1．若復數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3．若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
4．設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
5．以下數(shù)據為某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的10人的成績：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績的第百分位數(shù)是85，則（ ）
A．65B．70C．75D．80
6．自1972年慕尼黑奧運會將射箭運動重新列入奧運會項目以來，這項運動逐漸受到越來越多年輕人的喜愛．已知甲、乙兩位射箭運動員射中10環(huán)的概率均為，且甲、乙兩人射箭的結果互不影響，若兩人各射箭一次，則甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，，則用基底表示向量為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9．下列結論正確的有（ ）
A．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，恰有一個黑球與至少有一個紅球是互斥事件
B．在標準大氣壓下，水在4℃時結冰為隨機事件
C．若一組數(shù)據1，，2，4的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據的平均數(shù)為
D．某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為400的樣本進行調查．若該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為，則應從四年級中抽取80名學生
10．下列命題正確的是（ ）
A．若，則與，共面
B．若，則共面
C．若，則共面
D．若，則共面
11．在中，角所對的邊分別為下列結論正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形
B．若，則
C．若，三角形面積，則
D．若，則為等腰三角形
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知向量與的夾角為，且，則實數(shù)的值為 .
13．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，則原△ABC的面積為 ．
14．某次聯(lián)歡會上設有一個抽獎游戲，抽獎箱中共有四種不同顏色且形狀大小完全相同的小球16個，分別代表一等獎、二等獎、三等獎、無獎四種獎項.其中紅球代表一等獎且只有1個，黃球代表三等獎，從中任取一個小球，若中二等獎或三等獎的概率為，小華同學獲得一次摸獎機會，則求他不能中獎的概率是 .
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15．已知復數(shù)（，是虛數(shù)單位）．
（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）設是的共軛復數(shù)，復數(shù)在復平面上對應的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍．
16．已知，.
(1)求與的夾角；
(2)求；
(3)若，，求的面積.
17．如圖，三棱臺中， 分別為的中點.
（Ⅰ）求證：平面 ；
（Ⅱ）若求證：平面平面 .
18．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角B的大?。?br>(2)若，D為邊上的一點，，且______，求的面積．
請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題．
①是的平分線；②D為線段的中點．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答記分．）
19．黨的十九大報告指出，要以創(chuàng)新理念提升農業(yè)發(fā)展新動力，引領經濟發(fā)展走向更高形態(tài).為進一步推進農村經濟結構調整，某村舉辦水果觀光采摘節(jié)，并推出配套鄉(xiāng)村游項目現(xiàn)統(tǒng)計了4月份200名游客購買水果的情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）若將購買金額不低于80元的游客稱為“水果達人”，現(xiàn)用分層抽樣的方法從樣本的“水果達人”中抽取5人，求這5人中消費金額不低于100元的人數(shù)；
（2）從（1）中的5人中抽取2人作為幸運客戶免費參加山村旅游項目，請列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率；
（3）為吸引顧客，該村特推出兩種促銷方案，
方案一：每滿80元可立減8元；
方案二：金額超過50元但又不超過80元的部分打9折，金額超過80元但又不超過100元的部分打8折，金額超過100元的部分打7折.
若水果的價格為11元/千克，某游客要購買10千克，應該選擇哪種方案更優(yōu)惠.
1．B
【分析】根據復數(shù)模的運算和商的運算化簡復數(shù)，然后根據虛部的概念求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以的虛部為.
故選：B
2．D
【分析】直接由投影向量公式求解即可.
【詳解】在上的投影向量為.
故選：D.
3．C
【分析】根據給定條件，利用球的截面小圓性質及球的面積公式計算即得.
【詳解】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，
因此球的半徑，有，
所以球的表面積.
故選：C
4．C
【分析】根據兩平面的位置關系可判斷A；根據線面平行的性質結合線線的位置判斷B；根據線面的垂直的性質可判斷CD.
【詳解】在A中，若，，則，可能相交或平行，故A錯誤：
在B中，若，，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤：
在C中，若，，則由線面垂直的性質定理得，故C正確；
在D中，若，，則由線面垂直的性質定理得，故D錯誤.
故選：C.
5．B
【分析】由樣本數(shù)據第百分位的定義求解即可得出答案.
【詳解】因為10人成績的第百分位數(shù)是，
而，即第位與第位的平均值，
所以是這10人成績的第百分為數(shù).
故選：B.
6．D
【分析】利用獨立事件的乘法公式及對立事件的概率公式即可求解.
【詳解】記“甲射中10環(huán)”為事件，“乙射中10環(huán)”為事件，，
甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為：
.
故選：D．
7．B
【分析】根據空間向量基本定理結合向量的線性運算，用基底表示即可.
