1．“，”的否定是（ ）
A．，使得B．，
C．，使得D．，
2．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置不可能為（ ）
A．B．
C．D．
5．一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺水果分選機進(jìn)行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．某省高考改革試點方案規(guī)定：2023年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為，，，，，，，共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，，選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，，，，，，，八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，如果該省某次高考模擬考試物理科目的原始成績，那么等級的原始分最低大約為（ ）
參考數(shù)據(jù)：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：
A．57B．64C．71D．77
7．拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射后，集中于它的焦點.已知一束平行于軸的入射光線的一束光線與拋物線的交點為，則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為（ ）
A．B．C．D．
8．若對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．某科技企業(yè)為了對一種新研制的專利產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．產(chǎn)品的銷量與單價成負(fù)相關(guān)
B．為了獲得最大的銷售額（銷售額單價銷量，單價應(yīng)定為70元或80元
C．
D．若在這些樣本點中任取一點，則它在線性回歸直線左下方的概率為
10．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，D．的最小值為
11．伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是的雙紐線上一點，下列說法正確的是（ ）
A．若直線交雙紐線于，，三點（為坐標(biāo)原點），則
B．雙紐線上滿足的點有2個
C．的面積的最大值為
D．的周長的取值范圍為
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.
12．若，則 ； .
13．若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數(shù)的取值范圍為 ．
14．設(shè)函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為 .
四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．已知函數(shù).
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，對，使得成立，求的取值范圍.
16．2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學(xué)生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對本校的高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三年級1000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方圖.
（1）若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計全年級高三學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.01）；
（2）該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對抽取的100名學(xué)生名次在名和名的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?
（3）在（2）中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級名次在名的概率.
，其中.
17．在三棱臺中，平面，，且，，為的中點，是上一點，且（）.

(1)求證：平面；
(2)已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時，求平面與平面所成夾角的余弦值.
18．如圖，雙曲線的左?右焦點，分別為雙曲線的左?右頂點，過點的直線分別交雙曲線的左?右兩支于兩點，交雙曲線的右支于點（與點不重合），且與的周長之差為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線交雙曲線的右支于兩點.
①記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；
②試探究：是否為定值？并說明理由.
19．設(shè)實系數(shù)一元二次方程①，有兩根，
則方程可變形為，展開得②，
比較①②可以得到
這表明，任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.這就是我們熟知的一元二次方程的韋達(dá)定理.
事實上，與二次方程類似，一元三次方程也有韋達(dá)定理.
設(shè)方程有三個根，則有③
(1)證明公式③，即一元三次方程的韋達(dá)定理；
(2)已知函數(shù)恰有兩個零點.
（i）求證：的其中一個零點大于0，另一個零點大于且小于0；
（ii）求的取值范圍.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
單價（元）
40
50
60
70
80
90
銷量（件）
50
44
43
35
28
年級名次
是否近視
近視
40
30
不近視
10
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
1．A
【分析】根據(jù)含有一個量詞的否定判斷即可.
【詳解】“，”的否定是“，使得”，
故選：A.
2．B
【分析】先求出集合，再求出圖中陰影部分表示的集合；最后利用集合的子集個數(shù)公式即可求解.
【詳解】由圖可知：陰影部分表示的集合為.
因為集合，
所以，
則，
所以陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為.
故選：B.
3．B
【分析】利用特殊值說明充分性不成立，根據(jù)單調(diào)性得到，即可說明必要性成立，從而得解.
【詳解】當(dāng)，滿足，但是，顯然是遞減數(shù)列，故充分性不成立，
當(dāng)是遞增數(shù)列，則，
若，則an單調(diào)遞減，顯然不恒成立，
所以，所以必要性成立，
所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B
4．C
【分析】由圓的位置和直線所過定點，判斷直線與圓的位置關(guān)系.
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
直線過圓內(nèi)定點，斜率可正可負(fù)可為0，
ABD選項都有可能，C選項不可能.
故選：C.
5．A
【分析】記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，利用全概率公式計算出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，
記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，
則，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.
故選：A.
6．C
【分析】首先計算排在等級最低分后面的學(xué)生約為學(xué)生總數(shù)的90%，結(jié)合，以及當(dāng)時，，可得到，計算即可得到答案．
【詳解】由題意可得，將學(xué)生成績從高到低排名，排在等級最低分后面的學(xué)生約為學(xué)生總數(shù)的90%.
