一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.
1．已知復數(shù)，則（ ）
A．B．2C．10D．
2．已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．已知雙曲線C：（，）的焦距是虛軸長的4倍，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知數(shù)列滿足＝1，且，則等于( )
A．B．C．D．
5．若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有（ ）
A．條B．條C．條D．條
6．已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．8
7．在公比不為1的等比數(shù)列中，，的前項積為，則中不同的數(shù)值有（ ）
A．15個B．14個C．13個D．12個
8．瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點、，且其“歐拉線”與圓：相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓上的點到原點的最大距離為
B．圓上存在三個點到直線的距離為
C．若點在圓上，則的最小值是
D．若圓與圓有公共點，則
二、多選題:本題共3個小題，每小題6分，共18分.
9．一百零八塔，位于寧夏回族自治區(qū)吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，總面積為6980平方米.一百零八塔，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下，前六層依次建1，3，3，5，5，7座塔，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，總計一百零八座，因塔數(shù)而得名.將塔進行編號.第一層的一座塔編號為001號塔；第二層從左至右依次編號為002，003，004；第三層從左至右依次編號為005，006，007；…；依此類推.001號塔比較高大，殘高為5.04米、塔底直徑為3.08米，具有塔心室，其余107座皆為實心塔，大小基本相近，一般殘高約為2.2米、塔底直徑約為2米，塔底座間距相同約為1.2米（例如：002號塔底座右側(cè)與003號塔底座左側(cè)之間的距離為1.2米），記第層的寬度（以最左側(cè)塔身和最右側(cè)塔身最遠距離計算）為米，則以下說法正確的是（ ）

