一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算.
【詳解】由已知,
故選：B．
2. 下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得.
【詳解】對于A，，故A錯(cuò)誤；
對于B，，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)槭浅?shù)，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
3. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，進(jìn)而化簡求值即可．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為
，或（舍）
則
故選：B
4. 已知在R上可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出和的解，然后可得原不等式的解．
【詳解】由在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像可知：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，從而可得不等式的解集為，
故選：B．
5. 把一個(gè)周長為的長方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，圓柱底面半徑為（ ）
A B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，得到，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，可得，
則該圓柱的體積，
則，
令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；
令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，圓柱體積取得最大，此時(shí)圓柱的高為.
故選：C.
6. 若對任意的，且，都有，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間的關(guān)系，求出的單調(diào)減區(qū)間，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，由，得到，即?br>令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，由，得到，
由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
故選：B.
7. 若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)垂直性質(zhì)可得，再求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程為，再設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，列式求解即可
【詳解】由題知，，令，又，解得，因?yàn)?，所以切線的方程為.，
設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，
所以，故，
即，，解得或.
故選：D
8. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上的單調(diào)性，再通過得到. 然后通過不等式放縮得到，從而得到，由此得解.
【詳解】設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)有，所以在上單調(diào)遞減.
這表明，即，從而，即.
注意到，從而，即，
所以，
綜上，有.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中較為關(guān)鍵的是比較和的大小，而這可以轉(zhuǎn)化為比較和的大小，觀察結(jié)構(gòu)不難想到去研究的單調(diào)性.
二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則可以取到的整數(shù)值有（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由題知在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即，
故選：AB.
10. 過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. 與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B. 僅存在一條直線，使
C. 若都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是
D. 若直線斜率為1，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】對于A，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
代入點(diǎn)，得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；
對于B，由于通徑為，實(shí)軸長，而過右焦點(diǎn)的弦長，
，而，所以直線不止一條，故B錯(cuò)誤；
對于C，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，化簡整理得，
則，，
，，若A、B都在該雙曲線的右支上，
則，即，解得，
所以直線的斜率的取值范圍為，故C正確；
對于D，設(shè)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，兩式相減整理得，
因?yàn)?，則，又，
解得，，所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)的定義域是，是的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】BC
【解析】
【分析】構(gòu)造，則根據(jù)有單調(diào)遞增，再利用單調(diào)遞增得到相應(yīng)的不等式以判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】設(shè)，則定義在上，且，所以單調(diào)遞增.
由單調(diào)遞增知，從而，A錯(cuò)誤；
由單調(diào)遞增知，從而，B正確；
由單調(diào)遞增知，從而，C正確；
由單調(diào)遞增知當(dāng)時(shí)，則，
有，從而，即，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12. 已知，，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 函數(shù)在上存在極大值
B. 為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
C. 若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為
D. 若，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性判斷A；求出并利用導(dǎo)數(shù)探討其性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則“f”，再利用的單調(diào)性求出最小值判斷C；由已知結(jié)合同構(gòu)思想得，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值判斷D.
【詳解】對于A，，令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，
于是，因此在上單調(diào)遞增，在上無極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對于B，，令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，
則，即，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，
方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
因此，B正確；
對于C，由選項(xiàng)B知，在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是，不等式，
則有，，由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即，所以實(shí)數(shù)a的最大值為，C正確；
對于D，若，則，
即，由，得，
由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，，
因此，令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，從而，
所以的最大值為，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；
（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得，故.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以單調(diào)遞增區(qū)間是
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用
14. 已知函數(shù)在處取得極小值，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】對求導(dǎo)，根據(jù)題意建立方程組，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由題有，解得，
此時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故滿足題意，所以，
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，代入即可得解.
【詳解】由題意，可得，
當(dāng)時(shí)，，
由，可得，由，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
16. 若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算得到，然后令，并利用導(dǎo)數(shù)分析的正負(fù)性，再將其與的正負(fù)性結(jié)合，得到的正負(fù)性，即可推知的單調(diào)性，進(jìn)一步得到的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.
【詳解】由，知.