因為原始成績，所以.
令，則；又當(dāng)時，，
所以，解得，所以B＋等級的原始分最低大約為71.
故選：C.
7．C
【分析】由題意可求得拋物線方程，再根據(jù)光線的反射性質(zhì)求出反射光線的方程，即可求出反射光線與拋物線的交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式即可求得結(jié)果.
【詳解】因為點在拋物線上，所以，解得，
所以拋物線的方程為，則焦點為，
又因為反射光線經(jīng)過點及焦點，，
所以反射光線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程得，解得或，
所以反射光線與拋物線的交點為，
由兩點間距離公式可得，
所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為.
故選：C.
8．D
【分析】將已知變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，轉(zhuǎn)化為的最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解可得.
【詳解】因為，所以，則可化為，
整理得，
因為，所以，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，則在上恒成立，
則在上單調(diào)遞減，
所以，故，
所以得最小值為.
故選：D.
關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵在于對進(jìn)行合理變形，通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后可解.
9．ACD
【分析】利用相關(guān)系數(shù)的正負(fù)判斷出相關(guān)性的正負(fù)判斷A；利用二次函數(shù)計算出最大銷售額時的單價判斷B；利用單價和銷量的均值落在回歸線上計算出的值判斷C；將分別代入線性回歸方程，得到的預(yù)測值分別為，從而求解出在線性回歸直線左下方的概率判斷D.
【詳解】對A，由線性回歸方程中的回歸系數(shù)，
可知產(chǎn)品的銷量與單價成負(fù)相關(guān)，故A正確；
對B，由，得，
則銷售額，
為了獲得最大的銷售額，單價應(yīng)定為82.5元，故B錯誤；
對C，由表中數(shù)據(jù)得，
，
可得樣本點的中心的坐標(biāo)為，則該回歸直線過點，
代入，得，故C正確；
對D，將分別代入線性回歸方程，
得到的預(yù)測值分別為，
由，故和在線性回歸直線的左下方，滿足條件的樣本點只有2個，故所求概率為，故D正確.
故選：ACD.
10．BC
【分析】利用特征值判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B，利用基本不等式判斷C，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，故A錯誤；
對于B，若，則，即，所以，故B正確；
對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，顯然，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
對于D，因為，
令，則，令，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤.
故選：BC
11．ACD
【分析】由已知，代入坐標(biāo)整理即可得出方程，即可判斷A，令，求出，即可判斷B，根據(jù)面積公式判斷C，首先根據(jù)余弦定理，以及向量可推得，再結(jié)合三角型三邊關(guān)系判斷D.
【詳解】由雙紐線的定義可得：，
即，化簡得：，
當(dāng)時，點的軌跡方程為，
令，解得或，所以，故A正確；
因為，，若滿足，則點在軸上，
在方程中令，解得，
所以滿足的點為，只有一個，故B錯誤；
，故C正確；
因為，
又，且，
所以，
接下來先證明：
在中，由余弦定理可得，
所以.
又因為，所以
.
所以
，
即，
整理可得，所以；
所以，
如圖以、為鄰邊作平行四邊形，
則，所以，
所以，
即的周長的取值范圍為，故D正確.

故選：ACD
12．
【分析】借助賦值法，分別令、、計算即可得.
【詳解】令，可得，即，
令，可得，即，
令，可得，即，
則，
即，則，
故.
故；.
13．
【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
因為不等式成立的一個充分不必要條件是，
所以有，等號不同時成立，，
當(dāng)時，是不等式成立的充要條件，不符合題意，
所以，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
14．
【分析】根據(jù)給定條件可得，再整理并分離參數(shù)，利用基本不等式求出最小值即可.
【詳解】函數(shù)，則，而，
即，整理得，由，得，則，
因此，而，于是，整理得，即，
令，則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
因此，則，所以實數(shù)的最大值為.
故
15．(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數(shù)的不等式的解集.
（2）利用函數(shù)的思想構(gòu)造函數(shù)，借助二次函數(shù)分類討論求函數(shù)的值域，進(jìn)而列出不等式式組求解即得.
【詳解】（1）令，解得或，
①當(dāng)時，，不等式的解集為，
②當(dāng)時，，不等式的解集為，
③當(dāng)時，，不等式的解集為，
所以當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為.
