一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)z=2i1+i，則|z?2i|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
2.已知直線l與直線x? 3y+1=0夾角為45°，則l的傾斜角為( )
A. ?15°或75°B. 15°或105°C. 75°或165°D. 30°或60°
3.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是虛軸長的4倍，則C的離心率為( )
A. 2 33B. 3 24C. 4 1515D. 2
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=23 且 1an+1+1an?1=2an(n≥2)，則a15等于( )
A. 18B. 17C. 13D. 815
5.若直線l：x+my?m?2=0與曲線x24?y2=1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線l有( )
A. 4條B. 3條C. 2條D. 1條
6.已知拋物線C：y2=16x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(2,1)，P是C上一個(gè)動點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
7.在公比不為1的等比數(shù)列{an}中，a7=1，{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn(n=1,2,3,…20)中不同的數(shù)值有_____個(gè).( )
A. 15B. 14C. 13D. 12
8.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若△ABC滿足AC=BC，頂點(diǎn)A(1,0)、B(?1,2)，且其“歐拉線”與圓M：(x?3)2+y2=r2相切，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為3+ 2
B. 圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線x?y?1=0的距離為 2
C. 若點(diǎn)(x,y)在圓M上，則yx+1的最小值是? 2
D. 若圓M與圓x2+(y?a)2=2有公共點(diǎn)，則a∈[?2,2]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.一百零八塔，位于寧夏回族自治區(qū)吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國現(xiàn)存最
大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，總面積為6980平方米.一百零八塔，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下，前六層依次建1，3，3，5，5，7座塔，從第六層起，后面的每一層所建塔的座數(shù)依次比上一層多2座，總計(jì)一百零八座，因塔數(shù)而得名.將塔進(jìn)行編號.第一層的一座塔編號為001號塔；第二層從左至右依次編號為002，003，004；第三層從左至右依次編號為005，006，007；…；依此類推.001號塔比較高大，殘高為5.04米、塔底直徑為3.08米，具有塔心室，其余107座皆為實(shí)心塔，大小基本相近，一般殘高約為2.2米、塔底直徑約為2米，塔底座間距相同約為1.2米(例如：002號塔底座右側(cè)與003號塔底座左側(cè)之間的距離為1.2米)，記第n層的寬度(以最左側(cè)塔身和最右側(cè)塔身最遠(yuǎn)距離計(jì)算)為an米，則以下說法正確的是( )
A. 一百零八塔共有12層塔
B. 088號塔在第11層
C. an?an?1=4(n≥6,n∈N+)
D. a11的值約為53.2
10.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六、周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則( )
A. 只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C. 只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
11.如圖，橢圓x24+y2b2=1(0b>0)的離心率為 63，過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與x軸相交于點(diǎn)B，與橢圓相交于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若BC=DA，求k的值；
(3)若圓心在橢圓上，半徑為a2的圓，我們稱是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)O作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試問|OE|2+|OF|2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
參考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.C
7.B
8.B
9.ABD
10.AD
11.AD
12.6
13.? 2∪(?1,1]
14.(?∞,?32]
15.解：(1)由圓C1的方程：(x?2)2+y2=4，可得圓心C1(2,0)，半徑r1=2，
圓C2的方程：(x?4)2+(y?2)2=m2(m>0)，可得圓心C2(4,2)，半徑r2=m，
若圓C1與圓C2相內(nèi)切，則|C1C2|=m?2，即 (4?2)2+(2?0)2=m?2，
解得m=2+2 2；
(2)由題意直線l1：x?ny?1=0，l2： 3x?y=0，
可得C1到直線l1的距離d1=|2?1| 1+n2=1 1+n2，所以直線l1被圓C1截的弦長為2 4?d12=2 4?11+n2，
C1到直線l2的距離d2=2 3 ( 3)2+1= 3，所以直線l2被圓C1截的弦長為2 4?d22=2 4?3=2，
由題意可得：2 4?11+n22= 7 2，解得n2=1，
所以n的值為±1．
16.解：(1)記選出小明、小紅參加面試為事件A1，選出小明、小紅或小強(qiáng)、小真各一人參加面試為事件A2，選出小強(qiáng)、小真參加面試為事件A3，這兩人本次面試的得分之和不低于16分為事件B，