令，則，且. 下面先來討論的正負(fù)性：
當(dāng)時(shí)，有，所以單調(diào)遞增，而，，所以存在唯一的零點(diǎn)，且，結(jié)合單調(diào)性，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
同時(shí)，如果，則，而，且由知，結(jié)合，可知存在，使得，結(jié)合單調(diào)性，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí).
綜上，我們有以下結(jié)果：
當(dāng)時(shí)，存在使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，存在，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí).
下面進(jìn)行分類討論：
當(dāng)時(shí)，如上圖所示. 根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
從而由，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在和上遞增，在上遞減，這表明和都是的極值點(diǎn)，從而至少有2個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，如上面三張圖所示（分別對應(yīng)，和的情形）. 根據(jù)之前的討論，此種情況下，當(dāng)時(shí)，必有.
從而由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí). 從而在和上遞減，在上遞增.
故在上遞減，在上遞增，這表明只有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件；
當(dāng)且時(shí)，如上面兩張圖所示（分別對應(yīng)和的情形）. 根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在，，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí). 由于，故. 設(shè)將從小到大排序后分別是.
從而由，知當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí). 故在和上遞減，在和上遞增.這表明都是的極值點(diǎn)，從而至少有3個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，如上圖所示. 根據(jù)之前的討論，此種情況下，存在，，使得，且當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí). 由于，，故.
從而由，知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí). 從而在上遞減，在和上遞增.
故在上遞減，在上遞增，這表明只有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對中的因子單獨(dú)研究其正負(fù)性，然后與結(jié)合，再利用“穿針引線法”得到的正負(fù)情況.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知曲線，求：
（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）曲線過點(diǎn)的切線方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先得到點(diǎn)是切點(diǎn)，故只需求出即可得解；
（2）首先得到點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，由，即可列式并聯(lián)立求解即可.
【小問1詳解】
由于，從而點(diǎn)是切點(diǎn)，
又，所以，
從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
由，從而點(diǎn)不是切點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為，顯然，
一方面，另一方面，
聯(lián)立以上兩式可得，所以或，也就是或，
又，，
所以曲線過點(diǎn)的切線方程為或，
也就是或.
18. 已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）求出，利用裂項(xiàng)求和法求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由，可得，，
兩式相減得，又，
，即，，又，解得，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
.
【小問2詳解】
由（1），，
所以
.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
【答案】（1）答案見詳解 （2）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論的正負(fù)確定和的解，得單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性分類討論得最小值．
【小問1詳解】
由，，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有，，，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.
綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
20. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)作兩條斜率為的直線分別交曲線于（異于）兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）證明見詳解，定點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線與的斜率之積等于列方程，化簡求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可得，根據(jù)條件，可得，化簡運(yùn)算得得解.
【小問1詳解】
由題意，，，設(shè)點(diǎn)，
所以，，
化簡整理得.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線，，，
聯(lián)立，化簡整理得，
則，
則，，
而，
所以，
化簡整理得，，
則，
整理得，解得或，
直線不過點(diǎn)，故（舍去），所以，
直線，所以直線過定點(diǎn).

21. 設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）當(dāng)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，證明：．
【答案】（1）證明見詳解 （2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明；
（2）由題意可得是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，即可利用韋達(dá)定理結(jié)合題意得到的范圍，并將中的變量替換成，再借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
要證，即證，令，，
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即成立.
【小問2詳解】
，由在上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
所以方程，即有兩個(gè)不同的正根，
則，解得，
又
，
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
，
所以.
22. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）設(shè)，不等式對恒成立，求整數(shù)的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，不等式對恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）極大值為，無極小值
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最小值，即可求出結(jié)果；
（3）根據(jù)條件得到對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到，從而有，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，易知，又，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在處取到極大值，無極小值.
【小問2詳解】
因?yàn)?，由?br>得到，所以不等式對恒成立，
即對恒成立，整理得到對恒成立，
令，則，
令，則區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，由零點(diǎn)存在性原理知，，使，
所以當(dāng)時(shí)，，得到時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，得到時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，又，
所以整數(shù)的最大值為.
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，由不等式，得到，
整理得到對恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
令，則，，所以方程必有解，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：
①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②數(shù)形結(jié)合( 圖像在 上方即可)；
③討論最值或恒成立.

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