專題24 圖形的變化——平移、旋轉（中考高頻題型歸納與訓練）-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學真題題源解密（山東專用）(原卷版+解析版)

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?考向一 平移的性質
1.（2024?東營）如圖，將沿方向平移得到，若的周長為，則四邊形的周長為 ．

【答案】30
【分析】本題主要考查了平移的性質、三角形周長等知識點，掌握平移的性質及等量代換成為解題的關鍵．
由平移的性質可得,,再根據(jù)的周長為可得，然后根據(jù)四邊形的周長公式及等量代換即可解答．
【詳解】解：∵將沿方向平移得到，
∴,,
∵的周長為，
∴,即，
∴四邊形的周長為．
故答案為：30．
?考向二 平移的綜合應用
1.（2024?東營）在中，，，．
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，將繞點按逆時針方向旋轉得到，連接，，線段與的數(shù)量關系是______，與的位置關系是______；
(2)類比探究
將繞點按逆時針方向旋轉任意角度得到，連接，，線段與的數(shù)量關系、位置關系與（1）中結論是否一致？若交于點N，請結合圖2說明理由；
(3)遷移應用
如圖3，將繞點旋轉一定角度得到，當點落到邊上時，連接，求線段的長．
【答案】(1)；
(2)一致；理由見解析
(3)
【分析】（1）延長交于點H，根據(jù)旋轉得出，，，根據(jù)勾股定理得出，，根據(jù)等腰三角形的性質得出，，根據(jù)三角形內角和定理求出，即可得出結論；
（2）延長交于點H，證明，得出，，根據(jù)三角形內角和定理得出，即可證明結論；
（3）過點C作于點N，根據(jù)等腰三角形的性質得出，根據(jù)勾股定理得出，證明，得出，求出，根據(jù)解析（2）得出．
【詳解】（1）解：延長交于點H，如圖所示：
∵將繞點按逆時針方向旋轉得到，
∴，，，
∴根據(jù)勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：線段與的數(shù)量關系、位置關系與（1）中結論一致；理由如下：
延長交于點H，如圖所示：
∵將繞點旋轉得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：過點C作于點N，如圖所示：
根據(jù)旋轉可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根據(jù)勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根據(jù)解析（2）可知：．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
?考向一 旋轉的綜合應用
1.（2024?德州）在中，，，點D是上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段順時針旋轉得到線．
(1)如圖1，當時，求的度數(shù)；
(2)如圖2，連接，當時，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如果變化，請說明理由；
(3)如圖3，點M在CD上，且，以點C為中心，將線CM逆時針轉得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．
【答案】(1)
(2)的大小不發(fā)生變化，，理由見解析
(3)
【分析】（1）由旋轉的性質得，由等邊對等角和三角形內角和定理得到，由三角形外角的性質得，進而可求出的度數(shù)；
（2）連接交于點O，證明得，再證明即可求出的度數(shù)；
（3）過點C作于H，求出，則；由旋轉的性質得，，，設，則；如圖所示，過點D作于G，則可得到，，由勾股定理得；證明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【詳解】（1）解：由旋轉的性質得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不發(fā)生變化，，理由如下：
連接交于點O，
由旋轉的性質得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，過點C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋轉的性質得，，，
設，
∵，
∴，
如圖所示，過點D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵點D是上一個動點（點D不與A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，旋轉的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，等邊對等角等，正確作出輔助線構造相似三角形和直角三角形是解題的關鍵．
2.（2024?泰安）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．
(1)求證：，；
(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．
①請直接寫出與的位置關系：___________________；
②求證：．
【答案】(1)見解析
(2)①；②見解析
【分析】（1）先證明得到，，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質得到，根據(jù)等邊對等角證明，進而可證明；
（2）①延長到點，使，連接，延長到，使，連接并延長交于點．先證明，得到，，進而，．證明得到，然后利用三角形的中位線性質得到，則，進而證明即可得到結論；
②根據(jù)得到即可得到結論．
【詳解】（1）證明：在和中，
，，，
，
，．
是斜邊的中點，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延長到點，使，連接，延長到，使，連接并延長交于點．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
．
是中點，是中點，
是中位線，
．
，
，
．
，
．
故答案為：；
②證明： ∵，
，
，
．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的中位線性質、平行線的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，靈活添加輔助線構造全等三角形是解答的關鍵．
3.（2024?煙臺）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關系為________；
【類比探究】
（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關系并證明；
【聯(lián)系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．
（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；
（2）同（1）中方法證明，再證明即可；
（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）補全圖形如圖：
，理由如下：
過點作交于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
綜上：或
4.（2024?山東）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．
(1)求證：；
(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．
①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；
②當時，寫出線段，，的數(shù)量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數(shù)量關系．
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②當時，線段，，的數(shù)量關系為；當時，線段，，的數(shù)量關系為；
【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質可得結論；
（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結合，即，
而，可得，從而可得結論；②如圖，當時，連接，證明，可得，結合，可得；②如圖，當時，連接，同理，結合，可得
【詳解】（1）證明：設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）證明：①∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∵，即，
而，
∴，
∴四邊形是正方形；
②如圖，當時，連接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如圖，當時，連接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正方形的判定，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.
