1．（3分）在數(shù)軸上，把表示﹣2的點(diǎn)沿著數(shù)軸移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度得到的點(diǎn)所表示的數(shù)是（ ）
A．5B．﹣9C．±5D．5或﹣9
2．（3分）若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，則nm=（ ）
A．32B．?32C．32或?32D．23或?23
3．（3分）港珠澳大橋東起香港國際機(jī)場(chǎng)附近的香港口岸人工導(dǎo)，向西橫跨伶仃洋海域后連接珠海和澳門人工島，止于珠海港灣，全長(zhǎng)55千米，設(shè)計(jì)時(shí)速100千米/小時(shí)，工程項(xiàng)目總投資額1269億元，用科學(xué)記數(shù)法表示1269億元為（ ）
A．1269×108B．1.269×108
C．1.269×1010D．1.269×1011
4．（3分）下列圖案中既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝107°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．63°B．73°C．83°D．107°
6．（3分）某商店原來每天可銷售某種水果100kg，每千克盈利7元，為了減少庫存，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果這種水果每千克降價(jià)1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，則每千克應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每千克應(yīng)降價(jià)x元，則所列方程是（ ）
A．（100+x）（7+x）＝800B．（100+30x）（7﹣x）＝800
C．（100+30x）（7+x）＝800D．（100+x）（7﹣30x）＝800
7．（3分）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1），反比例函數(shù)y2=bx的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接AC交x軸于點(diǎn)D，若OD是△ABC的中位線，△OCD的面積為3，則k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣6C．6D．12
9．（3分）圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時(shí)張角呈180°，圖2是其側(cè)面示意圖．為實(shí)現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動(dòng)調(diào)整手柄D沿著AB移動(dòng)，以保證太陽光線與DF始終垂直，已知支架AB長(zhǎng)為2.5米，且垂直于地面BC，某一時(shí)刻測(cè)得BD＝1.7米，懸托架AE＝DE，點(diǎn)E固定在傘面上，當(dāng)傘面完全張開時(shí)，太陽光線與地面的夾角設(shè)為α，當(dāng)tanα=34時(shí)，此時(shí)懸托架AE的長(zhǎng)度為（ ）米.
A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9
10．（3分）已知：菱形ABCD中，AB=3，AC＝2，AC 與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OB上一點(diǎn)，以AE為對(duì)稱軸，折疊△ABE，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．324B．22C．32D．334
二、填空題（本大題共8題，第11-12題每小題3分，第13-18題每小題每小題3分，共30分．）
11．（3分）因式分解：a2﹣4b2＝ ．
12．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接AB，AC，若∠BAD＝30°，則∠ACB的度數(shù)是 °
13．（4分）快遞運(yùn)載機(jī)器人是一種應(yīng)用于配送領(lǐng)域的智能機(jī)器人，它的最快移動(dòng)速度v（m/s）是載重后總質(zhì)量m（kg）的反比例函數(shù)．已知一款快遞運(yùn)載機(jī)器人載重后總質(zhì)量m＝60kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝6m/s；當(dāng)其載重后總質(zhì)量m＝100kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝ m/s．
14．（4分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”：a※b=a?b(a≥b)2b?a(a＜b)．例如4※2，因?yàn)?＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)根，則x1※x2＝ ．
15．（4分）把一塊含60°角的三角板ABC按圖方式擺放在平面直角坐標(biāo)系中，其中60°角的頂點(diǎn)B在x軸上，斜邊AB與x軸的夾角∠ABO＝60°，若BC＝2，當(dāng)點(diǎn)A，C同時(shí)落在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在函數(shù)y=4x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上．若OC＝AC，則k的值為 ．
17．（4分）如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣4，0）為圓心，2為半徑的⊙C上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長(zhǎng)的最大值為3，則k的值為 ．
18．（4分）對(duì)于反比函數(shù)y=kx(k＞0)，稱M(2k2k)，N(?2k，?2k)為反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)“焦點(diǎn)”，若點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則恒有|PM?PN|=22k．如圖，已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=8x在第三象限的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N為反比例函數(shù)y=8x的兩個(gè)焦點(diǎn)，若AB平分∠MAN，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為B，連接OB，MN，則OB的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本大題共8題，共90分．）