【詳解】連接，如圖，
因為是的中點，所以
.
故選：B
8．B
【分析】由直線方向向量與平面法向量的位置關系得兩平面的位置關系，由此即可得解.
【詳解】由題意或.
故選：B.
9．CD
【分析】對于A，分別寫出兩個事件，根據互斥事件的概念判斷；對于B，根據物理知識之間判斷選項；對于C，根據眾數(shù)和平均數(shù)公式計算結果；對于D，根據分層抽樣的計算公式，計算結果.
【詳解】對于A，恰有一個黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個紅球包含的事件是“一紅一黑”和“兩個紅球”，兩個事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A錯誤，
對于B，在標準大氣壓下，水在4℃時結冰為不可能事件，故B不正確，
對于C，眾數(shù)是2，所以，平均數(shù)，故C正確，
對于D，由條件可知名學生，故D正確.
故選：CD.
10．ABD
【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點的三條向量共面，進而可判斷四點共面，針對，可以利用線性運算轉化為，再進行判斷.
【詳解】選項A，根據共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項A是正確的；
選項B，根據共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點，
所以共面；
選項C，舉反例說明，若，，是一個正方體同一個頂點的三條棱所對應的向量，
則它們的和向量是以為起點的對角線向量，而是該對角線向量的相反向量，
此時顯然四個點不在同一個平面上，所以C選項是錯誤的；
選項D，由可得，
則，即，
則，此時與選項B一樣，可以判斷共面，即D選項是正確的；
故選：ABD．
11．BC
【分析】對于A，根據余弦定理，判定為銳角即可求解；
對于B，根據大角對大邊，及正弦定理求解；
對于C，利用三角形的面積計算公式、余弦定理即可求解；
對于D，根據正弦定理的邊角化，再利用倍角公式及角的范圍即可求解.
【詳解】對于A，由余弦定理得所以為銳角，但是角的大小不清楚，所以不能判定為銳角三角形，故A不正確；
對于B，在中，，則，由正弦定理得，，
即，故B正確；
對于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正確；
對于D，由及正弦定理，得，即，
因為，所以或，解得或，所以為等腰三角形或為直角三角形，故D不正確.
故選：BC.
12．
【分析】根據可得，再根據平面向量的數(shù)量積公式求解即可
【詳解】由可得，即，，代入可得，化簡得
故
平面向量的垂直：
若向量，則
13．
【分析】利用“斜二測畫法”判斷平面圖形的形狀，然后求解面積即可．
【詳解】水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'＝C'O'＝2，，
可知原△ABC是等腰直角三角形，底邊長為4，高為23，
則原△ABC的面積為：．
故答案為43．
本題考查斜二測畫法，平面圖形的面積的求法，考查計算能力．
14．
【分析】根據題意，求得個球中代表無獎的球的個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求得結果.
【詳解】從個球中任取一個小球，中二等獎或三等獎的概率為，
故可得代表二等獎和三等獎的球共有個，又代表一等獎的球有個，
故代表無獎的球有個，故小華同學獲得一次摸獎機會，不能中獎的概率.
故答案為.
15．（1）；（2）．
【分析】（1）利用復數(shù)的除法公式計算并整理，再由純虛數(shù)中實部為零，虛部不為零構建方程組，求得答案；
（2）由共軛復數(shù)和復數(shù)的加減法計算公式整理，再由復數(shù)的幾何意義構建不等式組，求得答案.
【詳解】（1），
因為為純虛數(shù)，所以，解得．
（2）因為是的共軛復數(shù)，所以，
所以．
因為復數(shù)在復平面上對應的點位于第二象限，所以
，解得．
本題考查復數(shù)中利用純虛數(shù)的定義求參數(shù)取值范圍，還考查了由復數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍，屬于基礎題.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把展開，利用向量的夾角公式可得答案；
（2）可先將平方轉化為向量的數(shù)量積計算可得答案；
（3）由與的夾角得到，利用三角形面積公式計算可得答案.
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以，所以，
所以，
又，所以；
（2）因為，
所以；
（3）因為與的夾角，所以，
又，，
所以.
17．證明見解析
【分析】如下
【詳解】（Ⅰ）證法一：連接設,連接，在三棱臺中，分別為的中點，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點，又是的中點，所以,
又平面，平面，所以平面.
證法二：在三棱臺中，由為的中點，
可得所以為平行四邊形，可得
在ΔABC中，分別為的中點，
所以又，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面.
（Ⅱ）證明：連接.因為分別為的中點，所以由得，又為的中點，所以因此四邊形是平行四邊形，所以
又，所以.
又平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面
考點：1.平行關系；2.垂直關系.