則P(A1)=C22C42=16，P(A2)=C21C21C42=23，P(A3)=C22C42=16，
P(B)=P(A1B+A2B+A3B)
=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=16×(34)2×[(23)2+2×23×13]+23×34×23×(23×12+13×12+23×12)+16×(23)2×[(12)2+2×12×12]
=512；
(2)由題意可知，X的可能取值為0，6，10，12，16，20，
故P(X=0)=(14)2=116，P(X=6)=2×34×13×14=18，
P(X=10)=2×34×23×14=14，P(X=12)=(34)2×(13)2=116，
P(X=16)=(34)2×2×23×13=14，P(X=20)=(34)2×(23)2=14，
故X的分布列為：
則E(X)=0×116+6×18+10×14+12×116+16×14+20×14=34+52+34+4+5=13．
17.解：(1)因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，DE/?/BC，且BC⊥CD，
所以DE⊥CD，DE⊥AD，則折疊后，DE⊥A1D，
又A1D∩CD=D，A1D，CD?平面A1CD，
所以DE⊥平面A1CD，A1C?平面A1CD，所以DE⊥A1C，
又已知A1C⊥CD，CD∩DE=D，且CD，DE?平面BCDE，
所以A1C⊥平面BCDE；
(2)由(1)，以CD為x軸，CB為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz．

因?yàn)锳D=2CD，故DE=23BC=2，
由幾何關(guān)系可知，CD=2，A1D=4，A1C=2 3，
故C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，A1(0,0,2 3)，M(1,0, 3)，
CM=(1,0, 3)，A1B=(0,3,?2 3)，A1E=(2,2,?2 3)，
設(shè)平面A1BE的法向量為n=(x,y,z)，
則n⊥A1B=0n⊥A1E=0，則n?A1B=0n?A1E=0，
即3y?2 3z=02x+2y?2 3z=0，
不妨令y=2，則z= 3，x=1，n=(1,2, 3)．
設(shè)CM與平面A1BE所成角的大小為θ，
則有sinθ=|cs?CM,n?|=|CM?n||CM||n|=42×2 2= 22，
設(shè)θ為CM與平面A1BE所成角，故θ=π4，
即CM與平面A1BE所成角的大小為π4．
18.解：(1)∵n≥2時(shí)，Sn?Sn?1=an=?2Sn?1Sn，
∴1Sn?1Sn?1=2，
∴數(shù)列{1Sn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1S1=1，公差為2，
∴1Sn=1+2(n?1)=2n?1，
解得Sn=12n?1，n=1時(shí)也成立．
∴n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=12n?1?12n?3，n=1時(shí)不成立．
∴an=1,n=112n?1?12n?3,n≥2．
(2)bn=2nSn=(2n?1)?2n，
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2+3?22+5?23+…+(2n?3)?2n?1+(2n?1)?2n，
∴2Tn=22+3?23+…+(2n?3)?2n+(2n?1)?2n+1，
相減可得：?Tn=2+2(22+23+…+2n)?(2n?1)?2n+1=2+2×4(1?2n?1)1?2?(2n?1)?2n+1=(3?2n)?2n+1?6，
化為：Tn=(2n?3)?2n+1+6．
19.解：(1)因?yàn)闄E圓的方程為x2a2+y24=1(a>b>0)，
所以b=2，
因?yàn)闄E圓的離心率為e= 63，
又c2=a2?b2，
解得a2=12，
則橢圓方程為x212+y24=1；
(2)設(shè)直線l方程為y=kx+1，
令y=0，
解得x=?1k，
即B(?1k,0)，
設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx+1x212+y24=1，消去y并整理得(1+3k2)x2+6kx?9=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=?6k1+3k2，
若BC=DA，
此時(shí)(x1+1k,y1)=(?x2,1?y2)，
即x1+x2=?1k，
所以?6k1+3k2=?1k，
解得k=± 33；
(3)由(1)知a=2 3，
所以“衛(wèi)星圓”半徑r= 3，
設(shè)“衛(wèi)星圓”方程為(x?m)2+(y?n)2=3，
因?yàn)閳A心(m,n)在橢圓x212+y24=1上，
所以m212+n24=1，
即m2+3n2=12，
設(shè)切線方程為y=tx，
可得|tm?n| 1+t2= 3，
整理得(m2?3)t2?2mnt+n2?3=0，
設(shè)切線OE，OF的斜率分別為t1，t2，
可得t1+t2=2mnm2?3，t1t2=n2?3m2?3，
聯(lián)立y=t1xx212+y24=1，消去y并整理得(1+3t12)x2=12，
可得xE2=121+3t12，yE2=12t121+3t12，
所以|OE|2=xE2+yE2=12(1+t12)1+3t12，
同理得|OF|2=12(1+t22)1+3t22，
因?yàn)閠1+t2=2mnm2?3，t1t2=n2?3m2?3，m2+3n2=12，
所以|OE|2+|OF|2=12(1+t12)1+3t12+12(1+t22)1+3t22=12×(1+t12)(1+3t22)+(1+t22)(1+3t12)(1+3t12)(1+3t22)
=12×2+4(t1+t2)2?(8?6t1t2)t1t21+3(t1+t2)2?(6?9t1t2)t1t2=12×2+4(2mnm2?3)2?[8?6(n2?3)m2?3]n2?3m2?31+3(2mnm2?3)2?[6?9(n2?3)m2?3]n2?3m2?3
=12×2m4+12m2+6n4+8m2n2?12n2m4+12m2+9n4+6m2n2?36n2+36
=12×2(12?3n2)2+12(12?3n2)+6n4+8(12?3n2)n2?12n2(12?3n2)2+12(12?3n2)+9n4+6(12?3n2)n2?36n2+36=12×432?96n2324?72n2=16．
故|OE|2+|OF|2是定值，定值為16． X
0
6
10
12
16
20
P
116
18
14
116
14
14

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