1．（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)集合，若，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·浙江金華·模擬預測）若復數(shù)z滿足，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·北京門頭溝·一模）在中，，， 且， 則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（ ）
A．12里B．24里C．48里D．96里
5．（22-23高一上·江蘇徐州·期中）若正實數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高一下·天津南開·期中）廡殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”，如圖（1）所示.現(xiàn)有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體，其中正方形邊長為3，，且到平面的距離為2，則幾何體的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)是雙曲線的左、右焦點，點A是雙曲線C右支上一點，若的內(nèi)切圓M的半徑為a（M為圓心），且，使得，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
8．（23-24高二下·山東青島·期中）某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，其中，擊中偶數(shù)次為事件A，則（ ）
A．若，則取最大值時
B．當時，取得最小值
C．當時，隨著的增大而減小
D．當?shù)?，隨著的增大而減小
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·遼寧·二模）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．的定義域為B．的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱
C．的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱D．在上單調(diào)遞增
10．（2024·河南周口·模擬預測）設(shè)，，則下列計算正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．（23-24高二上·河北滄州·階段練習）如圖，過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，弦的中點為，過分別作準線的垂線，垂足分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．以為直徑的圓與相切B．
C．D．的最小值為4
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·四川自貢·一模）若曲線的一條切線為，則 .
13．（2024·全國·模擬預測）意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，在1202年著的《計算之書》引入“兔子數(shù)列”（即斐波那契數(shù)列），“兔子數(shù)列”滿足，給定前2項均為1的“兔子數(shù)列”，記其前項和為Sn，試用含的代數(shù)式表示Sn= ．
14．（2024·山東聊城·一模）已知正四面體的棱長為2，動點滿足，且，則點的軌跡長為 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點，若，求的周長.
16. (15分) （2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
17. (15分) （23-24高三上·廣東深圳·期末）如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
18. (17分) （2023·山西·一模）假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個紅球，這些小球除顏色外完全相同.
(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；
(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.
19. (17分) （22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意，得到或，求得的值，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.
【詳解】由集合，
因為，所以或，解得或，
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意．
故選：C．
2．D
【分析】設(shè)，借助復數(shù)的模長與共軛復數(shù)的定義計算即可得.
【詳解】設(shè)，則，
則有，
即，
化簡可得，故.
故選：D.
3．B
【分析】將兩邊平方，即可得到，再由數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，所以，
即，
所以，即，
所以.
故選：B
4．C
【分析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式求解即可.
【詳解】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，
設(shè)這個數(shù)列為，前項和為，
則，解得，
所以，
即該人第三天走的路程為48里.
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求最小值，再由不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】由，
僅當，即時等號成立，
要使不等式有解，只需，
所以.
故選：B
6．D
【分析】取的中點分別為，把可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，結(jié)合柱體和錐體的體積公式，即可求解.
【詳解】取的中點分別為，連接，
可得幾何體分割為一個三棱柱和一個四棱錐，
將三棱柱補成一個上底面與矩形全等的矩形的平行六面體，
可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，
則三棱柱的體積為，
四棱錐的體積為，
所以該幾何體的體積為3+92=152.
故選：D.
7．A
【分析】向量坐標化并結(jié)合雙曲線定義與等面積得點點距列方程得代入雙曲線求出離心率.
【詳解】設(shè)，由對稱性不妨設(shè)A在第一象限，此時M也在第一象限，
因為，所以，
所以，又，
解得，
所以，
所以，解得，所以，代入雙曲線方程得：，
解得，所以.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查雙曲線的離心率，關(guān)鍵是向量坐標化并充分利用曲線定義確定A的坐標.
8．D
【分析】對于A，根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計算即可判斷；對于B，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于CD，由題意把表示出來，然后利用單調(diào)性分析即可.