18．(1)
(2)選擇①②，答案均為
【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；
（2）選①，根據面積公式得到，結合余弦定理得到，求出面積；
選②，根據數(shù)量積公式得到，結合余弦定理得到，求出，得到面積.
【詳解】（1）由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，∴，，
∵B∈0,π，∴．
（2）若選①：由平分得，，
∴，即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
聯(lián)立得，
解得，（舍去），
∴．
若選②：因為，
所以，
即，得，
在中，由余弦定理得，
即，
聯(lián)立，可得，
∴．
19．（1）2；（2）；（3）應該選擇方案二更優(yōu)惠.
【分析】（1）由題意可求出金額在“水果達人”的人數(shù)30人和消費金額在“水果達人”的人數(shù)20人，然后利用分層抽樣的比求出5人中消費金額不低于100元的人數(shù)為人；
（2）由（1）可知抽取的5人中消費金額在的有3人，分別記為，，，消費金額在的有2人，記為，，即可列出所有的基本事件共有10種，其中滿足條件的有7種，從而可求出概率；
（3）由題意可得該游客要購買110元水果，分別計算兩種方案所需支付金額，即可得解.
【詳解】解：（1）由圖可知，
消費金額在“水果達人”的人數(shù)為：人，
消費金額在“水果達人”的人數(shù)為：人，
分層抽樣的方法從樣本的“水果達人”中抽取5人，這5人中消費金額不低于100元的人數(shù)為：人；
（2）由（1）得，
消費金額在的3個“水果達人”記為，，，
消費金額在的2個“水果達人”記為，，
所有基本事件有：
，，，，，，，，，共種，
2人中至少有1人購買金額不低于100元的有種，
所求概率為.
（3）依題可知該游客要購買110元的水果，
若選擇方案一，則需支付元，
若選擇方案二，則需支付元，
所以應該選擇方案二更優(yōu)惠.
此題考查了頻率分布直方圖，古典概型，函數(shù)等基礎知識，考查了數(shù)據分析能力，運算求解能力，考查了化歸與轉化思想，屬于中檔題.
山東省聊城市2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學檢測試題（二）
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則（ ）
A．B．2,3C．D．
2．下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，一個半徑為米的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車的軸心距離水面的高度為米．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系可以表示為（ ）

A．B．
C．D．
6．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B． C．D．
7．若是三角形的一個內角，且函數(shù)在區(qū)間上單調，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點a，b，c，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
第II卷
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．以下說法正確的是（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要條件
C．若一扇形弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為
D．“，”是真命題，則
10．若實數(shù)、滿足，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．
B．在上單調遞增
C．若、，且，則
D．把的圖象向右平移個單位長度，然后再把所得曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知冪函數(shù)的圖象通過點，則 ．
13．若，且，則的最小值為 ．
14．在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15．函數(shù)的值域為，的定義域為．
(1)求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
16．在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點．
(1)求的值；
(2)已知為銳角，，求．
[2023?新課標I卷]
17．已知在中，A+B=3C,2sinA?C=sinB．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
18．已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上的單調性，并根據定義證明你的判斷；
(2)函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)．依據上述結論，證明：的圖象關于點成中心對稱圖形．
19．已知函數(shù)，、是的圖象與直線的兩個相鄰交點，且．
(1)求的值及函數(shù)在上的最小值；
(2)若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
1．C
【分析】利用補集和交集的概念求出答案.
【詳解】，故.
故選：C
2．B
【分析】由三角函數(shù)周期性，奇偶性逐一判斷每一選項即可求解.
【詳解】對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯誤；
對于B，若，首先定義域為關于原點對稱，
且，所以是偶函數(shù)，
又，所以是周期函數(shù)，故B正確；
對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯誤；
對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：B.
3．A
【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出結果.
【詳解】因為，且，
所以，則，.
則.
故選：A.
4．D
【分析】直接判斷的范圍，再比較大小.
【詳解】利用對數(shù)函數(shù)的性質可得,,
利用誘導公式可得
所以.
故選：D
5．A
【分析】設，由，可求得、的值，由題意得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，然后由結合的取值范圍可得出的值，由此可得出與時間（單位：）之間的關系式.
【詳解】設，
由題意可知，，，解得，，
函數(shù)的最小正周期為，
則，
當時，，可得，
又因為，則，故，
故選：A.
6．C
【分析】由解析式判斷出函數(shù)的奇偶性，再帶入特殊點逐一排除即可.
【詳解】由函數(shù)可知定義域為,且定義域關于原點對稱.
因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項B;
因為，故排除選項A;
因為，故排除選項D.
故選：C.