（2）由，得，
令，依題意，，取值集合包含于，
而，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，則，無解；
當(dāng)，即時，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
16．（1）4.74；（2）能；（3）.
（1）根據(jù)題中所給的頻率分布直方圖中對應(yīng)的數(shù)據(jù)，可以求得第三組、第六組、第五組的頻數(shù)以及前四組的頻數(shù)和，結(jié)合前四組的頻數(shù)成等比數(shù)列，得出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)的特征，兩邊各占一半，求得結(jié)果；
（2）利用題中所給的列聯(lián)表，求得的值，與表中所給的臨界值比較，得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意，求出滿足條件的基本事件數(shù)和總的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式求解即可.
【詳解】（1）由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為人
第五組的頻數(shù)為人
所以前四組的頻數(shù)和為人
而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列
故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人
所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為x，
因此有（或）
解得
所以中位數(shù)是4.74
（2）因為
所以
所以
因此在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系
（3）依題意按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人中年級名次在名和
名的分別有2人和4人
從6人中任意抽取2人的基本事件共15個
至少有1人來自于1～100名的基本事件有9個
所以至少有1人的年級名次在名的概率為.
方法點睛：該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計的問題，解題方法如下：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所給的數(shù)據(jù)求相應(yīng)的量，利用中位數(shù)的定義求得結(jié)果；
（2）利用公式求得的值，結(jié)合臨界值得到結(jié)果；
（3）利用古典概型概率公式求得概率.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意首先證明平面，即DC⊥BM，進(jìn)一步由平面幾何知識證明即可得證.
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，首先由確定參數(shù)的值，進(jìn)一步求出兩平面的法向量，由夾角余弦公式即可得解.
【詳解】（1）∵，且是的中點，則.
∵平面，平面，∴.
又平面，∴平面，
因為平面，
∴DC⊥BM.①
∵，
∴△CFD∽△MCP，則.
∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∠PMC+∠ACD=π2，
∴在平面中.②
∵平面，
∴由①②知平面.
（2）由題意得，平面，
∴平面.
由（1）可知，故為坐標(biāo)原點.
如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

∵CFDF=DFCP=λ，
∴CM=DF=λ，DM=CF=λ2.
∴，，，
∵，
∴由棱臺的性質(zhì)得，
.
由（1）可知平面的一個法向量為，且.
直線與平面的所成角的正弦值為，
∴（），
即，解得.
∴平面的一個法向量為，且.
平面的法向量為.
∵，，
，即，
當(dāng)時，，.
∴平面的一個法向量為.
.
∴平面與平面所成夾角的余弦值.
18．(1)
(2)①3；②為定值4，理由見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得到，且，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解；
（2）①設(shè)，求得，結(jié)合，即可求解；
②由（1）得直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合弦長公式，求得和，進(jìn)而化簡得到為定值.
【詳解】（1）解：設(shè)，因為與的周長之差為，
所以，即，
又因為分別為雙曲線的左、右頂點，所以，
聯(lián)立方程組，解得，所以，
故雙曲線的方程為.
（2）解：①由（1）知，雙曲線的方程為，
設(shè)，則，可得，
則.
② 為定值.
理由如下：
由（1）得直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
因為位于雙曲線的左?右兩支，所以，即，
可得，
又因為，所以直線的方程為，
根據(jù)雙曲線的對稱性，同理可得，
所以，故為定值.
方法知識總結(jié)：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：
1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；
2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
3、若與面積有關(guān)的定值問題，一般用直接法求解，即先利用三角形的面積公式，（如果是其他的凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解），把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可求解.
19．(1)證明見解析；
(2)（i）證明見解析；（ii）.
【分析】（1）將展開，對比兩個方程即可得證；
（2）（i）由一元三次方程的韋達(dá)定理可得兩根關(guān)系，根據(jù)兩根符號即可得證；
（ii）利用兩根表示出，消去，令可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，然后可得.
【詳解】（1）證明：因為方程有三個根，
所以方程即為，
變形為，
比較兩個方程可得.
（2）（i）證明：有兩個零點，
有一個二重根，一個一重根，且
由（1）可得，由可得.
由可得，.
聯(lián)立上兩式可得，解得，
又，綜上.
（ii）解：由（i）可得，
.