【詳解】A：在10次射擊中擊中目標的次數(shù)，
當時對應的概率，
因為取最大值，所以，
即，
即，解得，
因為且，所以，即時概率最大．故A錯誤；
B：，當時，取得最大值，故B錯誤；
C、D：，
，
，
，
當時，，為正負交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故C錯誤；
當時，為正項且單調(diào)遞減的數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故D正確；
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查二項分布及其應用，其中求是難點，關(guān)鍵是能找到其與二項展開式之間的聯(lián)系.
9．ACD
【分析】由對數(shù)型復合函數(shù)的定義域即可判斷A，由函數(shù)的奇偶性即可判斷BC，由復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D
【詳解】因為，則，解得，
所以的定義域為，故A正確；
因為，即為奇函數(shù)，
所以的圖像關(guān)于原點對稱，故B錯誤，C正確；
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：ACD
10．AD
【分析】由兩角和差的余弦公式判斷A，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系判斷B，化弦為切，結(jié)合兩角和差的正余弦公式求解判斷C，利用二倍角公式及三角恒等變換化簡求解判斷D.
【詳解】對于A，因為，，則，，故，
所以，正確；
對于B，因為，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，錯誤；
對于C，由得，，所以，
即，因為，，所以，
則或，即或（不合題意，舍去），錯誤；
對于D，，
因為，所以，
即，即，
所以，即，
因為，所以，
所以，所以，正確.
故選：AD
11．ABD
【分析】由拋物線的定義可得，結(jié)合即可判斷A；設(shè)的方程且聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理可得，由中點坐標公式和兩點表示直線斜率可得，即可判斷B；由選項B知、，結(jié)合拋物線的定義化簡計算即可判斷C；由選項C得，由射影定理得，則，結(jié)合基本不等式計算即可判斷D.
【詳解】A：由題意得，
又以為直徑的圓與切于點，故A正確；
B：設(shè)的方程為，聯(lián)立整理得，
，又，
則，，即，故B正確；
C：由選項B知，
，故C錯誤；
D：由選項C，得，則，
在中，，，由射影定理得，
，
當且僅當時，等號成立，且，故D正確.
故選：ABD．
【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．
12．
【分析】由是曲線的切線，求導函數(shù)利用斜率出參數(shù)即可.
【詳解】設(shè)切點為，
因為，所以，
所以在處的切線斜率為，
則過該點的切線方程為：，
即，又知切線為：，
故得：，.
故答案為:.
13．
【分析】將題設(shè)相鄰項的加法關(guān)系變形為減法關(guān)系，然后寫出個式子累加即可求得與的關(guān)系式.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
故答案為：.
14．
【分析】由，故點在過點且垂直于的平面上，由，故點在以為直徑的球面上，即點的軌跡為過點且垂直于的平面截以為直徑的球面所得的圓，計算出球的半徑，球心到平面的距離，即可得該圓的半徑，即可得該圓周長即點的軌跡長.
【詳解】由，故點在過點且垂直于的平面上，
由，故點在以為直徑的球面上，
即點的軌跡為過點且垂直于的平面截以為直徑的球面所得的圓，
由正四面體的性質(zhì)可得，取中點，連接，，
則有，又、平面，，
故平面，取中點，中點，連接，
則，由平面，故平面，
，，
為以為直徑的球的球心，則該球半徑為，
則點的軌跡所形成的圓的半徑為，
則其軌跡長為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在由題意中，得到點在過點且垂直于的平面上，由，得到點在以為直徑的球面上，即可得點的軌跡為過點且垂直于的平面截以為直徑的球面所得的圓，構(gòu)造出對應球及平面，計算出球的半徑，球心到平面的距離，即可得該圓的半徑，即可得點的軌跡長.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和，得到，從而求出角；
（2）由三角形面積公式和余弦定理得到，從而求出周長.
【詳解】（1）由已知，得，
根據(jù)正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因為，
所以，
因為直線為的平分線，
所以，
所以，
則，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周長為.
16．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導得，再分和兩種情況討論即可．
（2）由（1）知，從而，即證明，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)得證．
【詳解】（1），
當在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；
當時，令f'x>0得；
令f'x

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