一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】，，
故選：B.
2. 復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
所以，，
所以，解得，，故，即復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
3. 已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】若在上投影向量為，即，
由，則有，即，可得，
又由，
則有，解可得：，
設(shè)與的夾角為，則，
又由，則；
故選：D
4. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（ ）
A. 5B. 10C. 9D. 6
【答案】A
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且(由可得)，
，，
又，，
，解得，
.
故選：A.
5. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
又因?yàn)?，所以得?br>，
則，
即，
故選：C .
6. 已知正三棱錐底面邊長為，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在正三棱錐中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為，則為正的中心，
延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)檎倪呴L為，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，則，
則，
，
由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為，則，
即，故，
因?yàn)闉檎闹行模瑒t，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
所以，，
因此，該三棱錐的體積為.
故選：D.
7. 若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則稱雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”.設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，為等邊三角形，雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”，且雙曲線的焦距為16，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意：，
設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，故，
由于，
化為，故，
則進(jìn)而可得，
故雙曲線的漸近線方程為，
因此的漸近線方程為，即，
由于焦距為，解得，
故的方程為.
故選：C
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)，使得對任意，都有，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】存在常數(shù)，使得對任意，都有，
函數(shù)的周期是
當(dāng)時(shí)，，且
即，
函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，即，
故選：
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 隨機(jī)變量，則
B. 隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)概率最大
C. 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”是互斥事件
D. 袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布
【答案】ABD
【解析】對于A，隨機(jī)變量，則，A正確；
對于B，隨機(jī)變量，則，
，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，最大，B正確；
對于C，“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”的事件可以同時(shí)發(fā)生，
即取出的兩球?yàn)橐患t一白的事件，因此它們不互斥，C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為，則，符合超幾何分布，D正確.
故選：ABD
10. 已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 若圓與軸相切，則
B. 若直線平分圓的周長，則
C. 圓的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為
D. 圓與圓可能外切
【答案】BC
【解析】對于A，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切，，解得：或，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以圓的圓心在直線上，，解得：，故B正確；
對于C，圓的圓心到原點(diǎn)的距離，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，故C正確；
對于D，圓的圓心為，半徑為，故圓與圓外切的條件為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)方程不表示圓，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列是遞減數(shù)列
C. D.
【答案】AD
【解析】由題意，則，
設(shè)，則，
所以在上的單調(diào)遞減，所以，即，
當(dāng)時(shí)，可得，即，
設(shè)，則，
所以在上的單調(diào)遞增，所以，
取，可得，即
所以，所以選項(xiàng)A正確.
設(shè)，則，
由上在上恒成立，則，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
由，所以，所以選項(xiàng)C不正確.
由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，
由上，則，所以，
所以，故選項(xiàng)D正確.
故選： AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中的系數(shù)為____________．
【答案】
【解析】，
令，則，
所以.
故答案為：
13. 函數(shù)的最大值是____________．
【答案】
【解析】由求導(dǎo)可得：，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以可知函數(shù)最大值為，
故答案為：.
14. 在中，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若存在點(diǎn)，使，則最大值為____________．
【答案】
【解析】已知，變形可得，即.
根據(jù)向量共線定理可知，與共線，所以點(diǎn)在直線上.
以在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，.
因?yàn)?，根?jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，
兩邊同時(shí)平方展開并化簡得：，
配方可得：，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.
因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使，所以為點(diǎn)到直線的距離的最小值.
由點(diǎn)的軌跡可知，圓心到直線（軸）的距離為，圓的半徑為，所以的最大值為圓的半徑.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 的內(nèi)角所對的邊分別為，點(diǎn)是的外接圓的圓心，，，．
（1）求該外接圓的面積；
（2）求．
解：（1）由，得，
所以，所以，
由余弦定理得
，
由正弦定理得，所以，
所以圓的面積.
（2）取的中點(diǎn)，連接，，則，
所以
，
由余弦定理得
，
所以.
16. 已知相關(guān)變量和的散點(diǎn)圖如圖所示，擬用①，②（其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）兩個(gè)模型擬合，令，計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：
（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；
（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）
附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；②．
解：（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：
，
則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.
（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程.
由，得，即.
由于
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
所以，則.
17. 已知函數(shù)
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）試討論的單調(diào)性．
解：（1）當(dāng)，，
所以，
所以，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
（2）因?yàn)椋?br>所以.
當(dāng)時(shí)，，令，得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，解得或.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
18. 如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，、是圓臺(tái)上底面圓上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，.
（1）證明：平面．
（2）求四面體的外接球的表面積；
（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
（1）證明：因?yàn)?，，所以，，所以，?br>因?yàn)闉閳A一條直徑，是圓上異于、的點(diǎn)，則，
因?yàn)?，、平面，，故平?
（2）解：因?yàn)槠矫?，且為正三角形?br>將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，
設(shè)正的中心為點(diǎn)，正的中心為，則的中點(diǎn)為外接球球心，
的外接圓半徑為，，
所以，外接球的半徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為.
（3）解：因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，過點(diǎn)作垂直于底面的垂線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、，
設(shè)點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋?，，?br>易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
不妨設(shè)，，
則，
設(shè)，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，
因此，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
19. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線與軸交于點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，分別交軸于點(diǎn)．
①證明：直線的斜率成等差數(shù)列．
②設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由．
解：（1）由右焦點(diǎn)知，
，所以，
若，則，即，方程無解；
若，則，所以，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）①設(shè)，易知過且與相切的直線斜率存在，方程設(shè)為，
聯(lián)立方程，
消得，
，即，
設(shè)直線的斜率分別為，
所以，，
，
所以，
即直線的斜率成等差數(shù)列.
②直線的方程為，令，得，
所以，同理可得，
所以的中垂線為，
中點(diǎn)為，
所以直線的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
所以，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，解得，所以，所以.
所以存在點(diǎn)，使得，此時(shí).
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500

相關(guān)試卷

甘肅省隴南市禮縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省隴南市禮縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），共6頁。試卷主要包含了本試卷主要考試內(nèi)容等內(nèi)容，歡迎下載使用。

甘肅省酒泉市瓜州縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省酒泉市瓜州縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），共6頁。

甘肅省隴南市西和縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省隴南市西和縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），共11頁。試卷主要包含了 已知，則的最小值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

山東省濟(jì)南市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題

山東省濟(jì)南市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題
山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題

山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題
2023屆山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題掃描版含答案

2023屆山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題掃描版含答案
2023屆山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題 掃描版

2023屆山東省濟(jì)南市高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題 掃描版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學(xué)考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部