1．已知為虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知向量a=1,0,2 ，b=?2,1,?2 ，c=0,1,λ ，若a ，b ，c 三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ= （ ）
A．1B．2C．3D．4
3．平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，E為的中點(diǎn)，則異面直線BE和DC所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
4．有4張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)”，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為3”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為5”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（ ）
A．與為相互獨(dú)立事件B．與為互斥事件
C．與為相互獨(dú)立事件D．與為對(duì)立事件
5．構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的解題方法，請(qǐng)結(jié)合三角形的正、余弦定理，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D形解決問(wèn)題：（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且，若，，則的值為（ ）

A．B．C．D．
7．已知在鈍角中，是鈍角，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．排球比賽一般采用五局三勝制，第一局比賽用抽簽的方式，等可能地決定首先發(fā)球的球隊(duì)，在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，若甲隊(duì)發(fā)球，則甲隊(duì)贏得此球的概率為，若乙隊(duì)發(fā)球，則甲隊(duì)贏得此球的概率為．則在第一局比賽中，甲隊(duì)獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．從某校隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加某項(xiàng)知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）如圖所示，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．這30名學(xué)生測(cè)試得分的中位數(shù)為6
B．這30名學(xué)生測(cè)試得分的眾數(shù)與中位數(shù)相等
C．這30名學(xué)生測(cè)試得分的極差為8
D．這30名學(xué)生測(cè)試得分的平均數(shù)比中位數(shù)大
10．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球、3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件“取出的兩個(gè)球是一個(gè)黑球、一個(gè)白球”，事件“兩個(gè)球中至多一個(gè)黑球”，事件“兩個(gè)球均為白球”，則（ ）
A．B．C．D．
11．已知棱長(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，滿(mǎn)足，則下列表述正確的是（ ）
A．時(shí)，平面
B．不存在，使得平面
C．任意，三棱錐的體積為定值
D．過(guò)點(diǎn)的平面分別交于，則的范圍是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，兩點(diǎn)間的距離為 .
13．拋兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則x，y，3能夠構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率為 .
14．如圖，在平面四邊形中，，.若，則四邊形的面積為 ；若的大小可變化，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)求的大小；
(2)若面積為，外接圓面積為，求周長(zhǎng).
16．近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷(xiāo)形式，某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖①所示，為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流．
(1)應(yīng)抽取小吃類(lèi)商家多少家？
(2)在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示．
①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)；
②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱(chēng)為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．
17．如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在線段AB上，點(diǎn)在線段DC上．
(1)當(dāng)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為時(shí)，求；
(2)當(dāng)點(diǎn)是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值．
18．目前羽毛球混雙世界排名第一，第三，第四分別是中國(guó)的“雅思組合，韓國(guó)的肉丁組合”，中國(guó)的“鳳凰組合. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽雅思組合戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為，“鳳凰組合”戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為，同一賽事的每場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響.已知三個(gè)組合參加單循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇一次），“雅思組合，“鳳凰組合”同時(shí)戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為 ，有一個(gè)組合戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為 .
(1)求 和 的值；
(2)三個(gè)組合參加雙循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇兩次），求雅思組合比“鳳凰組合戰(zhàn)勝肉丁組合的次數(shù)多的概率.
19．空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)的曲率為，，分別為，的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱(chēng)為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率（多面體有頂點(diǎn)的曲率之和）是常數(shù).
參考答案
1．【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所?br>即，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選D.
2．【答案】B
【詳解】因?yàn)??2≠01≠2?2 ，所以a=1,0,2 與b=?2,1,?2 不共線，
所以存在實(shí)數(shù)x,y ，使得c=xa+yb ，
所以0,1,λ=x1,0,2+y?2,1,?2=x?2y,y,2x?2y ，
所以x?2y=0y=12x?2y=λ ，解得x=2y=1λ=2 .
故選B.
3．【答案】A
【分析】由求解即可．
【詳解】由題意，，，
又，，
所以，即有，
故選A．
4．【答案】A
【分析】列出樣本空間，再對(duì)各選項(xiàng)的事件列出其基本事件，根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷AC，根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷BD.
【詳解】由題意樣本空間，
，，，，
對(duì)于A：由古典概率概率公式可知，，，
則，故與為相互獨(dú)立事件，故A正確；
對(duì)于C：，，，則，
故與不是相互獨(dú)立事件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)?shù)谝淮稳〕龅目ㄆ系臄?shù)字為3，第二次取出的卡片上的數(shù)字為4時(shí)，
事件與同時(shí)發(fā)生，故兩個(gè)事件不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，，所以與不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤.
故選A.
5．【答案】C
【分析】構(gòu)造,則由余弦定理有，設(shè)，再由正弦定理可得出答案.
【詳解】構(gòu)造，設(shè)角所對(duì)的邊分別為, 設(shè)，
由余弦定理可得,即，
所以，由正弦定理可得，
即，
所以.
故選C.
6．【答案】C
【分析】由題意，可得，又三點(diǎn)共線，可得，則，利用向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而表示出，計(jì)算即可.
【詳解】在中，因?yàn)?，所以，?br>所以，
即，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，
所以，
而，
所以，
又，，，
則
.
故選C.
7．【答案】C
【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合向量可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>且，則，可得，
且，則，
又因?yàn)?，則，
可得，
則，
因?yàn)?，則，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即的最小值為.
故選C．
8．【答案】C
【分析】按第一球發(fā)球方進(jìn)行分類(lèi)，第二球必是甲勝列式計(jì)算即得.
【詳解】甲乙獲得發(fā)第一個(gè)球的概率均為，由甲獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)，得第二球甲必勝，
當(dāng)甲發(fā)第一個(gè)球時(shí)，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，
當(dāng)乙發(fā)第一個(gè)球時(shí)，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，
所以甲隊(duì)獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)的概率為.
故選C.
9．【答案】ABC
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、極差和平均數(shù)的定義，分別求出對(duì)應(yīng)的值即可得到答案.
【詳解】這30名學(xué)生測(cè)試得分的中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
這30名學(xué)生測(cè)試得分的眾數(shù)為5，故B錯(cuò)誤；
分?jǐn)?shù)最高為10，最低為3，所以極差為7，故C錯(cuò)誤；
這30名學(xué)生測(cè)試得分的平均數(shù)為:
，故D正確.
故選ABC.
10．【答案】AB
【分析】利用列舉法寫(xiě)出隨機(jī)取出個(gè)小球的基本事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對(duì)應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.
【詳解】記個(gè)白球?yàn)椋瑐€(gè)黑球?yàn)?，隨機(jī)取出個(gè)小球的事件如下，
，
事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故A正確；
事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，
事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，又，故D錯(cuò)誤；
其中對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故B正確；
對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故C錯(cuò)誤.
故選AB.
11．【答案】ACD
【分析】利用線面平行的判定判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用等體積法計(jì)算判斷C；作圖直接計(jì)算得到并判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，
而平面，平面，于是平面，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)，即點(diǎn)與重合時(shí)，由平面，平面，
則，又平面，則平面，
而平面，于是，又，則，同理，
又平面，因此平面，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，顯然，而平面，平面，則平面，
因此點(diǎn)到平面的距離為定值，在中，，其面積為定值，
因此三棱錐的體積為定值，C正確；
對(duì)于D，直線與直線和分別交于點(diǎn)，則，，
而有，，
當(dāng)時(shí)，有，，
則，，
從而，，
當(dāng)時(shí)，分別與重合；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，與重合， ，亦成立，
則，，所以的取值范圍是，D正確.
故選ACD.
12．【答案】
【分析】依據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，后利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
【詳解】由題意知點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式知
故答案為：.
13．【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法、結(jié)合古典概率計(jì)算即得.
【詳解】拋兩枚骰子，所有的情況有36種，由x，y，3構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，得，
當(dāng)，有5種情況：；
當(dāng)（的情況只需與互換即可，即兩種情況相同）時(shí)，
若；若，；若，；若，；若，，
因此符合條件的共有（種）情況，
所以所求概率為.
故答案為：.
14．【答案】；
【分析】在中由面積公式可得，由余弦定理得和，由得，所以四邊形的面積為；設(shè)，在中由余弦定理得和，由正弦定理得，由和余弦定理得，根據(jù)的范圍可得答案.
【詳解】在中，，，，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以四邊形的面積為；
設(shè)，在中，
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得，
所以，因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?dāng)即時(shí)，
取最大值為1，此時(shí)，
綜上所述，的最大值為5.
故答案為：；.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用及三角形面積的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值.