?考向二 平移、旋轉的坐標問題
1.（2024?濟寧）如圖，三個頂點的坐標分別是．
(1)將向下平移2個單位長度得，畫出平移后的圖形，并直接寫出點的坐標；
(2)將繞點逆時針旋轉得．畫出旋轉后的圖形，并求點運動到點所經(jīng)過的路徑長．
【答案】(1)作圖見解析，
(2)作圖見解析，
【分析】本題考查了作圖—平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質，
（1）利用平移的性質作出對應點，再連線即可，
（2）利用旋轉的性質分別作出對應點，再連線，運動到點所經(jīng)過的路徑長即為弧長即可可求解
【詳解】（1）解：如下圖所示：
由圖可知：；
（2）解：如上圖所示：
運動到點所經(jīng)過的路徑為：
2.（2024?青島）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（ ）
A．B．C．2,1D．
【答案】A
【難度】0.65
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉和平移，全等三角形的性質與判定，先根據(jù)題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點A的對應點坐標為；如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點A的對應點的坐標是．
【詳解】解：由題意得，平移前，
∵將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，
∴平移方式為向右平移3個單位長度，
∴平移后點A的對應點坐標為，
如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，
∴，
由旋轉的性質可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點A的對應點的坐標是，
故選：A．
3.（2024?濰坊）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為0,4，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查旋轉的性質，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．作，求出，的值即可得到答案．
【詳解】解：作，交y軸于點F，
由題可得：，
是等邊三角形，，
∴是的角平分線，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案為：．
4.（2024?淄博）如圖，已知，兩點的坐標分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應點是，則點的對應點的坐標是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了點的平移規(guī)律與圖形的平移，關鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據(jù)平移的性質，結合已知點，的坐標，知點的橫坐標加上了1，縱坐標加1，則的坐標的變化規(guī)律與點相同，即可得到答案．
【詳解】解：平移后對應點C的坐標為，
點的橫坐標加上了4，縱坐標加1，
,
點坐標為，
即，
故答案為：．
一、單選題
1．（24-25八年級上·山東濟寧·期中）如圖，，點A，B在直線a上，點C在直線b上，且，把沿方向每次平移的距離．第一次平移得到第一幅圖；第二次平移得到第二幅圖；第三次平移得到第三幅圖…繼續(xù)平移，那么第二十次平移得到第二十幅圖中等邊三角形的個數(shù)是（ ）
A．60B．61C．80D．100
【答案】C
【分析】本題考查了平移的性質、等邊三角形的性質、圖形類規(guī)律探索，由平移的性質和等邊三角形的定義并結合圖形得出規(guī)律第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為個，由此計算即可得解．
【詳解】解：由平移的性質和等邊三角形的定義可得：
第1個圖形中等邊三角形的個數(shù)為：個，
第2個圖形中等邊三角形的個數(shù)為：個，
第3個圖形中等邊三角形的個數(shù)為：個，
…，
第個圖形中等邊三角形的個數(shù)為：個，
故第二十次平移得到第二十幅圖中等邊三角形的個數(shù)是個，
故選：C．
2．（23-24八年級上·山東淄博·期末）如圖，是等腰直角三角形，是過點C的直線，，，則與通過下列交換：①繞點C旋轉后重合：②沿的中垂線翻折后重合：③沿方向平移后與重合：④繞中點M逆時針旋轉90度，則與重合；⑤先沿方向平移，使點E與點D重合后，再將平移后的三角形繞點D逆時針旋轉90度，則與重合．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了圖形的旋轉與平移的性質及軸對稱．掌握無論旋轉還是平移，運動后的圖形與原圖形是全等的是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理得到，則，，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出； 結合平移與旋轉的性質進行判斷即可．
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，是過點C的直線，， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