19．（11分）計(jì)算：?12024?(2?0.5)×13×|1?(?3)2|．
20．（11分）解方程：2x?13?3x?54=2
21．（11分）先化簡(jiǎn)，再求值：2(2x2?12xy?y2)?(4x2+4xy?2y2)，其中x＝3，y＝﹣1．
22．（11分）今年鄭州市受疫情影響，中小學(xué)生在家進(jìn)行線上學(xué)習(xí)．為了了解學(xué)生在家主動(dòng)鍛煉身體的情況，某校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，對(duì)他們每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分為四類：每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間t≤30分鐘的學(xué)生記為A類，30分鐘＜t≤40分鐘記為B類，40分鐘＜t≤60分鐘記為C類，t＞60分鐘記為D類．收集的數(shù)據(jù)繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）這次共抽取了 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角大小為 ；
（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（4）學(xué)校要求在家主動(dòng)鍛煉身體的時(shí)間超過30分鐘才達(dá)標(biāo)，若該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校達(dá)標(biāo)的學(xué)生約有多少人？
23．（11分）如圖1，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A、D在⊙O上，連接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，AC=25．
（1）求證：AO⊥CD；
（2）求BD的長(zhǎng)；
（3）如圖2，連接AB，作∠CAB的角平分線交⊙O于F，求AF的長(zhǎng)度．
24．（11分）第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年2月在中國舉辦，亞冬會(huì)吉祥物一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價(jià)格購進(jìn)某款亞冬會(huì)吉祥物，以每件68元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2024年12月份的銷售量為256件，2025年1月份的銷售量為400件．從2025年1月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，設(shè)降價(jià)降了x元，請(qǐng)完成下列問題：
（1）降價(jià)x元后的月銷售量為 件；（用含x的式子表示）
（2）當(dāng)該款吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？
25．（11分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對(duì)相好點(diǎn)．
（1）如圖1，已知點(diǎn)A（1，3），B（4，3）．
①設(shè)點(diǎn)O與線段AB上一點(diǎn)的距離為d，則d的最小值為 ，最大值為 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)的是 ．
（2）直線l平行AB所在的直線，且線段AB上任意一點(diǎn)到直線l的距離都是1，若點(diǎn)C（x，y）是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)，求x的取值范圍．
26．（11分）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）如圖（1），拋物線上有點(diǎn)D（2，m），在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)M，且∠ACM＝∠BCD，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖（2），在第一象限的拋物線上有一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，直線FB，EC交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，△CBP的面積記為S，試探究S與t之間數(shù)量關(guān)系．
27．（11分）[模型建立]
如圖①、②，點(diǎn)P分別在⊙O外、在⊙O內(nèi)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離，PB是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離．
[問題解決]
請(qǐng)就圖①中PB為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明．
[初步應(yīng)用]
（1）已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為7．則⊙O的半徑為 ．
（2）如圖③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．點(diǎn)E在邊BC上，且CE＝2，動(dòng)點(diǎn)P在半徑為2的⊙E上，則AP的最小值是 ．
[拓展延伸]
如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為 ．
一．選擇題（共10小題）
一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．）
1．【答案】D
【解答】解：向右移動(dòng)7個(gè)單位：
﹣2+7＝5．
向左移動(dòng)7個(gè)單位：
﹣2﹣7＝﹣9．
故選：D．
2．【答案】C
【解答】解：∵|m|＝2，|n|＝3，
∴m＝±2，n＝±3，
∵|m+n|＝m+n，
∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3，