令，則，
，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，，
.
思路點睛：對于新定義問題要注意以下幾點：（1）認(rèn)真研讀定義所給主要信息，篩選出關(guān)鍵點；（2）利用好定義所給的表達(dá)式及相關(guān)條件；（3）含有參數(shù)時要注意分類討論.
2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題（每小題5分，共40分）
1．已知向量，.若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，則包含的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知且，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．函數(shù)，若對任意、（），都有成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定義在上的函數(shù)(為實數(shù))為偶函數(shù)，記，，，則??的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
8．已知直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（每小題6分，共18分）
9．（多選）為了更好地支持中小型企業(yè)的發(fā)展，某市決定對部分中小型企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)的年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．樣本在區(qū)間[500,700]內(nèi)的頻數(shù)為18
B．如果規(guī)定年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅收政策，估計當(dāng)?shù)赜?0％的中小型企業(yè)能享受到減免稅收政策
C．樣本的中位數(shù)小于350萬元
D．可估計當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)不超過400萬元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）
10．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A．B．的圖像關(guān)于點成中心對稱
C．D．
11．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．平面
C．的最小值為
D．當(dāng)，C，，P四點共面時，四面體的外接球的體積為
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．已知為虛數(shù)單位，，若，則a-b=
13．已知為橢圓的右焦點，為坐標(biāo)原點，為上一點，若為等邊三角形，則的離心率為 .
14．已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為 .
四、解答題
15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若，求的面積.
16．某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
(1)計算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測若想收益超過20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.
參考數(shù)據(jù)：，，.
17．如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點．

(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值．
18．已知函數(shù)，定義域為.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.
19．已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與雙曲線的右支交于點（在的上方），過點分別作的平行線，交于點，過點且斜率為4的直線與雙曲線交于點（在的上方），再過點分別作的平行線，交于點，這樣一直操作下去，可以得到一列點.
（i）證明：共線；
（ii）判斷是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理由.
研發(fā)投入（億元）
1
2
3
4
5
產(chǎn)品收益（億元）
3
7
9
10
11
1．C
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算，求得，再求即可.
【詳解】解：因為，所以，所以，所以.
故選：C.
本題考查向量垂直時的坐標(biāo)運算，向量模的求解，是基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】由一元二次不等式化簡集合，即可由交集的定義求解.
【詳解】由，解得或，
所以或，
故，
故選：B
3．A
【分析】由“函數(shù)為偶函數(shù)”，可得，結(jié)合充分條件與必要條件的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，由定義域為，則有，
即，即對任意的恒成立，
即有，故，
由“”是“”的充分不必要條件，
故“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
4．D
【分析】由奇偶性定義判斷A、B，求判斷C，結(jié)合排除法確定答案.
【詳解】由，且定義域為R，為奇函數(shù)，A不符；
由，且定義域為R，為奇函數(shù)，B不符；
由與圖象不符，C不符.
故選：D
5．C
【分析】根據(jù)題意得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組即可得出結(jié)果.
【詳解】由對任意、（），都有成立，可知在上單調(diào)遞減，
所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：C.
6．A
【分析】根據(jù)指對數(shù)互化、對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式計算找到關(guān)系式；
【詳解】因為，所以，
，故.
故選：A.
7．D
先根據(jù)為偶函數(shù)得到，求出函數(shù)的單調(diào)性后可得的大小關(guān)系.
【詳解】因為為偶函數(shù)，
所以，
故，
即對任意的恒成立，
故，
所以，，
則，
當(dāng)時，，
在上為增函數(shù)，
因為，
故，
所以.
故選：D.
本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及指數(shù)對數(shù)的大小比較，屬于中檔題.
8．A
【分析】設(shè)是圖象上的切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點，繼而求出t的值，結(jié)合切線方程，即可求得答案.
