一、“單桿＋導(dǎo)軌”模型“單桿＋導(dǎo)軌”模型的四種典型情況(不計(jì)單桿的電阻)
例2 如圖2所示，豎直放置的U形光滑導(dǎo)軌與一電容器串聯(lián)。導(dǎo)軌平面有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬棒ab與導(dǎo)軌接觸良好，由靜止釋放后沿導(dǎo)軌下滑。電容C足夠大，原來(lái)不帶電，不計(jì)一切電阻。設(shè)導(dǎo)體棒的速度為v、動(dòng)能為Ek、兩端的電壓為Uab、電容器帶的電荷量為q，它們與時(shí)間t、位移x的關(guān)系圖像正確的是(　　)
二、“雙桿＋導(dǎo)軌”模型1.初速度不為零，不受其他水平外力
2.初速度為零，一桿受到恒定水平外力
例3 (2024·廣東深圳高三月考)某物理小組想出了一種理想化的“隔空”加速系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過(guò)利用其中一個(gè)金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電流從而使另一個(gè)金屬棒獲得速度，這樣就避免了直接對(duì)其進(jìn)行加速時(shí)所帶來(lái)的磨損和接觸性損傷，該加速系統(tǒng)可以建模抽象為在足夠長(zhǎng)的固定水平平行導(dǎo)軌上放有兩個(gè)金屬棒MN和PQ，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在水平面垂直，方向豎直向下，導(dǎo)軌電阻很小，可忽略不計(jì)。如圖3為模型俯視圖，導(dǎo)軌間的距離L＝1.0 m，每根金屬棒質(zhì)量均為m＝1.0 kg，電阻都為R＝5.0 Ω，可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦滑動(dòng)，滑動(dòng)過(guò)程中金屬棒與導(dǎo)軌保持垂直且接觸良好，在t＝0時(shí)刻，兩金屬棒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為F＝2.0 N恒力作用于金屬棒MN上，使金屬棒MN在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，經(jīng)過(guò)t＝10 s，金屬棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求：
(1)此時(shí)金屬棒PQ的加速度；
解析　恒力作用于MN桿，使其在導(dǎo)軌上向右加速運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)右手定則知電流方向?yàn)镸→N，電流流經(jīng)PQ，根據(jù)左手定則MN受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它們都做加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)MN由牛頓第二定律得F－ILB＝ma對(duì)PQ由牛頓第二定律得ILB＝ma′聯(lián)立解得a′＝0.4 m/s2。答案　0.4 m/s2　
(2)此時(shí)兩金屬棒MN和PQ的速度；
解析　設(shè)某時(shí)刻MN速度為v1，PQ速度為v2，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有
在t＝10 s時(shí)，對(duì)MN，由牛頓第二定律得F－ILB＝ma
代入數(shù)據(jù)得v1－v2＝16 m/s由于作用于兩根桿的安培力等大反向，所以作用于兩桿系統(tǒng)的合力為水平恒力F，對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0代入數(shù)據(jù)得v1＋v2＝20 m/s聯(lián)立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。答案　18 m/s　2 m/s　
(3)金屬棒MN和PQ的最大速度差。
解析　MN桿做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，PQ桿做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，最終共加速度，設(shè)兩金屬棒的共同加速度為a共，對(duì)系統(tǒng)有F＝2ma共對(duì)PQ桿有ImLB＝ma共
1.(多選)如圖1所示，兩平行光滑導(dǎo)軌MN、M′N(xiāo)′左端通過(guò)導(dǎo)線與電源和不帶電電容器相連，導(dǎo)軌平面水平且處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一定阻值的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將開(kāi)關(guān)S與1閉合，當(dāng)棒達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后S與2閉合，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，電源內(nèi)阻不計(jì)。則(　　)
A.S與1閉合后，棒ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)B.從S與1閉合到棒ab達(dá)到某一速度，電源消耗的電能等于棒獲得的動(dòng)能和電路產(chǎn)生的焦耳熱C.S與2閉合后，棒ab中電流不斷減小直到零D.S與2閉合后，棒ab的速度不斷減小直到零
解析　根據(jù)題意可知，S與1閉合后，棒ab受安培力作用做加速運(yùn)動(dòng)，棒ab切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，棒ab中的電流減小，受到的安培力減小，則棒的加速度減小，直到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于電源電動(dòng)勢(shì)，棒最后勻速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意，由能量守恒定律可知，從S與1閉合到棒ab達(dá)到某一速度，電源消耗的電能等于棒獲得的動(dòng)能和電路產(chǎn)生的焦耳熱，故B正確；S與2閉合后，棒ab相當(dāng)于電源給電容器充電，此過(guò)程棒受到的安培力水平向左，棒減速運(yùn)動(dòng)，則電動(dòng)勢(shì)減小，電容器兩板間電壓升高，棒ab中的電流不斷減小，當(dāng)棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電容器兩板間的電勢(shì)差相等時(shí)，電路中的電流減小到零，隨后棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤，C正確。
