西安市第八十五中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份西安市第八十五中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共16頁。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．若集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.B.1C.2D.3
3．設(shè)點(diǎn)，，直線l過點(diǎn)且與線段相交，則l的斜率k的取值范圍是( )
A.或B.或C.D.
4．如圖，在中，,P是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.B.C.D.
5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q在所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中任意一點(diǎn)P，都有，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.0B.2C.D.
6．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的形狀一定為( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三角形
7．已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面所成角的正切值為( )
A.B.1C.2D.3
8．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)C到平面的距離為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是( )
A.與是共線向量B.與同向的單位向量是
C.和夾角的余弦值是D.平面的一個(gè)法向量是
10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A.已知向量，，則在上的投影向量為
B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
D.若，則是銳角.
11．如圖，在三棱柱中，，是等邊三角形﹐點(diǎn)O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的有( )
A.平面
B.異面直線與所成角的大小是
C.球O的表面積是
D.點(diǎn)O到平面的距離是
三、填空題
12．已知，，則在上的投影向量為________.
13．已知向量，，若，則________.
14．已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，則________.
四、解答題
15．如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，.
(1)試用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值.
16．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面積.
17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，,，，平面平面，，.
(1)求證：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
18．在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且.
(1)求角B的大?。?br>(2)若，，，求的值；
(3)設(shè)D是邊上一點(diǎn)，為角平分線且，求的值.
19．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．答案：C
解析：由，則，
所以，
又，
所以.
故選：C
2．答案：D
解析：，，
故選:D.
3．答案：B
解析：如圖，直線的斜率為；直線的斜率為；
當(dāng)直線l與線段相交時(shí)，則l的斜率k的取值范圍是或.
故選：B.
4．答案：D
解析：因?yàn)?，?br>所以.
因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，所以，解得.
故選：D.
5．答案：B
解析：平面，若則.
.又動(dòng)點(diǎn)Q在所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
所以，解得.
故選：B
6．答案：A
解析：，
由余弦定理可得，則，
則，所以為直角三角形.
故選：A.
7．答案：B
解析：解法一：分別取，的中點(diǎn)D,，則,，
可知,，
設(shè)正三棱臺(tái)的為h，
則，解得，
如圖，分別過,作底面垂線，垂足為M,N，設(shè)，
則，，
可得，
結(jié)合等腰梯形可得,
即，解得，
所以與平面所成角的正切值為；
解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，
則與平面所成角即為與平面所成角，
因?yàn)椋瑒t，
可知，則，
設(shè)正三棱錐的高為d，則，解得，
取底面的中心為O，則底面，且，
所以與平面所成角的正切值.
故選：B.
8．答案：C
解析：以D為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，.
設(shè)為平面的法向量，，
由，得，
令，，
所以.
又，
點(diǎn)C到平面的距離.
故選：C.
9．答案：BD
解析：對(duì)于A，，，因?yàn)椋耘c不是共線向量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，與同向的單位向量是，故B正確；
對(duì)于C，，，，所以和夾角的余弦值是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，，令，可得，
所以平面的一個(gè)法向量是，故D正確.
故選：BD.
10．答案：ABC
解析：選項(xiàng)A：因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：因?yàn)?，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：是空間的一組基底，將向量看作立方體三條相鄰的棱，且，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故選項(xiàng)C正確；.
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，，但是向量同向，，是零不是銳角，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：ABC
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A：如圖，因?yàn)榍騉是三棱柱的外接球，設(shè)的外心為，連接，則面，因?yàn)椋云矫?，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角.
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：設(shè)的外心為，連接，，，由題意可得，，
則球O的半徑，
從而球O的表面積是，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：設(shè)外接圓的半徑為r，由題意可得，
則，由正弦定理可得
，所以，
則點(diǎn)O到平面的距離，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD
12．答案：
解析：因?yàn)?，，?br>所以在上的投影向量為.
故答案為：.
13．答案：2
解析：因?yàn)?，所以，即?br>所以，解得.
故答案為：2
14．答案：/0.75
解析：由正弦定理可得，
故，
故，
整理得到，
而，故，所以，
故，解得或，
若，則，故B,C同為鈍角，這與矛盾，
故.
故答案為：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.
（2）因?yàn)?，?br>所以
.
16．答案：(1)；
(2).
解析：（1）在中，，
由正弦定理得，.
又，，
，，，
，.
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），
的面積為.
17．答案：(1)證明見詳解；
(2)；
(3)不存在，理由見詳解
解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>且，平面，可得平面，
因?yàn)槠矫?，所?
（2）取中點(diǎn)O，連接，，
因?yàn)?，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>可得平面，
由平面，可得,，
因?yàn)?,，則,，
可知四邊形是平行四邊形，則，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,,為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，.
可得，，，
設(shè)平面APB的法向量為，則，
令，則，可得；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，可得；
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）設(shè)，，
且，則，
若平面，則，可得，方程無解，
所以不存在點(diǎn)M，使得平面.
18．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）由題意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)椋?，?br>由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因?yàn)?，則，則，
可得，
且，
所以
；
（3）因?yàn)?，是角平分線，即，
因?yàn)椋?br>所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，即，
又因?yàn)?，且?br>即，解得.
19．答案：(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)存在，.
解析：（1）連接與，兩線交于點(diǎn)O，連接，
在中M，O分別為，的中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所?
又M為棱的中點(diǎn)，，所以.
因?yàn)?，平面?br>所以平面，平面，所以.
因?yàn)?，所?又，
在和中，，
所以，即，
所以，又，平面，
所以平面.
（3）當(dāng)點(diǎn)N為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面.
證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，，
因?yàn)镈，M分別為，的中點(diǎn)，
所以且，又N為的中點(diǎn)，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面.