當(dāng)m＝2，n＝3時(shí)，nm=32；
當(dāng)m＝﹣2，n＝3時(shí)，nm=3?2=?32，
故選：C．
3．【答案】D
【解答】解：1269億＝126 900 000 000＝1.269×1011，
故選：D．
4．【答案】A
【解答】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
5．【答案】B
【解答】解：如圖，
∵AB∥DE，∠E＝107°，
∴∠BGF＝∠E＝107°，
∵BC∥EF，
∴∠B+∠BGF＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BGF＝73°．
故選：B．
6．【答案】B
【解答】解：當(dāng)每千克降價(jià)x元時(shí)，每千克的銷售利潤(rùn)為（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克．
根據(jù)題意得：（100+30x）（7﹣x）＝800．
故選：B．
7．【答案】C
【解答】解：∵正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1），點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函數(shù)y2=bx的圖象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
8．【答案】A
【解答】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（a，b），則AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，
∵OD是△ABC的中位線，
∴OC＝OB＝b，OD=12AB=?12a
∵△OCD的面積為3，∠COD＝90°，
∴12OD?OC=12?(?12a)?b=?14ab=3，即ab＝﹣12，
∴k＝ab＝﹣12，
故選：A．
9．【答案】A
【解答】解：過點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，
由題意得：DG∥EH，
∴∠DGB＝∠α，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BDG+∠DGB＝90°，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADE+∠BDG＝180°﹣∠FDG＝90°，
∴∠DGB＝∠ADE＝α，
∵tanα=34，
∴tan∠ADE=34，
∵AB＝2.5m，BD＝1.7m，
∴AD＝AB﹣BD＝2.5﹣1.7＝0.8（m），
∵AE＝DE，EM⊥AD，
∴AM＝DM=12AD＝0.4（m），
在Rt△DME中，EM＝DM?tan∠ADE＝0.4×34=0.3（m），
∴DE=DM2+EM2=0．42+0．32=0.5（m），
∴DE＝AE＝0.5m，
故選：A．
10．【答案】A
【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，AC＝2，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB=12∠ADC，
在Rt△AOB中，OB=AB2?OA2=(3)2?12=2，
∴BD＝2OB=22，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，
∴12∠BAF=12∠ADC，
∴∠BAE＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴BEAB=ABBD，即BE3=322，
∴BE=324．
故選：A．
二、填空題（本大題共8題，第11-12題每小題3分，第13-18題每小題每小題3分，共30分．）
11．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案為：（a+2b）（a﹣2b）．
12．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
故答案為：60．
13．【答案】3.6．
【解答】解：∵智能機(jī)器人的最快移動(dòng)速度v（m/s）是載重后總質(zhì)量m（kg）的反比例函數(shù)，機(jī)器狗載重后總質(zhì)量m＝60kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝6m/s，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為v=km，代入得：
k＝60×6＝360，
∴反比例函數(shù)解析式為v=360m，
當(dāng)m＝100時(shí)，v=360100=3.6(m/s)，
故答案為：3.6．
14．【答案】4或1．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2．
當(dāng)x1＝2，x2＝3時(shí)，x1※x2＝2×3﹣2＝4；
當(dāng)x1＝3，x2＝2時(shí)，x1※x2＝3﹣2＝1．
∴x1※x2＝4或1．
故答案為：4或1．
15．【答案】（5，0）．
【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x軸，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB+∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴EB=12AB＝2，AE=AB2?EB2=23，
設(shè)OE＝m，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，23），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝60°，
∵CF⊥x軸，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF=12BC＝1，CF=BC2?BF2=3，
∴OF＝OE+BE+BF＝m+3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（m+3，3），
∵點(diǎn)A，C同時(shí)落在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上，
∴23m=3（m+3），解得：m＝3，
∴OB＝OE+EB＝3+2＝5，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5，0）．
故答案為：（5，0）．
16．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：作CD⊥OA于D，
∵OC＝AC，
∴OD＝DA，