【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，
設(shè)是圖象上的切點，，
所以在點處的切線方程為，即①
令，解得，
即直線與曲線的切點為，
所以，即，解得或，
當(dāng)時，①為，不符合題意，舍去，
所以，此時①可化為，所以，
故選：A
9．ABD
【分析】由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，先求出樣本在區(qū)間,內(nèi)的頻率，再利用樣本容量、頻率、頻數(shù)的關(guān)系求解，即可判斷A，求出年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)的頻率，即可判斷B，利用頻率分布直方圖中位數(shù)的求解方法，求出中位數(shù)，即可判斷C，利用頻率分布直方圖中平均數(shù)的求解方法，求出平均數(shù)，即可判斷D．
【詳解】由頻率分布直方圖可得，，解得，
所以樣本在區(qū)間,內(nèi)的頻數(shù)為，故A正確；
年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)的頻率為，故B正確；
，故中位數(shù)再,之間，設(shè)中位數(shù)為，
則有，解得，故C錯誤；
收入的平均數(shù)為，故D正確．
故選：ABD．
10．ACD
【分析】對A、B，利用賦值法進(jìn)行計算即可得；對C、D，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得.
【詳解】對A：令，則有，即，故A正確；
對B：令，則有，又f1=0，故，
令，，則有，故，故B錯誤；
對C：令，則有，即，
則
，故C正確；
對D：令，則有，即，
則，即，
又，故，
則，故D正確.
故選：ACD.
關(guān)鍵點點睛：本題C、D選項關(guān)鍵在于利用賦值法，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和.
11．ABD
【分析】A選項，求出為定值，且P到平面的距離為1，從而由等體積得到錐體體積為定值；B選項，證明出面面平行，得到線面平行；
C選項，將兩平面展開到同一平面，連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，由勾股定理得到最小值；
D選項，點P在點B處，，C，，P四點共面，四面體的外接球即正方體的外接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積.
【詳解】對于A，因為不在平面內(nèi)，平面，
所以平面，又，
所以點到平面的距離為，
又為定值，
故定值，A正確；
對于B，因為，平面，平面，所以平面，
同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確.
對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，
過點作⊥，交的延長線于點，
其中，
故，又勾股定理得，C正確；
對于D，點P在點B處，，C，，P四點共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.
故選：ABD
特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.
12．4
先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡，再利用復(fù)數(shù)相等，得到a，b求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以a-b=4.
故4
本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
13．##
【分析】由條件可知為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定關(guān)系，由此可求離心率.
【詳解】取橢圓的左焦點，連結(jié)，

由為等邊三角形，則，
可知為直角三角形，且，
設(shè)，則，，
可得，則，
所以橢圓的離心率是．
故答案為.
14．2
【分析】使用不等式將放縮，使用“1”的代換及基本不等式求得目標(biāo)最小值.
【詳解】由題意知，當(dāng)時取等號，
故
，當(dāng)時取等號，
綜上，當(dāng)時，的最小值為2.
故2
關(guān)鍵點點睛：本題求最小值關(guān)鍵是第一步用放縮法將放掉，第二步是將中的2代換為，將整式處理為，再用“1”的代換求最小值.
15．(1)
(2).
【分析】（1）由正余弦定理求解即可；
（2）由（1）先求出，再由三角形的面積公式求解．
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得.
可化為.
又由余弦定理，有.
又，所以.
（2）因為，由（1）有.
可化為.
又由，有.
所以.
16．(1)，相關(guān)程度較高
(2)，9.3億元
【分析】（1）通過計算相關(guān)系數(shù)來進(jìn)行判斷.
（2）先計算回歸直線方程，并由此作出預(yù)測.
【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，，
，，，
則，
故相關(guān)程度較高；
（2），，
則，，
故，
令，解得，
故研發(fā)投入至少9.3億元.
17．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）由中位線易證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到平面；
（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，通過平面與平面的夾角計算公式計算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算正弦值；
【詳解】（1）如圖所示，連接．

因為，分別是棱，的中點，
所以，
因為，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
則．
因為平面，平面，
所以平面．
（2）因為平面，
平面,
所以，
又因為，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由題中數(shù)據(jù)可得，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得．
因為，,
所以平面
平面的一個法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
故，
即平面與平面的夾角的正弦值為．
18．(1)答案見詳解
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和，根據(jù)二次方程根的個數(shù)以及韋達(dá)定理分析判斷的符號，進(jìn)而可得的單調(diào)性；
（2）參變分離可得，構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，
（?。┊?dāng)，即時，則f′x≥0在0,+∞內(nèi)恒成立，
可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)，即或時，可知有兩個不相等的根，
不妨令，可知，
①若，因為，可知，
令f′x>0，解得；令f′x0，解得或；令f′x0，解得；令?′x

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