2.(多選)如圖2所示，兩條光滑的不計(jì)電阻的金屬導(dǎo)軌平行固定在斜面上，導(dǎo)軌所在區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，導(dǎo)軌上端連接電阻R。在不加其他外力的情況下，不計(jì)電阻的導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌下滑，棒開(kāi)始具有沿軌道向下的加速度，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，且平行于斜面底邊，則在下滑過(guò)程中，導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流I、穿過(guò)棒與導(dǎo)軌圍成的閉合回路的磁通量Φ隨時(shí)間t變化的關(guān)系可能正確的是(　　)
答案　BC解析　cd在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，abdc回路中磁通量減小，根據(jù)楞次定律可知，閉合回路感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與原磁場(chǎng)方向相同，故A錯(cuò)誤；當(dāng)ab進(jìn)入磁場(chǎng)后回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，則ab受到向左的安培力而做減速運(yùn)動(dòng)，cd受到向右的安培力
4.(多選)如圖4，水平面內(nèi)固定著足夠長(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌abcd－a′b′c′d′，ab－a′b′導(dǎo)軌寬度是cd－c′d′導(dǎo)軌寬度的2倍，cd－c′d′導(dǎo)軌寬度為L(zhǎng)，導(dǎo)軌處于方向垂直于軌道平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，金屬棒PQ和MN分別垂直導(dǎo)軌放置在導(dǎo)軌ab－a′b′段和cd－c′d′段上，金屬棒PQ和MN的質(zhì)量之比為2∶1，長(zhǎng)度分別為2L和L，兩金屬棒電阻均為R。現(xiàn)給金屬棒MN一個(gè)向右的初速度，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩棒始終沒(méi)有離開(kāi)各自的導(dǎo)軌段，并與導(dǎo)軌接觸良好，其余部分的電阻均不計(jì)，則(　　)
A.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬棒PQ和MN的加速度大小之比為1∶2B.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬棒PQ和MN所受的安培力的沖量大小之比為2∶1C.運(yùn)動(dòng)到速度穩(wěn)定時(shí)金屬棒PQ和MN的速度之比為1∶2D.運(yùn)動(dòng)到速度穩(wěn)定時(shí)金屬棒PQ和MN兩端的電壓之比為2∶1
解析　運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)PQ有I·2LB＝2ma1，對(duì)MN有ILB＝ma2，所以運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度大小之比為1∶1，故A錯(cuò)誤；因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ所受安培力大小為MN的兩倍，在相同時(shí)間內(nèi)安培力的沖量大小之比I1∶I2＝2∶1，故B正確；金屬棒運(yùn)動(dòng)到速度穩(wěn)定時(shí)有B·2Lv1＝BLv2，故運(yùn)動(dòng)到速度穩(wěn)定時(shí)，金屬棒PQ和MN的速度之比v1∶v2＝1∶2，故C正確；P、M兩點(diǎn)電勢(shì)相等，Q、N兩點(diǎn)電勢(shì)相等，任意時(shí)刻都有UPQ＝UMN，即金屬棒PQ和MN兩端的電壓之比為1∶1，故D錯(cuò)誤。
5.如圖5所示，兩光滑平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌水平固定放置，導(dǎo)軌間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。兩根相同的金屬棒ab、cd垂直放置在導(dǎo)軌上，處于靜止?fàn)顟B(tài)。t＝0時(shí)刻，對(duì)cd棒施加水平向右的恒力F，棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。兩棒的速度vab、vcd和加速度aab、acd隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖像可能正確的是(　　)
6.(2024·河北省衡水模擬)如圖6所示，兩根足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，間距L＝0.5 m。在軌道上有兩根質(zhì)量分別為ma＝0.3 kg、mb＝0.2 kg，接入電路電阻分別為Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω的導(dǎo)體棒a和b，在軌道區(qū)域內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝1 T。現(xiàn)給導(dǎo)體棒a一個(gè)向右的、大小為v0＝5 m/s的初速度，兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持與導(dǎo)軌垂直，且兩導(dǎo)體棒未相碰，g＝10 m/s2。求：
(1)流經(jīng)導(dǎo)體棒b的最大電流；(2)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩棒相距最近的過(guò)程中，流經(jīng)b的電荷量；(3)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩棒相距最近的過(guò)程中，導(dǎo)體棒a上產(chǎn)生的焦耳熱；(4)當(dāng)導(dǎo)體棒a的速度大小為va＝4 m/s時(shí)，b的加速度大小。
答案　(1)0.5 A　(2)1.2 C　(3)0.6 J　(4)0.625 m/s2
聯(lián)立解得Qa＝0.6 J。
(4)當(dāng)導(dǎo)體棒a的速度大小為va＝4 m/s時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mav0＝mava＋mbvb解得vb＝1.5 m/s故此時(shí)電路中的總電動(dòng)勢(shì)為E＝BLva－BLvb＝1.25 V
聯(lián)立解得a＝0.625 m/s2。

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