A．一百零八塔共有12層塔B．088號塔在第11層
C．D．的值約為53.2
10．有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是30種
B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是60種
D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是60種
11．如圖，橢圓的左右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，設，，，，已知，，成等差數(shù)列，公差為，則（ ）
A．，，成等差數(shù)列B．若，則
C．D．
三、填空題:本題共3個小題，每小題6分，共18分.
12．如圖，在平行六面體中，，為的中點，則 .
13．若直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是
14．若數(shù)列滿足對任意都有，則稱數(shù)列為上的“凹數(shù)列”.已知，若數(shù)列為上的“凹數(shù)列”，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5個小題，共77分.
15．已知圓：，圓：（），直線：，：．
(1)若圓與圓相內(nèi)切，求實數(shù)m的值；
(2)若，被圓所截得的弦的長度之比為，求實數(shù)的值．
16．某公司有意在小明、小紅、小強、小真這人中隨機選取人參加面試.面試分為初試和復試且采用積分制，其中小明和小紅通過初試的概率均為，小強和小真通過初試的概率均為，小明和小紅通過復試的概率均為，小強和小真通過復試的概率均為，通過初試考核記分，通過復試考核記分，本次面試滿分為分，且初試未通過者不能參加復試.
(1)若從這人中隨機選取人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于分的概率；
(2)若小明和小紅兩人一起參加本次公司的面試，記他們本次面試的得分之和為，求的分布列以及數(shù)學期望.
17．在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的大?。?br>18.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn ，且a1 = 1 ，an = ?2Sn?1Sn (n ≥ 2).
(1)求an ；
設bn = 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
.
19．設橢圓的離心率為，過點且斜率為的直線與軸相交于點，與橢圓相交于點兩點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的值：
(3)若圓心在橢圓上，半徑為的圓，我們稱是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
參考答案
1．A
【難度】0.94
【知識點】求復數(shù)的模、復數(shù)的除法運算
【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的計算公式即可得解.
【詳解】，
所以.
故選：A.
2．C
【難度】0.85
【知識點】直線的傾斜角、斜率與傾斜角的變化關系、直線的一般式方程及辨析
【分析】
先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.
【詳解】直線斜率則傾斜角為，
直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.
故選：C.
3．C
【難度】0.85
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】根據(jù)C的焦距是虛軸長的4倍得，再由可得答案.
【詳解】因為C的焦距是虛軸長的4倍，所以，
則，所以．
故選：C.
4．A
【難度】0.85
【知識點】利用定義求等差數(shù)列通項公式
【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造等差數(shù)列即可﹒
【詳解】∵，
∴
∴數(shù)列{}是以為公差，1為首項的等差數(shù)列，
∴＝8，
．
故選：A﹒
5．C
【難度】0.85
【知識點】已知方程求雙曲線的漸近線、討論雙曲線與直線的位置關系
【分析】利用雙曲線和雙曲線漸近線的圖像和性質(zhì)求解即可.
【詳解】直線，即恒過點，
又雙曲線的漸近線方程為，
則點在其中一條漸近線上，
又直線與雙曲線只有一個交點，
則直線過點且平行于或過點且與雙曲線的右支相切，
即滿足條件的直線有條.
故選：C
6．C
【難度】0.85
【知識點】拋物線定義的理解、拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值
【分析】利用拋物線的定義可求的最小值.
【詳解】
由題意得，準線為，點A在拋物線C的內(nèi)部，
過點A作AB垂直于準線，垂足為B，過點P作PD垂直于準線，垂足為D，
則有，
當且僅當，P為AB與拋物線的交點時，等號成立，
所以的最小值為
故選：C.
7．B
【難度】0.65
【知識點】求等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】先設出數(shù)列的公比，將用來表示，接著探究在中有多少對值相同，通過列舉法即得.
【詳解】不妨設數(shù)列的公比為，則由可得：，則，
于是，，
對于，由可得：，
即，整理得：，故得：，
又，故有：，
即在中，共有6對值分別相同，即其中不同的數(shù)值有14個.
故選：B.
8．B
【難度】0.65
【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）、由直線與圓的位置關系求參數(shù)、由圓的位置關系確定參數(shù)或范圍、直線與圓的位置關系求距離的最值
【分析】由題意求出的垂直平分線可得的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點的距離，加上半徑判斷A；
求出圓心到直線的距離判斷B；
再由的幾何意義，即圓上的點與定點連線的斜率判斷C；
由兩個圓有公共點可得圓心距與兩個半徑之間的關系，求得的取值范圍判斷D．
【詳解】由題意，的歐拉線即的垂直平分線，
，，
的中點坐標為，，
則的垂直平分線方程為，即．
由“歐拉線”與圓相切，
到直線的距離，
，則圓的方程為：，
圓心到原點的距離為，則圓上的點到原點的最大距離為，故A錯誤；
圓心到直線的距離為，
圓上存在三個點到直線的距離為，故B正確；
的幾何意義為圓上的點與定點連線的斜率，
設過與圓相切的直線方程為，即，
由，解得，的最小值是，故C錯誤；
的圓心坐標，半徑為，
圓的的圓心坐標為，半徑為，
要使圓與圓有公共點，則圓心距的范圍為，，
，解得，故D錯誤．
故選：B．
9．ABD
【難度】0.65
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】由等差數(shù)列的求和公式可判斷A；可先求出第12層有19座塔，進而可判斷B；由題意，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，所以寬度上會多出2個塔底直徑的長和兩個間距的長，即可判斷C；由等差數(shù)列通項公式計算即可判斷D.
【詳解】設數(shù)列1，3，3，5，5，7…為，
由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，
設塔共有層，則，
解得，故A正確；
由于第12層有座塔，，
所以088號塔在11層最后第二個，故B正確；
由題意，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，
所以寬度上會多出2個塔底直徑的長和兩個間距的長，即有，故C錯誤；
由C的分析可知，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，
所以，故D正確.
故選：ABD
10．AD
【難度】0.85
【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應用、實際問題中的組合計數(shù)問題、分組分配問題
【分析】有1人未參加服務或恰有1人連續(xù)參加兩天服務都要先從5人中選出1人，再從余下的人中選取服務于周六周日，根據(jù)分步乘法原理，即可求得答案.
【詳解】由題意得只有1人未參加服務，先從5人中選1人，未參加服務，有種選法，
再從余下4人中選2人參加周六服務，剩余2人參加周日服務，有種選法，
故只有1人未參加服務的選擇種數(shù)是種，A正確，C錯誤；
恰有1人連續(xù)參加兩天服務，先從5人中選1人，服務周六?周天兩天，有種選法，
再從余下4人中選1人參加周六服務，剩余3人選1人參加周日服務，有種選法，
故恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)是種，B錯誤，D正確，
故選：AD
11．AD
【難度】0.4
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、橢圓中焦點三角形的周長問題、求橢圓中的弦長、橢圓的焦半徑與焦點弦問題