15．【答案】(1)；
(2)18.
【分析】（1）由正弦定理，可化為，再由余弦定理得，即可得到；
（2）由外接圓面積，得，再由正弦定理可得 ，由面積公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周長(zhǎng).
【詳解】（1），
，
，
，
．
（2）設(shè)外接圓的半徑為，
由， 得，
，解得，
，
，
又，
所以49= ，
故，
所以.
16．【答案】(1)28家；
(2)① 487.5元；②280.
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合圖①求解即可；
（2）①先根據(jù)頻率和為1求出，然后列方程求解第75百分位數(shù)，②根據(jù)頻率分布直方圖求出平均均日利潤(rùn)超過(guò)480元的頻率，然后乘以1000可得答案.
【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類(lèi)家；
（2）①根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)75百分位數(shù)為x，
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的75百分位數(shù)為487.5元．
②，
所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為280．
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由求得，得到與的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式求解即可；
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式與一元二次函數(shù)配方法求的最小值.
【詳解】（1）由題意知，，，．
由得，，故，所以，所以．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)，所以，而點(diǎn)在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)點(diǎn)，，
則，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由事件的相互獨(dú)立性及互斥事件的概率公式列方程組求解；
(2)根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的求和公式結(jié)合條件即得．
【詳解】（1）設(shè)事件 “雅思組合、鳳凰組合均戰(zhàn)勝肉丁組合”，
“雅思組合與鳳凰組合只有一個(gè)組合戰(zhàn)勝肉丁組合”，
由于每場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響，所以 ，
，
由題意可得 ，即，解得或，
因?yàn)?，所以 ．
（2）設(shè)事件 “‘雅思組合’勝‘肉丁組合’ 場(chǎng)”，
事件 “‘鳳凰組合’勝‘肉丁組合’ 場(chǎng)”，，
事件 “‘雅思組合’比‘鳳凰組合’戰(zhàn)勝‘肉丁組合’的次數(shù)多”
所以 ，
，
所以
，
所以“雅思組合”比“鳳凰組合”戰(zhàn)勝“肉丁組合”的次數(shù)多的概率 ．
【方法總結(jié)】(1)根據(jù)事件的相互獨(dú)立性及互斥事件的概率公式列方程組；
(2)結(jié)合獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的求和公式即得．
19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，，再由點(diǎn)的曲率可求出，則為等邊三角形，所以，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，，則平面，所以可得為二面角的平面角，在中可求得結(jié)果；
（3）設(shè)多面體有個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號(hào)，分別為號(hào)，設(shè)第號(hào)（）多邊形有條邊，表示出多面體的所有的棱和頂點(diǎn)，及所有多邊形的內(nèi)角之和為，從而可表示出總曲率，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：因?yàn)樵谥比庵校矫?，平面?br>所以，
所以點(diǎn)的曲率為，得，
因?yàn)?，所以為等邊三角形?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>（2）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫嫫矫妫?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>設(shè)，則，
所以，所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>所以為二面角的平面角，
因?yàn)椋?br>所以在中，，
所以二面角的余弦值為；
（3）證明：設(shè)多面體有個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號(hào)，分別為號(hào)，
設(shè)第號(hào)（）多邊形有條邊，
則多面體共有條棱，
由題意，多面體共有個(gè)頂點(diǎn)，
號(hào)多邊形的內(nèi)角之和為，
所以所有多邊形的內(nèi)角之和為，
所以多面體的總曲率為
，
所以簡(jiǎn)單多面體的總曲率為.
【思路導(dǎo)引】此題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，考查新概念曲率，解題的關(guān)鍵是對(duì)多面體曲率的正確理解，考查推理能力和計(jì)算能力.
2024-2025學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖，中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）

A．B．
C．D．
4．下列方程中表示圓心在直線 上，半徑為 2，且過(guò)原點(diǎn)的圓的是（ ）
A．B．
C．D．
5．將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，則（ ）
A．B．2C．D．
8．在中，，，，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為，則直線與平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的是（ ）
A．若，是對(duì)立事件，則
B．若，是互斥事件，，，則
C．若，，且，則，是獨(dú)立事件
D．若，是獨(dú)立事件，，，則
10．以下四個(gè)命題敘述正確的是（ ）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是
C．設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2
D．直線，若，則或2
11．已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．平面
C．與所成角的余弦值為D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為
三、填空題（本大題共3小題）
12．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線所過(guò)的定點(diǎn)為 ．
13．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓(正方形內(nèi)部，含邊界)，則的取值范圍為 .