7．B
【分析】根據三角函數(shù)的單調性列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】當時，，
由于是三角形的一個內角，所以，
則，
由于函數(shù)在區(qū)間上單調，
所以，解得，
即的取值范圍為.
故選：B
8．B
【分析】畫出函數(shù)和的圖象，得到，，且，化簡得到，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】畫出的圖象和的圖象，如下：
由題意得，，且，
即，，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
故選：B
函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.
9．ACD
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題可判斷A，根據充分條件和必要條件的定義可判斷B選項；由扇形的弧長與面積公式可求C，對二次項系數(shù)進行討論，分為和兩種情形，結合判別式可得結果判斷D.
【詳解】對于A，“，”的否定是“，”，故A正確；
對于B，即，解得，
因為所以“”是“”的必要不充分條件，故B錯誤；
對于C，扇形弧長為，圓心角為，所以扇形的半徑長為，
則該扇形面積為，故C正確；
對于D，因為“，”是真命題，即，對恒成立.
當時，命題成立；
當時，，解得，
綜上可得，，故D正確；
故選：ACD.
10．BC
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性可得出，利用特殊值法可判斷A選項；利用作差法可判斷B選項；利用對數(shù)函數(shù)的單調性可判斷C選項；利用中間值可判斷D選項.
【詳解】因為函數(shù)為上的增函數(shù)，由，可得，
對于A選項，當時，，A錯；
對于B選項，因為，則，
所以，，B對；
對于C選項，因為，則，可得，
所以，，
因為對數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，故，C對；
對于D選項，，D錯.
故選：BC.
11．ACD
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，可判斷A選項；利用余弦型函數(shù)的單調性可判斷B選項；利用余弦型函數(shù)的對稱性可求出的值，代值計算出的值，可判斷C選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，由圖可知，，
函數(shù)的最小正周期滿足，可得，則，
則，
又因為，可得，
因為，則，所以，，可得，
所以，，A對；
對于B選項，當時，，
所以，在上不單調，B錯；
對于C選項，當時，，
由可得，
所以，函數(shù)在區(qū)間內的圖象關于直線對稱，
若、，且，則，
所以，，C對；
對于D選項，把的圖象向右平移個單位長度，
可得到函數(shù)的圖象，
再將所得曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，
則，D對.
故選：ACD.
12．##0.5
【分析】由冪函數(shù)的定義，結合函數(shù)過求得函數(shù)解析式，進而可得的值.
【詳解】設冪函數(shù)的解析式為
∵冪函數(shù)過點
∴
∴
∴該函數(shù)的解析式為，
∴.
故
13．8
【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.
【詳解】因為若，且，則，
又因為，所以，
令，則，即，解得或（舍去），
當且僅當時，等號成立，所以的最小值為8.
故8.
14．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據正弦定理求出，即可根據三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故．
本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合，利用集合的包含關系可得出關于實數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】（1）解：因為在上單調遞減，
所以，當時有最大值，且最大值為，
當時，有最小值，最小值為，
所以．
（2）解：由，得，解得，
所以，，
因為，所以，解得．
故實數(shù)的取值范圍．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出的值，利用誘導公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值；
（2）求出的值，利用兩角差的正弦公式求出的值，結合角的范圍可求得角的值.
【詳解】（1）解：因為角的終邊過點，所以，
則，，．
．
（2）解：因為角的終邊過點，所以為第四象限角，即，
又因為為銳角，則，可得，
因為，則，
因為，所以．
則
．
所以．
17．(1)
(2)6
【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由=sinAcsC+csAsinC=22(31010+1010)=255，
由正弦定理，，可得，
，
.
18．(1)單調遞減，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用單調性得定義證明即可；
（2）構造，只需證明為奇函數(shù)即可.
【詳解】（1）函數(shù)在上單調遞減．證明如下：
任取，且，
．
因為，且，
所以，，
所以，即，
故函數(shù)在上單調遞減．
（2）證明：設，
則．
因為函數(shù)定義域為，
且，
所以為奇函數(shù)．
故的圖象關于點成中心對稱圖形．
19．(1)，最小值為
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，根據題中信息求出函數(shù)的最小正周期，可得出的值，即可得出函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的基本性質可求出函數(shù)在上的最小值；
（2）設，可得出，設，可知在上恒成立，可得出關于的不等式組，解之即可.
【詳解】（1）解：函數(shù)
， 則，
因為、是函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點，且，
所以，函數(shù)的最小正周期為，則，
可得．
由，得，所以，，
所以，，故函數(shù)在上的最小值為．
（2）解：設，因為，所以．
因為不等式恒成立，
設，
所以在上恒成立．
則，即，
解得，故的取值范圍為．

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