【分析】由橢圓定義及，，成等差數(shù)列，得到，，故，即可判斷A,在A選項基礎上得到，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由得到，由弦長公式得到，聯(lián)立得到可判斷B，由橢圓的焦半徑公式推導出，可判斷CD.
【詳解】A選項，由橢圓定義可知：，，
又，，成等差數(shù)列，故，，
則，則，則，
又，
故，故A正確；
B選項，若，此時，由于，所以
，
設，因為直線斜率一定不為0，
設直線為，與聯(lián)立得：
，即，
則，
因為，所以，
聯(lián)立解得，故，所以，
由弦長公式可得：
，
所以，平方得：，
將代入可得，顯然，所以，
由可得：，
整理得：，即，
故，解得：或，
因為，所以舍去，故B錯誤；
C選項，設橢圓上一點,，
其中橢圓左右焦點分別為，，
下面證明，，
過點作上橢圓的右準線于點，作橢圓右準線于點，
則由橢圓的第二定義可知：，
故，故，
，故，所以，D正確；
C選項，設直線為，由得：，故
C錯誤．
故選：AD．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中常用的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
12．6
【難度】0.85
【知識點】空間向量數(shù)量積的應用、空間向量的加減運算
【分析】根據(jù)，結(jié)合向量間的夾角已知，模長已知，兩邊同時平方，從而求得.
【詳解】設因為
所以
解得
故答案為：6
13．
【難度】0.85
【知識點】由直線與圓的位置關系求參數(shù)
【分析】由題意，作圖，根據(jù)直線與圓的位置關系，可得答案.
【詳解】由曲線，可得，
表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，
是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：
①直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖象可得；
②直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知.
綜上可知：或
14．
【難度】0.4
【知識點】數(shù)列新定義、數(shù)列不等式恒成立問題
【分析】根據(jù)題意整理可得，換元，分析可知原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值結(jié)合恒成立問題分析求解即可.
【詳解】若數(shù)列為上的“凹數(shù)列”，則，即，
可得，
整理可得，即，
因為，令，可得，
當時，，可得，
原題意等價于對任意恒成立，
因為在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞減，且當時，，
可知的最大值為，
可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】易錯點點睛：解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點
（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點．
（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題．
（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時，應準確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關限制條件的轉(zhuǎn)化．
15．(1)
(2)
【難度】0.65
【知識點】已知圓的弦長求方程或參數(shù)、由圓的位置關系確定參數(shù)或范圍
【分析】（1）根據(jù)半徑與圓心距的關系可求實數(shù)的值.
（2）根據(jù)弦長的長度之比可得關于的方程，從而可求實數(shù)的值.
【詳解】（1）由題設可得，，
因為圓與圓相內(nèi)切，故，其中，
解得.
（2）到的距離為，到的距離為，
故，解得.
16．(1)
(2)分布列見解析，
【難度】0.4
【知識點】互斥事件的概率加法公式、寫出簡單離散型隨機變量分布列、獨立事件的乘法公式、求離散型隨機變量的均值
【分析】（1）選出人的情況分三種：①小明、小紅參加面試；②小明、小紅或小強、小真各一人參加面試；③小強、小真參加面試.計算每種情況下的概率相加即可得到結(jié)果.
（2）分析的取值，分別計算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）記選出小明、小紅參加面試為事件，選出小明、小紅或小強、小真各一人參加面試為事件，選出小強、小真參加面試為事件，這兩人本次面試的得分之和不低于分為事件，
則，，，
（2）的可能取值為，
故，，
，，
，.
故的分布列為：
則.
17．(1)證明見解析
(2)
【難度】0.4
【知識點】證明線面垂直、線面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）應用線面垂直的判定定理證明線面垂直關系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關系；
（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大小；
【詳解】（1）因為在中，，，且，
所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.
因為，故，
由幾何關系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，.
設與平面所成角的大小為，
則有，
設為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
18.【答案】
(1) ∵ n ≥ 2時 ，Sn ? Sn?1 = an = ?2Sn?1Sn ，
:數(shù)列{}是等差數(shù)列 ，首項為 公差為2 ，
: = 1 + 2 (n ? 1) = 2n ? 1 ， 解得 ，n = 1時也成立.
: n ≥ 2時 ，an = Sn ? Sn?1 = ，n = 1時不成立.
(2)bn = = (2n ? 1) ? 2n ，
:數(shù)列{bn}的前n項和Tn = 2 + 3 ? 22 + 5 ? 23 + … + (2n ? 3) ? 2n?1 + (2n ? 1) ? 2n ，
: 2Tn = 22 + 3 ? 23 + … + (2n ? 3) ? 2n + (2n ? 1) ? 2n+1 ， 相減可得 ：
?Tn = 2 + 2(22 + 23 + … + 2n) ? (2n ? 1) ? 2n+1 = 2 + 2 × ? (2n ? 1) ? 2n+1 = (3 ? 2n) ? 2n+1 ?
6
,
化為 ：Tn = (2n ? 3) ? 2n+1 + 6.
利用n ≥ 2時 ，Sn ? Sn?1 = an = ?2Sn?1Sn ，化為 利用等差數(shù)列的通項公式可得Sn ，進而得出
n ≥ 2時 ，an = Sn ? Sn?1 .
? 2n ，利用錯位相減法即可得出Tn.
19．(1)
(2)
(3)是定值，定值為16.
【難度】0.4
【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)、橢圓中向量共線比例問題
【分析】（1）橢圓離心率公式結(jié)合求出橢圓方程；
（2）接著通過聯(lián)立直線與橢圓方程，利用向量關系求出直線斜率；最后根據(jù)圓的切線性質(zhì)以及橢圓方程判斷并計算出相關式子是否為定值.
【詳解】（1）橢圓，其中.
離心率（為半焦距），且，又，即.
由可得，將其代入，得到.
即，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）過點且斜率為的直線方程為.
令，可得，所以.
設，，將代入橢圓方程，得到.
化簡得.
由韋達定理可得.
因為，所以，即.
所以，兩邊同時乘以得.
即，解得.
（3）由（1）知，則“衛(wèi)星圓”半徑.
設“衛(wèi)星圓”方程為，因為圓心在橢圓上，所以，即.
設切線方程為，由圓心到切線的距離等于半徑可得.
整理得.
設切線，的斜率分別為，，則，.
將代入橢圓方程得，則，，所以.
同理.
因為，，，
所以
所以是定值16.
【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
C
C
A
C
C
B
B
ABD
題號
10
11







答案
AD
AD







0
6
10
12
16
20

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江西省南昌市進賢縣第一中學2019-2020學年高一下學期第二次月考數(shù)學試題 Word版含解析

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2022-2023學年江西省南昌市進賢縣第二中學高一上學期階段性考試數(shù)學試題（解析版）

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