14．函數(shù)的值域?yàn)? ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，.
(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；
(2)當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.
16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足.
(1)求角；
(2)若，，是中線，求的長(zhǎng).
17．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成績(jī)的第80百分位數(shù)和平均數(shù)；
(2)已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．
18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．一般地，元有序?qū)崝?shù)對(duì)稱(chēng)為維向量.對(duì)于兩個(gè)維向量，定義：兩點(diǎn)間距離，利用維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題.其中，依據(jù)“距離”分類(lèi)是一種常用的分類(lèi)方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離最近就歸為哪類(lèi).某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計(jì)算機(jī)能力分值?溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見(jiàn)下表：
對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量的四個(gè)坐標(biāo).
(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；
(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.
（i）小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；
（ii）小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項(xiàng)能力分值.
參考答案
1．【答案】A
【分析】分別求得集合和，根據(jù)交集的定義即可求解．
【詳解】由題可知，，，
所以.
故選A．
2．【答案】D
【分析】由已知等式化簡(jiǎn)求出，從而可求出復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選D．
3．【答案】A
【分析】利用向量的基本定理與混合運(yùn)算，結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
則.
故選A.
4．【答案】D
【分析】假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意列出方程求解圓心和半徑即可.
【詳解】因?yàn)閳A心在上，所以設(shè)圓心為,
因?yàn)閳A的半徑為2，
所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
因?yàn)樵搱A過(guò)原點(diǎn)，
所以，
解得,
所以圓心為或,
當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，D對(duì);
當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選D.
5．【答案】C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的平移伸縮得出解析式即可.
【詳解】的圖象先向左平移可得,
縱坐標(biāo)不變，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍可得.
故選C.
6．【答案】B
【分析】利用分段函數(shù)的解析式，作出的圖象，將方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為方程必有一正一負(fù)兩個(gè)根，即可得到，，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】因?yàn)?，函?shù)圖象如下所示：
要使關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，，，
則或或，
因?yàn)榉匠瘫赜幸徽回?fù)兩個(gè)根，所以，
且，，所以，
所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
所以，即 .
故選B.
7．【答案】D
【分析】先由余弦定理得出，再應(yīng)用正弦定理求邊長(zhǎng)即可.
【詳解】在中，由余弦定理，
得，所以，
因?yàn)?，所以?br>在中，，
由正弦定理，得，所以．
故選D．
8．【答案】D
【分析】由直角三角形性質(zhì)和翻折關(guān)系可確定為等邊三角形，利用正弦定理可確定外接圓半徑，由此可知外接圓圓心即為四面體外接球球心，由球的性質(zhì)可知平面，利用可求得點(diǎn)到平面的距離，由此可求得線面角的正弦值.
【詳解】，，，，又為中點(diǎn)，
，則，即為等邊三角形，
設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，取中點(diǎn)，連接，
，，，即外接圓半徑為，
又四面體的外接球半徑為，為四面體外接球的球心，
由球的性質(zhì)可知：平面，又平面，，
，，；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由得：，
又與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，
直線與平面所成角的正弦值為.
故選D.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查幾何體的外接球、線面角問(wèn)題的求解；本題求解線面角的關(guān)鍵是能夠確定外接球球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)，利用體積橋的方式構(gòu)造方程求得點(diǎn)到面的距離，進(jìn)而得到線面角的正弦值.
9．【答案】BCD
【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，是?duì)立事件，所以事件，是不可能同時(shí)發(fā)生的，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋腔コ馐录?，則，故B正確；
對(duì)于C，若，，則，，所以，所以，是獨(dú)立事件，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，是?dú)立事件，所以，是獨(dú)立事件，又，所以，所以，故D正確.
故選BCD.
10．【答案】BC
【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點(diǎn)到直線的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.
【詳解】對(duì)于A，直線在軸上的截距是，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由解得，即，則，解得，B正確；
對(duì)于C，依題意，，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線重合，D錯(cuò)誤.
故選BC.
11．【答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，

則，
所以，
由平面，得，即，
化簡(jiǎn)可得：，
所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，
對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，，所以，D選項(xiàng)正確；
故選BCD.