連接，
∵是等腰直角三角形，為的中點，
∴；
①繞點C旋轉后與不能重合，故①錯誤；
②沿的中垂線翻折后無法使與重合，故②錯誤；
③沿方向平移后不能與重合，故③錯誤；
④繞中點M逆時針旋轉90度，則與重合，故④正確；
⑤先沿方向平移，使點E與點D重合后，再將平移后的三角形繞點D逆時針旋轉90度，則與重合，故⑤正確；
綜上分析可知，正確的有2個，故B正確．
故選：B．
3．（24-25九年級上·山東濟寧·期中）如圖，甲同學將按照下面方式操作：
第一步，將繞點逆時針旋轉，得到；第二步，過作，交的延長線于點；第三步，作直線，交，分別于點，．
甲同學根據(jù)操作，寫出了四個結論：
①；②；③是的中線；④．其中正確的結論是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．②④
【答案】C
【分析】本題綜合考查了旋轉的性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識點．利用旋轉的性質結合三角形的性質求得，即可判斷①和③；證明四邊形是矩形，推出和，即可判斷②；利用勾股定理計算出和和，即可判斷④．
【詳解】解：∵，
∴，
由旋轉的性質得，，，，
∴，，
∴，
∴，結論①正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，結論③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，結論②正確；
設，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，結論④錯誤，
故選：C．
二、多選題
4．（23-24七年級下·山東濰坊·期末）在下面方格紙（每個小正方形的邊長為1個單位長度）中，由陰影部分構成了三個圖案，每個圖案分別由4個相同的基本圖形構成，下列說法正確的是（ ）
A．三個圖案的面積都是4
B．三個圖案都是軸對稱圖形
C．三個圖案都可以通過旋轉它的一個基本圖形得到
D．三個圖案都可以通過平移它的一個基本圖形得到
【答案】AB
【分析】本題考查了利用旋轉設計圖案，利用軸對稱設計圖案，利用平移設計圖案，熟練掌握平移、旋轉、軸對稱的性質是解題的關鍵．根據(jù)平移和旋轉的性質即可得到結論．
【詳解】解：A、三個圖案的面積都是4，故符合題意；
B、三個圖案都是軸對稱圖形，故符合題意；
C、只有圖案②③通過旋轉它的一個基本圖形得到，故不符合題意；
D、只有圖案②通過平移它的一個基本圖形得到，故不符合題意；
故選：AB．
三、解答題
5．（24-25七年級上·山東濟南·開學考試）在方格紙上按要求畫圖（小正方形的邊長為）．
(1)以線段為底，畫一個面積為的平行四邊形．
(2)畫出將圖①三角形繞點逆時針旋轉后得到的圖形．
(3)畫出將圖②長方形按放大后的圖形，并在放大后的圖形內畫一個最大的半圓．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】此題主要考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握旋轉性質，平移性質，比例性質，位似作圖，是解題的關鍵．
（1）把A、B兩點分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點D、C，連接；
（2）把點，分別繞點逆時針旋轉90°，得到，，再與點分別連接；
（3）以點為位似中心，按放大圖②長方形四個頂點，得，，，，順次首尾連接，再以點為圓心，4個單位長度為半徑，在長方形內畫半圓．
【詳解】（1）解：取點，，
順次連接，即可；
（2）解：取點，，
把，，三點連接起來即得圖③三角形；
（3）解：以點為位似中心，按放大圖②長方形四個頂點，
得，，，，順次首尾連接得到圖④長方形，
再以點為圓心，4個單位長度為半徑，在圖④長方形內畫半圓，即可．
6．（24-25八年級上·山東德州·開學考試）如圖1，已知點表示的立方根，且．將線段向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到線段，點E在y軸的負半軸，．
(1)直接寫出A，B，C，D各點的坐標；
(2)證明；
(3)求點E的坐標；
(4)如圖2，平分，平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)，，，
(2)證明見解析
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)立方根的性質求解的值，可得，的坐標，再利用平移的性質可得，的坐標；
（2）由平移的性質可得，證明，結合，可得，從而可得結論；
（3）如圖，取的三邊中點，可得，，，證明，可得，可得，證明，可得，可得；
（4）由，可得，結合三角形的內角和可得，證明，再結合角平分線的定義可得結論．
【詳解】（1）解：∵點表示的立方根，且．
∴，，
解得：，
∴，；
∵將線段向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，
∴，；
（2）證明：由平移可得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如圖，取的三邊中點，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴， 即，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，平行線的性質，坐標與圖形，立方根的含義，平移的性質，全等三角形的判定與性質，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．
