，
，
，
解得.
(2)
得到：，
，
不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變.
20.答案：（1）A種型號(hào)的汽車每輛25萬元，B種型號(hào)的汽車每輛10萬元
（2）有三種購(gòu)買方案：第一種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車2輛，B型號(hào)的汽車15輛；第二種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車4輛，B型號(hào)的汽車10輛；第三種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車6輛，B型號(hào)的汽車5輛
解析：（1）設(shè)A種型號(hào)的汽車每輛x萬元，B種型號(hào)的汽車每輛y萬元，由題意得：
，
解得，.
答：A種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為25萬元，B種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為10萬元；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型汽車m輛，購(gòu)進(jìn)B型汽車n輛，由題意得：
，
解得：，
m，n均為正整數(shù)，
或或，
因此，共有三種購(gòu)買方案：
第一種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車2輛，B型號(hào)的汽車15輛；
第二種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車4輛，B型號(hào)的汽車10輛；
第三種方案：購(gòu)買A型號(hào)的汽車6輛，B型號(hào)的汽車5輛.
21.答案：(1)
(2)或
(3)6或5或
解析：(1)∵,,
∴,,
∵四邊形是長(zhǎng)方形,
∴,,
當(dāng)秒時(shí),,
∴的面積為；
(2)分三種情況討論,
①如圖,
當(dāng)P在上時(shí),,
∵的面積等于,
∴,
解得,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；
①當(dāng)P在上時(shí),,如圖,
∵點(diǎn)E是中點(diǎn),
∴
∵的面積等于,
∴,
∴,
解得(不符合題意,舍去)；
③當(dāng)P在上時(shí),,如圖,
∴,
解得,
∴,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
綜上可知,當(dāng)?shù)拿娣e等于,P點(diǎn)坐標(biāo)為或；
(3)由勾股定理,得,
①當(dāng)時(shí),
連接,
則,
∴P和A重合,
∴；
①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在上,
∴,
③當(dāng)時(shí),
過E作于H
則,,
∴,
∴,
解得,
綜上,當(dāng)為等腰三角形時(shí),x的值為6或5或.
22.答案：(1)，，
(2)①40，-10
②存在；-90或
(2)存在，定值是390.
解析：(1)，，c的相反數(shù)是30
解得或10，，
由數(shù)軸可知：，
，，
(2)①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：；
若A、C兩點(diǎn)重合，則折痕在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)即為AC的中點(diǎn)，故折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是；
②存在，求法如下
假設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為x，
當(dāng)P在C左側(cè)時(shí)，即，如下圖所示：
，，
根據(jù)，
解得：.
若P在C、A之間時(shí)，即，如下圖所示：
∴，，
根據(jù)
解得：，不符合前提，故舍去；
若P在A、B之間時(shí)，即，如下圖所示：
∴，，
根據(jù)
解得：；
若P在B右側(cè)時(shí)，即，如下圖所示：
∴，，
根據(jù)
解得：，不符合前提，故舍去；
綜上所述：P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是：-90或.
③存在，理由如下：
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，此時(shí)C表示的數(shù)為：，A表示的數(shù)為：，B表示的數(shù)為.
，，代入中得：
原式
為定值，即與t值無關(guān)，令t的系數(shù)為0即可，
，解得：
，代入得：
定值.
23.答案：(1)，
(2)，
(3)，3
解析：(1)依題意，，，
，，
則是“關(guān)聯(lián)線”的“坐標(biāo)點(diǎn)”的和；
(2)，是“關(guān)聯(lián)線”的“坐標(biāo)點(diǎn)”
即
由，得，
把代入①，得出
解得；
(3)已如m，是實(shí)數(shù)，且，
若是“關(guān)聯(lián)線”的一個(gè)“坐標(biāo)點(diǎn)”
則
整理得
則的最小值為3.
A包裝
B包裝
每盒面包個(gè)數(shù)
4
6
每盒價(jià)格/元
5
8

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專題四 一次方程（組）——2024屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)進(jìn)階講義：

這是一份專題四 一次方程（組）——2024屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)進(jìn)階講義，共21頁。試卷主要包含了等式的性質(zhì)，一元一次方程的定義，一元一次方程的解法，積分問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)第2章方程(組)與不等式(組)第5課時(shí)一次方程(組)中考演練(含答案)：

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