12．【答案】
【分析】將方程化為，列方程求解即可.
【詳解】原方程可變形為，
令，解得，
于是有對(duì)，都滿(mǎn)足方程，
所以這些直線都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為4，取的中點(diǎn)，連接，
當(dāng)在點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)在弧中點(diǎn)時(shí)，，
所以的取值范圍為，
由于，，，
所以，
因?yàn)?，所以，故?br>所以，即的取值范圍為.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，
且
，
可知為的一個(gè)周期，
若，則，可知，
可得，
令，則，
且，可知，
可得，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
則，即；
結(jié)合周期性可知：的值域?yàn)?
故答案為：.
15．【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立方程求解即可.
（2）聯(lián)立求出直線交點(diǎn)，再分類(lèi)討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，求解即可.
【詳解】（1）設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，
則，解得或；
（2）由解得，即m與n的交點(diǎn)為.
當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，
所以直線l的方程為；
當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，
將代入得，
所以直線l的方程為.
故滿(mǎn)足條件的直線l的方程為或.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化，將題干條件均化成角，結(jié)合誘導(dǎo)公式，三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；
（2）利用，平方后求，結(jié)合余弦定理來(lái)處理.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜芍海?br>由，故，
所以
所以，
所以，又，
所以；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義，由，得，
又，在中由余弦定理得：
因?yàn)椋裕?br>所以.
17．【答案】(1)，第80百分位數(shù)為86，平均數(shù)為74；
(2)，.
【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；
（2）由和組的平均數(shù)和方差即可求得總平均數(shù)和總方差.
【詳解】（1）∵每組小矩形的面積之和為1，
∴
解得：
成績(jī)落在內(nèi)的頻率為．
落在內(nèi)的頻率為．
設(shè)第80百分位數(shù)為m
由，得，故第80百分位數(shù)為86.
設(shè)平均數(shù)為，由圖中數(shù)據(jù)可知：
.
（2）由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，
成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為．
故,
.
所以?xún)山M市民成績(jī)的總平均數(shù)是62，總方差是23．
18．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；
（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量PB的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以
因?yàn)?，所以平面?br>（2）因?yàn)閮蓛纱怪保⒖臻g直角坐標(biāo)系，如圖所示：
因?yàn)椋O(shè)，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則
根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
【方法總結(jié)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量PB的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．
【一題多解】如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>在平面中，設(shè)．
在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．
設(shè)，在中，易求．
由與相似，得，可得．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
【一題多解】如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．
設(shè)，在三棱錐中，．
在三棱錐中，．
由得，
解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．
19．【答案】(1)
(2)（i）小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位；（ii）小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為
【分析】（1）將合計(jì)分值從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求出結(jié)果；
（2）（i）根據(jù)條件，先求出各個(gè)崗位的樣本點(diǎn)，再根據(jù)題設(shè)定義即可求出結(jié)果；（ii）先根據(jù)條件得到的相關(guān)方程組，利用，，得到，再根據(jù)題設(shè)列出方程，利用，得出，再對(duì)三種情況分析討論，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）將四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)，
又，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為.
（2）（i）由圖表知，會(huì)計(jì)崗位的樣本點(diǎn)為，則，
業(yè)務(wù)員崗位的樣本點(diǎn)為，則，
后勤崗位的樣本點(diǎn)為，則，
管理員崗位的樣本點(diǎn)為，則，
所以，故小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位.
（ii）四種職業(yè)的推薦率分別為，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
設(shè)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為，且，，
依題有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三組正整數(shù)解，
對(duì)于第一組解，代入④式有，不成立；
對(duì)于第二組解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
對(duì)于第三組解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題第（2）問(wèn)的（ii）問(wèn)的解決關(guān)鍵在于，根據(jù)題設(shè)定義列出的相關(guān)方程組，分析得，進(jìn)而選擇合適的式子得到，從而分析得解.
崗位
業(yè)務(wù)能力分值
管理能力分值
計(jì)算機(jī)能力分值
溝通能力分值
合計(jì)分值
會(huì)計(jì)（1）
2
1
5
4
12
業(yè)務(wù)員（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理員（4）
4
5
4
4
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2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（附解析）

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2024-2025學(xué)年安徽省蚌埠市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（附解析）

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