7．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）如圖，三個頂點的坐標分別為，，．平移得到，已知點的坐標為
(1)點的坐標為_______，點的坐標為______；
(2)畫出；
(3)可以由經(jīng)過一次平移得到嗎？如果能，請在圖中標出平移的方向，并求出平移的距離．
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)可以由沿著方向經(jīng)過一次平移得到，平移距離為
【分析】本題考查了作圖—平移變換、勾股定理，熟練掌握平移的性質是解此題的關鍵．
（1）由題意得出平移方式為向右平移個單位長度，向下平移個單位長度，再由平移的性質即可得出答案；
（2）根據(jù)點的坐標描點連線即可；
（3）連接，可以由沿著方向經(jīng)過一次平移得到，再由勾股定理計算出平移距離即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，點的坐標為，
∴平移方式為向右平移個單位長度，向下平移個單位長度，
∴點的坐標為1,0，點的坐標為；
（2）解：如圖，即為所作，
；
（3）解：如圖，連接，可以由沿著方向經(jīng)過一次平移得到，
，
由勾股定理得：，
∴平移的距離為．
8．（2024·山東青島·二模）已知：如圖，在中， ，，，，將沿方向勻速運動得到，已知平移速度為1，分別與，相交于、，與相交于，設運動時間為．
解答下列問題：
(1)連接，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形是正方形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由；
(2)在運動過程中，是否存在某一時刻，使，若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
(3)連接，設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式．
【答案】(1)存在，
(2)存在，
(3)
【分析】（1）連接，首先證明四邊形為矩形，若四邊形為正方形，則有，然后求解即可；
（2）首先根據(jù)勾股定理解得，由平移的性質可得，，，，，，得，證明，由相似三角形的性質可得，代入數(shù)值可解得，，進而可得，當時，在和中，由勾股定理可得關于的方程，求解即可獲得答案；
（3）根據(jù)題意得到，得出，求出，然后證明出，作，，得到，求出，然后利用求解即可．
【詳解】（1）解：存在，，理由如下：
如下圖，連接，
∵，，
∴，
由平移的性質可得，，，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
若四邊形為正方形，
則有，
∴運動時間；
（2）存在， ，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，，
∴，
由平移的性質可得，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即有，
∴，，
∴，
當時，可有，
∴在中，，
在中，，
∴，整理可得，
解得；
（3）∵
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
作，
∴
∴
．
【點睛】本題主要考查了平移的性質、矩形的判定與性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大，熟練掌握平移的性質和相似三角形的性質是解題關鍵．
9．（23-24七年級下·山東濟寧·期中）在平面直角坐標系中，對于任意兩點和，我們定義它們兩點間的坐標距離如下：
若，則點和點的坐標距離為；
若，則點P1和點P2的坐標距離為．
已知點，將點A先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點B．
(1)點B的坐標為 ， A、B兩點間的坐標距離為 ；
(2)M為x軸正半軸上一點，N為y軸正半軸上一點，若M、N與點A之間的坐標距離均為3．
①求點M的坐標；
②求M、N兩點間的坐標距離．
【答案】(1)，3
(2)①②6
【分析】本題考查平移坐標的變化以及新定義運算，理解“兩點間的坐標距離”的定義，掌握平移坐標的變化規(guī)律是正確解答的關鍵．
（1）根據(jù)平移坐標的變化規(guī)律得出點B的坐標，再求出與的值，即可得出點A、點B的坐標距離；
（2）①根據(jù)兩點間的坐標距離的定義，由點與點之間的坐標距離等于3，可求出，進而得出點M的坐標；
②根據(jù)兩點間的坐標距離的定義，可確定n的取值范圍，再根據(jù)兩點間的坐標距離的定義進行解答即可．
【詳解】（1）將點先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點B，則點，
∵，
∴，
∴A、B兩點間的坐標距離為3，
故答案為：，3；
（2）設點，，
①∵點與點之間的坐標距離等于3，
∴，
解得或舍去，
∴點；
②由①知點，
又∵點與點之間的坐標距離等于3，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵點，點，而，
∴，
∴M、N兩點間的坐標距離是6．
10．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖所示的10×10的正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，請在所給的平面直角坐標系中解答下列問題：
