一、單選題（本大題共8小題）
1．若：，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，或，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，，若，則（ ）
A．或B．
C．2D．4
4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)是定義在上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且，若，則的值域是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖是函數(shù)的部分圖象，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列選項(xiàng)中值最小的是（ ）
A．B．C．D．
8．過拋物線：的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，使得其中的一條與相交于，，另外一條與相交于，，設(shè)，分別是線段，的中點(diǎn)，則的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知，，其中i為虛數(shù)單位，若，，為純虛數(shù)，為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．B．的虛部為C．D．
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線與圖象的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則（ ）
A．B．
C．的圖象關(guān)于軸對稱D．在上的最小值為
11．已知，，，是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為正常數(shù)，設(shè)滿足的點(diǎn)的軌跡為曲線，滿足的點(diǎn)的軌跡為曲線，則（ ）
A．關(guān)于軸、軸均對稱
B．當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1
D．當(dāng)，有公共點(diǎn)時(shí)，
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 .
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)，，，且，則的取值范圍是 .
14．從球外一點(diǎn)作球表面的三條不同的切線，切點(diǎn)分別為，，，，若，則球的表面積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，，為AC邊的中點(diǎn)，求BD的長.
16．已知函數(shù)，其中，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍.
17．在平面圖形AEBCD（如圖1）中，已知，，，，將沿著AB折起到的位置，使得，連接DP，得到四棱錐，如圖2所示.
(1)求證：；
(2)求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值.
18．已知雙曲線：的一條漸近線的斜率為，直線的方程為.
(1)若與的左、右兩支分別相交，求的取值范圍；
(2)當(dāng)，2時(shí)，對應(yīng)的曲線分別為，，設(shè)直線與的左、右兩支依次相交于點(diǎn)，，直線與的左、右兩支依次相交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積與的面積相等.
19．在數(shù)列中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，并規(guī)定，定義集合，中元素的個(gè)數(shù)為.
(1)在數(shù)列中，若，，，，，，，，求；
(2)若，滿足，
①證明：集合非空；
②證明：當(dāng)，時(shí)，.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以只需將原命題中的全稱量詞改為存在量詞，并對結(jié)論進(jìn)行否定．
故.
故選：B.
2．【正確答案】A
【詳解】依題意，.
故選：A
3．【正確答案】D
【詳解】，故，解得.
故選：D
4．【正確答案】C
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則有函數(shù) 在區(qū)間 上恒為正數(shù)且單調(diào)遞增，
因此 ，
解得 ，
實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)?，即?br>，即，
所以.
故選：D.
6．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，可知?br>又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且連續(xù)不斷，則，則，
且，可知，
由奇函數(shù)對稱性可知：時(shí)，，
且，，
所以在定義域的值域?yàn)?
故選：B.
7．【正確答案】C
【詳解】由圖知，，，，所以排除A，B；
設(shè)的圖象在處的點(diǎn)為，
顯然的斜率小于在處的切線斜率，
則，且，可轉(zhuǎn)化為，
所以的值最小，排除D.
故選：C.
8．【正確答案】C
【詳解】設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，
則直線的方程為，
由 消去并整理，得.
設(shè)，，
則，所以，
同理，
所以 ，
因?yàn)?，
所以 的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的面積的最小值為4 .
故選：C.
9．【正確答案】ACD
【詳解】因?yàn)椋?br>且，可得，
對于A：，故A正確；
對于B：的虛部為，故B錯(cuò)誤；
對于C：因?yàn)闉榧兲摂?shù)，可得，即，故C正確；
對于D：因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，可得，即，故D正確；
故選：ACD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】A：由題意得的周期為，又，
所以，故 A 正確；
B：因?yàn)?，所以，?br>所以，又，觀察圖象可得，
所以，故B正確；
C：由B知，
所以，
所以 的圖象不關(guān)于軸對稱，故C錯(cuò)誤；
D：由 ，得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ACD
【詳解】設(shè)，由，得，
將代入得到，
將將代入得到，
所以關(guān)于軸、軸均對稱，A正確；
當(dāng)不在軸上時(shí)，與不共線，可以作為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
所以，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，可得：，
解得：，此時(shí)，
即，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，C正確；
由，得為橢圓，易得方程為，
所以，代入，
得，
所以，因?yàn)?，所以?br>解得：或舍去，D正確；
故選：ACD
12．【正確答案】16
【詳解】由，，
可得：，解得：，
所以，
故16
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>化簡，得，即的軌跡是圓，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，
所以.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】由圓的切線長定理得，，
因?yàn)?，，，則，，
即，可知，
所以為直角三角形，其外心為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?，可知點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的外心，
即平面，所以必在的延長線上，
且A為切點(diǎn)，則，由射影定理得，
且，即，可得，
則，所以球的表面積為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1），由正弦定理得，
由于，
故，
所以，
因?yàn)?，所以，故，?br>因?yàn)锽∈0,π，所以；
（2）為AC邊的中點(diǎn)，故，
兩邊平方得，
又，，，所以，故.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>所以，
所以的圖象在處的切線方程為，
即.
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)樵趨^(qū)間上存在極值，
所以在上必存在變號零點(diǎn)，
令，則在上必存在變號零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，解得?br>當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，
又，故存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故為的極小值點(diǎn)，符合題意，故的取值范圍為.
17．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，
由，，得，則，
，又，于是四邊形為平行四邊形，，，
由，得，則，，而，
平面，于是平面，又平面，
則，又，平面，
因此平面，而平面，所以.
（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作，由（1）知平面，則直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
則，
所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是.
18．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的斜率為，
所以，所以，
聯(lián)立消去并整理，得，
因?yàn)榕c的左、右兩支分別相交，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>即的取值范圍為.
（2）設(shè)，
當(dāng)時(shí)，由（1）中及韋達(dá)定理，得，
當(dāng)時(shí)，由（1）中及韋達(dá)定理，得，
所以與中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為.因?yàn)?，，，在同一直線上，
所以與的中點(diǎn)重合，設(shè)該中點(diǎn)為，所以，
所以，所以，
所以的面積與的面積相等.
19．【正確答案】(1)；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，，，，，，，?br>因?yàn)椋?br>所以
所以，
（2）①證明：由已知得，
若對中的任意正整數(shù) ，滿足，
則，
即，所以；
若在中存在 ，使得為中從左到右出現(xiàn)的第一個(gè)正數(shù)，
則，所以.
綜上所述，集合非空.
②由集合非空，設(shè)(不妨設(shè)從小到大排列)，
顯然.
由集合的定義知，且是使得成立的最小的，
即是中最大的，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>即.
由的定義得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)槭侵凶畲蟮模?br>所以，即 ，
所以
所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以.

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