∴BC＝OA＝2OD，
設(shè)C（a，4a），則B（3a，4a），
∵點(diǎn)B在函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，
∴k＝3a?4a=12，
故答案為：12．
17．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接BP，由對(duì)稱性得：OA＝OB，
而Q是AP的中點(diǎn)，
∴OQ=12BP
∵OQ的長(zhǎng)的最大值為3，則BP長(zhǎng)的最大值為2×3＝6，
如圖所示：
當(dāng)BP過圓心C時(shí)，BP最長(zhǎng)，過B作BD⊥x軸與D，
∵CP＝2，
∴BC＝4，B在直線y＝2x上，
設(shè)B（t，2t），則CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
代入數(shù)據(jù)得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2，
整理得：5t2+8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），或t2=?85，
∴B(?85，?165)，
∵B在反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象上，
∴k=?85×?165=12825．
故答案為：12825．
18．【答案】4．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AN，MB相交于點(diǎn)H．∵AB平分∠MAN，且BM⊥AB，
∴AH＝AM，點(diǎn)B為HM的中點(diǎn)．利用“焦點(diǎn)”的結(jié)論，得
|AM﹣AN|＝22k＝8．
∵點(diǎn)O，B分別為MN，MH的中點(diǎn)，
∴OB=12NH=12|AH?AN|=12|AM?AN|=4．
故答案為4．
三、解答題（本大題共8題，共90分．）
19．【答案】﹣5．
【解答】解：?12024?(2?0.5)×13×|1?(?3)2|
=?1?32×13×|1?9|
＝﹣1?12×8
＝﹣1﹣4
＝﹣（1+4）
＝﹣5．
20．【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：去分母得：4（2x﹣1）﹣3（3x﹣5）＝24，
8x﹣4﹣9x+15＝24，
8x﹣9x＝24+4﹣15，
﹣x＝13，
x＝﹣13．
21．【答案】﹣5xy，15．
【解答】解：原式＝4x2﹣xy﹣2y2﹣4x2﹣4xy+2y2
＝4x2﹣4x2+2y2﹣2y2﹣4xy﹣xy
＝﹣5xy，
當(dāng)x＝3，y＝﹣1時(shí)，
原式＝﹣5×3×（﹣1）
＝5×3×1
＝15．
22．【答案】（1）50；（2）36°；（3）見解答；（4）1400人．
【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為15÷30%＝50（名），
故答案為：50；
（2）D類學(xué)生人數(shù)為：50﹣15﹣22﹣8＝5（人），
360°×550=36°，
故答案為：36°；
（3）補(bǔ)圖如下：
（4）2000×50?1550=1400（人），
∴估計(jì)該校達(dá)標(biāo)的學(xué)生約有1400人．
23．【答案】（1）證明見解析；
（2）6；
（3）310．
【解答】（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，
∴∠D＝90°，
∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；
（2）解：連接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如圖1，則BM＝DM，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CAB＝90°，
∴AB=102?(25)2=45，
∵12AH?BC=12AC?AB，
∴AH=25×4510=4，
在Rt△OAH中，OH=OA2?AH2=52?42=3，
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH和△OBM中，
∠AHO=∠OMBAO=OB∠AOH=∠OBM，
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；
（3）解：作CG⊥AF于G，連接CF、BF，如圖2，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF為等腰直角三角形，
∴CF=22BC＝52，
在Rt△ACG中，CG＝AG=22AC=10，
在Rt△GFC中，GF=(52)2?(10)2=210，
∴AF＝AG+GF=10+210=310．
24．【答案】（1）（400+20x）；
（2）8元．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：降價(jià)x元后的月銷售量為（400+20x）件．
故答案為：（400+20x）；
（2）根據(jù)題意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：當(dāng)該款吉祥物降價(jià)8元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元．
25．【答案】（1）①10，5；
②P1，P3；
（2）4≤x≤4+26或1?26≤x≤1．．
【解答】解：（1）①由題意可得：OA=32+12=10，OB=42+32=5，
∴d的最小值為10，最大值為5；
故答案為：10，5；
②∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0），
點(diǎn)P1（2.5，0）到線段AB的最小距離為3，最大距離為(4?2.5)2+32=452＞10，
∴在線段AB上存在點(diǎn)M，N，使得P1M＝ON，故點(diǎn)P1與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)，
點(diǎn)P2（2，4）到線段AB的最小距離為1，最大距離為(4?2)2+(3?4)2=5＜10，
∴在線段AB上不存在點(diǎn)M，N，使得P2M＝ON，故點(diǎn)P2與點(diǎn)O不是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)，
點(diǎn)P3（﹣2，0）到線段AB的最小距離為(1+2)2+32=32＞10，
最大值為(4+2)2+(3?0)2=45＞5
∴在線段AB上存在點(diǎn)M，N，使得P3M＝ON，故點(diǎn)P3與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)，