(1)畫出繞原點O旋轉后的．
(2)將沿x軸翻折后再沿y軸向上平移2個單位長度，得到，請畫出，若在內有一點經(jīng)過這兩次變換后的對應點是，請直接寫出點的坐標．
(3)將繞某點逆時針旋轉后，得到，頂點A，B，C的對應點分別為，，，請畫出，并直接寫出旋轉中心的坐標．
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查作圖-旋轉變換、軸對稱變換、平移變換，熟練掌握旋轉的性質、平移的性質、軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據(jù)旋轉的性質作圖即可．
（2）根據(jù)軸對稱和平移的性質作圖即可；結合軸對稱和平移的性質可得答案．
（3）根據(jù)點，，的坐標描點再連線可得；連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點M，則點M即為旋轉中心，即可得出答案．
【詳解】（1）如圖，即為所求．
（2）如圖，即為所求．
由題意得，點的橫坐標為a，縱坐標為，
∴點的坐標為．
（3）如圖，即為所求．
連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點M，
則將繞點M逆時針旋轉后可得到，
∴旋轉中心點M的坐標為1,0．
11．（24-25八年級上·山東威?！て谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校珹是y軸上一動點，點B，C在x軸上，點D在y軸正半軸上，是等邊三角形，連接，將線段繞點B順時針旋轉得到，連接，．
(1)若點A在y軸負半軸上，求證：；
(2)連接，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)詳見解析
(2)的度數(shù)為或
【分析】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）由等邊三角形的性質可得，，，由旋轉的性質可得，，證明得出，即可得證；
（2）分三種情況：若點A在y軸負半軸上；②若點A在點D上方；③若點A在點D，O之間；分別利用等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質求解即可．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，．
∵，
∴，
由旋轉的性質可得：，，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：若點A在y軸負半軸上（如圖①）：
∵，，
∴．
∴．
∴．
由，可得．
．
∴．
∵，
∴．
．
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴．
．
∴
②若點A在點D上方（如圖②）：
可得．
∴，．
由（1）可得，．
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∵，
∴．
∴
③若點A在點D，O之間（如圖③）：
可得．
由于，
所以不可能是，與條件矛盾
綜上，的度數(shù)為或．
12．（24-25九年級上·山東臨沂·期中）綜合實踐：
動手操作：
小明在學完旋轉后，利用兩個相同的含有30°三角板進行旋轉，讓兩個30°的頂點放置在一起，取的中線，讓繞點任意旋轉．
發(fā)現(xiàn)結論：
在旋轉的過程中，發(fā)現(xiàn)線段與的位置存在平行的情況．
問題解決：
(1)如圖1，將繞點順時針旋轉60°，請判斷與平行嗎？并說明理由；
(2)當順時針旋轉一周時，還存在平行的情況嗎？若有，請求出旋轉的角度；若無，請說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)有，旋轉角為
【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，平行線的判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）結論：．延長交于點H．證明可得結論；
（2）存在．如圖2中，當時，旋轉角為．利用平行線的性質求解即可．
【詳解】（1） ；
理由：如圖，延長交于點，
，為的中線，
，
，，
，是等邊三角形，
，
將繞點順時針旋轉，
，，
，
，
，
，
；
（2）當旋轉角為時， ，
理由：如圖2：延長，交于點，
由（1）得， ，
為等邊三角形，
，
，
，
，
，
∴旋轉角．
13．（2024·山東濟南·模擬預測）（1）如圖1，在中，，點是內部任意一點．連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關系是______．
（2）如圖2，四邊形是正方形，繞點旋轉，且，，連接，直線與直線相交于點．
①求證：；
②如圖3，當點在的延長線上時，連接，已知，在旋轉的過程中，求線段的最小值．
【答案】
（1）
（2）①見解析
②
【分析】（1）直接證明，即可得出結論；
（2）①證明，得，即可求得，即可得出結論；
②過點作于點，作，交的延長線于點，過點作于點．先證明，得到．從而得證四邊形是正方形，得到．再證明，得到．再根據(jù)勾股定理得，則當最大時，最小，此時，即可求得，即可由求解．
【詳解】解：（1）由旋轉可得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①證明：四邊形是正方形，
，
又，
，
即，
在和中，
，
∴，
．
，
，
．
②解：如圖，過點作于點，作，交的延長線于點，過點作于點．
由①知，
，
四邊形是矩形，
．
又，
，
即．
在和中，
，
．
四邊形是正方形，
．
，
．
在和中，
，
．
，
當最大時，最小，此時，
，
．
【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，本題屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關性質的應用是解題的關鍵．
14．（23-24八年級下·山東淄博·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，已知邊長為8的正方形的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上.點P是x軸正半軸上的一動點，連接，直線繞點P順時針旋轉與過A點的直線相交于點D，連接

(1)求k的值；
(2)當點P在邊上時（點P與點A不重合），判斷形狀，并說明理由；
(3)如圖2，取的中點E，連接，以，為鄰邊構造平行四邊形.問是否存在點P使得平行四邊形是菱形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)的值為1
(2)形狀為等腰直角三角形，理由見解析
(3)存在，點的坐標為或．理由見解析
【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數(shù)、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四邊形的性質與菱形的性質，正方形的性質．綜合運用以上知識點是解題的關鍵．
（1）將點坐標代入求解即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定方法判定即可；
（3）利用證明，得到，，，設，則，，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，點坐標為．
代入，
可得：，
解得：．
的值為1．
（2）直線繞點P順時針旋轉與過A點的直線相交于點D，
，，
形狀為等腰直角三角形．
（3）解：存在點P使得平行四邊形是菱形．
則有．

理由：如圖，過點作軸于點，
，
，
，
又，
，
又，
．
，，
，
，
．
設，則，，
是的中點，
是的中線，
在， ， ．
根據(jù)勾股定理：
在中，，
，
解得：，．
點的坐標為或．
15．（23-24八年級下·山東濰坊·期末）綜合與實踐：利用旋轉解有關圖形的計算問題．
圖形的旋轉不僅是初中數(shù)學“圖形與幾何”領域的重要內容，也是解決平面幾何問題的一種解題策略和方法，同時它還是解決問題過程中實現(xiàn)轉化思想的一種工具和手段．
【嘗試解決】
（1）如圖，已知中，，，D是內一點，，，，求的度數(shù)．
思路分析：利用條件，把繞點A逆時針旋轉，再利用，，三邊之間的關系，就能方便地求出的度數(shù)．
請將下面解答過程補充完整．
解：將繞點A逆時針旋轉，則與重合，D落在E點的位置，連接．可得，，．
所以________；
在中，________，________；
所以________；
所以_______；
所以________________________．
【類比探索】
（2）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別在，上，且，若，，求的長．
【遷移應用】
（3）如圖，四邊形中，，，若四邊形的面積為8，則的長為多少？請直接寫出最后結果．
【答案】（1），，，是直角三角形，，；（2）7；（3）
【分析】此題考查了正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉的性質等知識，構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）根據(jù)旋轉的性質得到，再證明，則，即可得到答案；
（2）將繞點D順時針旋轉，則與重合，F(xiàn)落在H點的位置，連接，則，證明在同一條直線上，再證明，得到；
（3）過點C作于點E，過點C作于點F，證明，則，證明四邊形是正方形，則，根據(jù)正方形的面積四邊形的面積得到，即可得到答案．
【詳解】（1）解：將繞點A逆時針旋轉，則與重合，D落在E點的位置，連接．可得，，．
所以，
在中，，
所以
所以，
所以，
故答案為：，，，，，；
（2）將繞點D順時針旋轉，則與重合，F(xiàn)落在H點的位置，連接，則，
∴，，，
∴，在同一條直線上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）過點C作于點E，過點C作于點F，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴正方形的面積四邊形的面積，
∴，
∴．課標要求
考點
考向
1．通過具體實例認識平移，探索它的基本性質:一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等。
2. 認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應用。
3. 運用圖形的軸對稱、旋轉、平移進行圖案設計。
4. 通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質:一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等。
平移
考向一 平移的性質
考向二 平移的綜合應用
旋轉
考向一 旋轉的綜合應用
考向二 平移、旋轉的坐標問題
考點一 平移
考點二 旋轉