∴與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)的是P1，P3；
故答案為：P1，P3；
（3）∵直線l平行AB所在的直線，且線段AB上任意一點(diǎn)到直線l的距離都是1，
∴直線l為y＝4或y＝2，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)相好點(diǎn)，OA=10，OB＝5，
當(dāng)CA≥10，CB≤5，即CA2≥10，CB2≤25，
設(shè)C（x，4），當(dāng)點(diǎn)C在y＝4上時(shí)，
則(x?1)2+(4?3)2≥10(x?4)2+(4?3)2≤25，
解得：4≤x≤4+26，
當(dāng)CA≤5，CB≥10，即CA2≤25，CB2≥10，
則(x?1)2+(4?3)2≤25(x?4)2+(4?3)2≥10，
解得：1?26≤x≤1，
同理，當(dāng)C在y＝2上時(shí)，4≤x≤4+26或1?26≤x≤1，
綜上所述，x的取值范圍是4≤x≤4+26或1?26≤x≤1．
26．【答案】（1）B（0，﹣3），A（﹣1，0），C（3，0）；
（2）M（?12，?74）；
（3）S=?94?32t．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），C（3，0）；
（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3），
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵∠ACM＝∠BCD，
∴∠MCD＝45°，
過D點(diǎn)作CD⊥DN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∴CD＝DN，
分別過點(diǎn)N、C作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)G、點(diǎn)H，
∴△NDG≌△DCH，
∴DH＝NG＝3，CH＝DG＝1，
∴N（﹣1，﹣2），
設(shè)直線CN的解析式為y＝kx+b，
∴3k+b=0?k+b=?2，
解得k=12b=?32，
∴y=12x?32，
當(dāng)12x?32=x2﹣2x﹣3時(shí)，解得x=?12或x＝3，
∴M（?12，?74）；
（3）∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)直線EF的解析式為y＝x+k1，
當(dāng)x+k1＝x2﹣2x﹣3時(shí)，xE+xF＝3，xE?xF＝﹣3﹣k1，
設(shè)直線BF的解析式為y＝mx﹣3，
當(dāng)mx﹣3＝x2﹣2x﹣3時(shí)，xB+xF＝2+m，
∴xF＝2+m，xE＝1﹣m，
設(shè)直線EC的解析式為y＝n（x﹣3），
當(dāng)nx﹣3n＝x2﹣2x﹣3時(shí)，xE+xC＝2+n，xE?xC＝﹣3﹣3n，
∴xE＝n﹣1，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2，
當(dāng)nx﹣3n＝mx﹣3時(shí)，解得xP=3?3nm?n=32，
∴P（32，t），
過P點(diǎn)作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，
∴Q（32，?32），
∴S=12×3（?32?t）=?94?32t．
27．【答案】[問題解決]證明見解析；
[初步應(yīng)用]（1）2或5；
（2）217?2；
[拓展延伸]1+7．
【解答】[問題解決]證明：點(diǎn)P分別在⊙O外，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，如圖①﹣1，點(diǎn)C為⊙O上任意一點(diǎn)，連接PC，OC，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合時(shí)，
在△POC中，PO+CO＞PC，
又∵CO＝BO，
∴PO+BO＞PC，即PB＞PC，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，PB＝PC，
∴綜上可得：PB≥PC，
∵點(diǎn)C為⊙O上任意一點(diǎn)，
∴PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離；
[初步應(yīng)用]解：（1）已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為7，分兩種情況討論：
若點(diǎn)P在⊙O外，如圖①﹣2，則PA＝3，PB＝7，
∴AB＝PB﹣PA＝7﹣3＝4，
∴⊙O的半徑為2；
若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，如圖②，則PA＝3，PB＝7，
∴AB＝PB+PA＝7+3＝10，
∴⊙O的半徑為5；
綜上所述，⊙O的半徑為2或5，
故答案為：2或5；
（2）如圖③，連接AE，交⊙O于點(diǎn)D，由[模型建立]可得AD的長(zhǎng)是點(diǎn)A到⊙E上的點(diǎn)的最短距離，
∴AP的最小值是AD的長(zhǎng)，
∵在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝2，
由勾股定理得：AE=AC2+CE2=82+22=217，
∴AD=AE?DE=217?2，
∴AP的最小值是217?2，
故答案為：217?2；
[拓展延伸]解：如圖④，取AO的中點(diǎn)D，連接DQ，CD，OP，過點(diǎn)C作CE⊥AB，
∵點(diǎn)Q是線段AP的中點(diǎn)，
∴DQ=12OP=14AB=1，
∴點(diǎn)Q在D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)D在CQ上，線段CQ取得最大值，
∵∠AOC＝120°，
∴∠COE＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE=12OC=14AB=1，CE=OC2?OE2=3，
在Rt△CDE中，CD=DE2+CE2=22+(3)2=7，
∴CQ的最大值為CD+QD=1+7，
故答案為：1+7．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/3/24 19:56:09；用戶：陳莊鎮(zhèn)中學(xué)；郵箱：czz001@xyh.cm；學(xué)號(hào)：62602464題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
B
B
C
A
A
A

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